人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结

第四章
圆与方程
4．1 圆的方程
4．
圆的标准方程
1．以 (3 ，－ 1) 为圆心， 4 为半径的圆的方程为
( )
A ． (x ＋ 3)2＋( y －1) 2
＝ 4
B ． ( x － 3) 2＋ (y ＋1) 2
＝ 4
C ．( x － 3) 2＋ (y ＋1) 2
＝ 16 D ． (x ＋ 3) 2＋( y － 1) 2
＝ 16
2
2
2 ．一圆的标准方程为 x ＋ (y ＋ 1)
＝ 8，则此圆的圆心与半径分别为 ()
A ． (1,0)， 4
B ． (－ 1,0) ， 2 2
C ．(0,1) ，4
D ． (0，－ 1) ， 2
2
3 ．圆 (x ＋ 2) 2＋ (y － 2) 2＝ m 2
的圆心为 ________ ，半径为 ________ ．
4 ．若点 P( － 3,4) 在圆 x 2＋ y 2＝ a 2
上，则 a 的值是 ________ ．
5 ．以点 (－2,1) 为圆心且与直线
x ＋ y ＝ 1 相切的圆的方程是 ____________________ ． 6 ．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2) 的圆的方程为 ( )
A ． x 2＋ (y －2)2
＝1 B ．x 2＋ (y ＋ 2) 2
＝1
C ． ( x － 1) 2 ＋ (y －3) 2
＝ 1 D ． x 2＋ (y － 3)2
＝ 1
7．一个圆经过点 A(5,0) 与 B( －2,1) ，圆心在直线
x － 3y － 10 ＝ 0 上，求此圆的方程．
8．点 P(5a ＋ 1,12a) 在圆 (x － 1)
2
＋
y 2
＝ 1 的内部，则 a 的取值范围是
()
A． |a|＜ 1
1 B． a＜13
1 C．|a|＜5
1
D． |a|＜13 9．圆 (x－ 1) 2
＋ y
2
＝ 25 上的点到点A(5,5) 的最大距离是__________．
10 ．设直线 ax － y＋ 3 ＝ 0 与圆 (x－ 1) 2
＋ (y － 2)
2
＝ 4 订交于 A， B 两点，且弦AB 的长为
2 3 ，求 a 的值．
圆的一般方程
1 ．圆 x
2 ＋y 2
－ 6x ＝ 0 的圆心坐标是
________ ．
2 ．若方程 x 2＋ y 2
＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示以 (2 ，－ 4) 为圆心，以 4
为半径的圆，则
F ＝
________.
3 ．若方程 x 2＋ y 2
－ 4x ＋ 2y ＋ 5k ＝ 0 表示圆，则 k 的取值范围是
(
)
A ． k>1
B ． k<1
C ．k ≥ 1
D ． k ≤ 1
4 ．已知圆的方程是
x 2＋ y 2
－ 2x ＋ 4y ＋ 3＝ 0，则以下直线中经过圆心的是()
A ． 3x ＋ 2y ＋ 1＝ 0
B ． 3x ＋ 2y ＝ 0
C ．3x － 2y ＝ 0
D ． 3x － 2y ＋ 1 ＝ 0
5 ．圆 x 2 ＋y 2
－ 6x ＋ 4y ＝ 0 的周长是 ________ ．
6 ．点 (2a,2) 在圆 x 2＋ y 2
－ 2y － 4 ＝0 的内部，则 a 的取值范围是
(
)
A ．－ 1<a<1
B ． 0< a<1
1
C ．－ 1<a< 5
1
D ．－ 5<a<1
7 ．求以下圆的圆心和半径．
(1)x 2 ＋ y 2
－ x ＝ 0 ；
(2)x 2 ＋ y 2
＋ 2ax ＝ 0(a ≠ 0)；
(3)x 2
＋ y 2
＋ 2ay － 1＝ 0.
