江苏省高考文科数学三轮复习练习：小题分层练二 本科闯关练 含解析

小题分层练(二) 本科闯关练(2)
(建议用时：50分钟)
1．若集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝________． 2．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1
z ·z ＝________. 3．执行如图所示的流程图，输出的S 值为________．
4.100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80)中的学生人数是________．
5．(2019·盐城模拟)在平面四边形ABCD 中，若AB ＝1，BC ＝2，∠B ＝60°，∠C ＝45°，∠D ＝120°，则AD ＝________．
6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．
7．(2019·武汉调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________．
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧－2x －3，x ＜0，x 2，x ≥0，若a ＞0＞b ，且f (a )＝f (b )，则f (a ＋b )的取值范围是
________．
9．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)，满足f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2ω＝1，且函数y ＝f (x )图象上
相邻两个对称中心间的距离为π，则函数f (x )的解析式为________．
10．(2019·泰州调研)由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是__________．
11．(2019·淮安调研)已知α，β均为锐角，且tan α＝2t ，tan β＝t 15
，当10tan α＋3tan
β取得最小值时，α＋β的值为________．
12．(2019·重庆模拟)若f (x )为R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (－3)＝0，则x ·f (x )＜0的解集为________．
13．(2019·无锡调研)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)长轴为AB ，短轴为CD ，E 是椭圆弧
BD 上的一点，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，则⎝⎛⎭⎫EK AK 2
＋⎝⎛⎭⎫
EL CL 2
的值为________．
14．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1，g (x )＝ln x
x ，若函数y ＝f (g (x ))＋a 有三个不同的零点x 1，x 2，
x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为________．
小题分层练(二)
1．解析：A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 答案：{x |－3<x <2}
2．解析：⎝⎛⎭⎫z ＋1
z ·z ＝|z |2＋1＝5＋1＝6. 答案：6
3．解析：S ＝20＋21＋22＝7. 答案：7
4．解析：根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝
1200，所以测试成绩落在[60，80)中的频率是10(3a ＋7a )＝100a ＝100×1200＝1
2
，故对应的学生人数为100×1
2
＝50.
答案：50
5．解析：连接AC .在△ABC 中，AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos 60°＝3，所以AC ＝3，又AC 2＋BA 2＝4＝BC 2，所以∠BAC ＝90°.在四边形ABCD 中，∠BAD ＝360°－(60°＋45°＋120°)＝135°，因此∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝45°，∠ACD ＝180°－∠CAD －∠D ＝15°.
在△ACD 中，AD sin ∠ACD ＝AC sin D ，即AD sin 15°＝3
sin 120°，AD ＝3sin 15°sin 120°＝
3×（6－2）4÷
3
2＝6－22. 答案：
6－2
2
6．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1
q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －
1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，S 5＝3（1－25）
1－2
＝93.
答案：93
7．解析：显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．
答案：①④
8.解析：设f (a )＝f (b )＝t ， 作出f (x )的图象， 由图象知，t ≥0， 由f (a )＝a 2＝t ，得a ＝t ， 由f (b )＝－2b －3＝t ，得b ＝
－3－t
2
， 则a ＋b ＝t ＋－3－t 2＝－12t ＋t －3
2
＝－12(t －2t )－32＝－1
2
(t －1)2－1，
因为t ≥0，所以t ≥0，则m ＝－1
2
(t －1)2－1≤－1，
即m ＝a ＋b ≤－1，此时f (a ＋b )＝f (m )＝－2m －3≥2－3＝－1， 即f (a ＋b )的取值范围是[－1，＋∞)， 故答案为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 9．解析：因为f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2ω＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝1，即sin φ＝1，
又0≤φ＜π，所以φ＝π
2
.
因为函数y ＝f (x )图象上相邻两个对称中心间的距离为π. 所以12·2π
ω＝π，ω＝1，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x .
答案：f (x )＝－sin x
10．解析：因为“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，所以“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ＞0”是真命题，所以Δ＝4－4m ＜0，解得m ＞1，故a 的值是1.
答案：1
11．解析：因为α，β为锐角，所以t >0，故10tan α＋3tan β＝20t ＋t
5≥24＝4，当且
仅当t ＝10时取等号，此时tan α＝15，tan β＝2
3
，
tan(α＋β)＝15＋2
31－215＝1，又α，β为锐角，所以α＋β＝π
4.
答案：π4
12．解析：依题意，结合函数y ＝f (x )的性质，不妨设函数y ＝f (x )
的大致图象如图，不等式xf (x )＜0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0f （x ）＞0或②⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞0
f （x ）＜0.
结合图象，解不等式组①得－3＜x ＜0；解不等式组②得0＜x ＜3.因此，不等式xf (x )＜0的解集是{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}．
答案：(－3，0)∪(0，3)
13.解析：如图所示，设点E (x 0，y 0)，过点E 分别向x 、y 轴引垂线，垂足分别为N 、M ，由△MKE ∽△OKA ，故EK AK ＝ME AO ＝|x 0|
a
，
同理EL CL ＝|y 0|b ，则⎝⎛⎭⎫EK AK 2＋⎝⎛⎭⎫EL CL 2＝x 20a 2＋y 20b
2，又点E (x 0，y 0)在椭圆上，
故有x 20a 2＋y 20b
2＝1，即⎝⎛⎭⎫EK AK 2＋⎝⎛⎭⎫EL CL 2＝1. 答案：1
14.解析：因为g (x )＝ln x
x ，所以g ′(x )＝1－ln x x 2
.当0<x <e 时，g ′
(x )>0，g (x )单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．作出函数g (x )的大致图象如图所示，
令g (x )＝t ，由f (t )＋a ＝t 2－t ＋1
t －1
＋a ＝0，得关于t 的一元二次方
程t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝0，又f (g (x ))＋a ＝0有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，所以结合g (x )的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t 1，t 2，且t 1<t 2，则0<t 1<1e ，t 2＝1
e 或
t 1<0<t 2<1e ，t 1＋t 2＝1－a ，由Δ＝(a －1)2－4(1－a )>0，得1－a <0或1－a >4，当0<t 1<1e ，t 2＝1
e 时，
0<t 1＋t 2<4，不符合题意，舍去，所以t 1<0<t 2<1
e
，所以g (x 1)＝t 1，g (x 2)＝g (x 3)＝t 2，
所以2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)＝2t 1＋2t 2＝2(t 1＋t 2)＝2(1－a )． 令λ＝1－a ，φ(t )＝t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝t 2－λt ＋λ， 由t 1<0<t 2<1
e
可知，
⎩⎪⎨⎪⎧φ（0）<0，φ⎝⎛⎭⎫1e >0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，1e 2
－λ×1
e ＋λ>0， 解得1
e －e 2
<λ<0.
综上，2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为⎝⎛⎭
⎫2
e －e 2，0.
答案：⎝⎛⎭
⎫2
e －e 2，0。