2
2
8．过点 A(11,2) 作圆 x ＋ y ＋ 2x － 4y － 164 ＝ 0 的弦，其中弦长为整数的共有 ( )
9．已知点 A 在直线 2x －3y ＋ 5 ＝ 0 上搬动，点P 为连接 M(4 ，－ 3) 和点 A 的线段的中点，求P的轨迹方程．
10 ．已知方程 x 2＋ y 2－ 2(t ＋ 3)x ＋ 2(1－ 4t 2)y ＋ 16t 4
＋ 9＝ 0 表示一个圆．
(1) 求 t 的取值范围；
(2) 求圆的圆心和半径；
(3) 求该圆的半径 r 的最大值及此时圆的标准方程．
4． 2 直线、圆的地址关系
4．
直线与圆的地址关系
1．直线 y ＝ x ＋ 3 与圆 x 2＋ y 2
＝ 4 的地址关系为
( )
A ．相切
B ．订交但直线但是圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
2．以下说法中正确的选项是 (
)
A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B ．与半径垂直的直线与圆相切
C ．过半径外端的直线与圆相切
D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点
2 2
)
3 ．若直线 x ＋ y ＝2 与圆 x
＋ y ＝ m(m>0) 相切，则 m 的值为 (
1 2
A.2
B.2
C. 2 D ．2
4 ． (2013 年陕西 )已知点 M(a ， b) 在圆 O ： x 2＋ y 2
＝ 1 外，则直线
ax ＋ by ＝ 1 与圆O 的位
置关系是 ( )
A ．相切
B ．订交
C ．相离
D ．不确定
5 ．经过点 M(2,1) 作圆 x 2＋ y 2
＝ 5 的切线，则切线方程为( )
A. 2x ＋ y ＝ 5
B. 2x ＋ y ＋ 5＝ 0 C ．2x ＋ y ＝ 5 D ． 2x ＋ y ＋ 5＝ 0
6 ． (2013 年浙江 )直线 y ＝ 2x ＋ 3 被圆 x 2＋ y 2
－ 6x － 8y ＝ 0 所截得的弦长等于 ________ ．
7 ．已知直线 kx －y ＋ 6＝ 0 被圆 x 2＋ y 2
＝ 25 所截得的弦长为
8，求 k 的值．
8．由直线y＝ x＋ 1 上的一点向圆(x－ 3) 2
＋ y
2
＝ 1 引切线，则切线长的最小值为()
A． 1 B．2．3
9．已知圆C：(x － 2) 2
＋ (y － 3)
2
＝ 4 ，直线 l ： (m ＋ 2)x ＋ (2m ＋ 1)y ＝ 7m ＋ 8.
(1)证明：无论m 为何值，直线l 与圆 C 恒订交；
(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时，求m 的值．
22
10 ．已知圆 C： x ＋ y － 8y＋ 12＝ 0，直线
l∶ax＋y＋2a＝0.
(1)当 a 为何值时，直线l 与圆 C 相切；
(2)当直线 l 与圆 C 订交于A， B 两点，且AB ＝ 2 2 时，求直线l 的方程．
圆与圆的地址关系
1 ．已知两圆的方程 x 2
＋ y 2＝ 4 和 x 2＋ y 2
－ 6x ＋ 8y ＋ 16 ＝ 0，则此两圆的地址关系是 ()
A ．外离
B ．外切
C ．订交
D ．内切
2 ．圆 x 2 ＋y 2＋ 2x ＋ 1＝ 0 和圆 x 2＋ y 2
－ y ＋ 1 ＝0 的公共弦所在直线方程为 (
)
A ． x － 2y ＝ 0
B ． x ＋2y ＝ 0
C ．2x － y ＝ 0
D ． 2x ＋ y ＝ 0
3 ．已知直线 x ＝a( a>0) 和圆 (x ＋ 1) 2＋ y 2
＝ 9 相切，那么 a 的值是 ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ． 5
4 ．两圆 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y ＋1＝ 0 与 x 2＋ y 2
＋ 4x － 4y － 1 ＝ 0 的公切线有 ( )
A ．1 条
B ．2 条
C ．3 条
D ．4 条
5 ．已知两圆订交于两点A(1,3) ， B(m ，－ 1) ，两圆圆心都在直线
2x － y ＋ c ＝0 上，则 m
＋c 的值是 ( )
A ．－ 1
B ． 2
C ．3
D ． 0
6 ．圆 x 2＋ y 2－ 2x －5＝ 0 与圆 x 2＋y 2
＋ 2x － 4y － 4＝ 0 的交点为 AB ，则线段 AB 的垂直平
分线方程为 ( )
A ． x ＋ y － 1＝ 0
B ． 2x － y ＋ 1＝ 0
C ．x － 2y ＋ 1＝ 0
D ． x － y ＋ 1＝ 0
7．若圆 x 2＋ y 2＝ 4 与圆 x 2＋ y 2
＋ 2ay － 6＝ 0(a>0) 的公共弦长为
2 3，求实数 a 的值．
8．两圆 (x－3) 2
＋ ( y－ 4)
2
＝25 和 (x－ 1)
2
＋ (y － 2)
2
＝ r
2
相切，则半径r ＝ ____________.
2222
9．已知两圆 C1： x＋ y － 10x － 10y ＝ 0与 C2： x＋ y ＋ 6x － 2y － 40＝ 0，(2)公共弦长．
10 ．已知圆 x 2＋ y 2
－ 4ax ＋2ay ＋ 20(a － 1) ＝ 0.
(1) 求证：对任意实数a ，该圆恒过必然点；
(2) 若该圆与圆 x 2＋ y 2
＝ 4 相切，求 a 的值．
直线与圆的方程的应用
2
2
1．方程 x ＋ y ＋ 2ax － 2ay ＝ 0(a ≠ 0) 表示的圆 ( )
B ．关于 y 轴对称
C ．关于直线 x － y ＝ 0 对称
D ．关于直线 x ＋ y ＝ 0 对称
2
2
2．若直线
x ＋ y ＋ m ＝ 0 与圆 x ＋ y ＝ m 相切，则 m 为 ()
C. 2 D ．无解
3．过原点的直线与圆 ( x ＋ 2)2 ＋y 2
＝1 相切，若切点在第三象限，则该直线方程为
(
A ． y ＝ 3x
B ． y ＝－ 3x
3
C ．y ＝ 3 x
3
D ．
4．A ．C ．
5．
A ．
)
C ．2 2
D ．2 2－3
6．过点 P(2,1) 作圆 C ：x 2＋ y 2
－ ax ＋ 2ay ＋ 2a ＋ 1＝0 的切线只有一条， A ． a ＝－ 3 B ．a ＝ 3
C ．a ＝ 2
D ． a ＝－ 2
7．与圆 x 2＋ y 2
－ 4x － 6y ＋12 ＝ 0 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A ．4 条 B ．3 条
C ．2 条
D ．1 条
则 a 的取值是 (
()
)
8．设圆 x 2＋ y 2
－ 4x － 5＝ 0 的弦 AB 的中点 P(3 ，1)，则直线 AB 的方程为 ____________ ． 9．若实数 x ， y 满足等式 (x － 2) 2＋ y 2
＝ 3，那么 y
的最大值为 ()
1 3
3
x
A.
2
B.
3
C.2
10 ．已知圆 C ： x 2＋ y 2
－ 4x － 14y ＋ 45＝ 0 及点 Q( －2， 3)．
(1) 若点 P(a ， a ＋ 1) 在圆上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率； (2) 若 M 为圆 C 上任一点，求
|MQ| 的最大值和最小值；
n －
3
2
2
(3) 若实数 m ， n 满足 m ＋n － 4m －14n ＋ 45 ＝ 0 ，求 k ＝
的最大值和最小值．
空间直角坐标系
4．
空间直角坐标系
1．点 P( － 1,0,1) 位于 ( )
A ． y 轴上
B ． z 轴上
C ．xOz 平面内
D ． yOz 平面内
2．在空间直角坐标系中，点 (－ 2,1,4) 关于 x 轴的对称点的坐标是 ()
A ． (－ 2,1，－ 4)
B ． ( －2，－ 1，－ 4)
C．(2，－ 1,4)
D． (2,1 ，－ 4)
3．点 P( － 4,1,3)在平面 yOz 上的投影坐标是 ()
A ． (4,1,0)
B． (0,1,3)
C．(0,3,0)
D．都不对
4．在空间直角坐标系中，点P(1 ， 2 ， 3) ，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ 垂足为 Q ，则Q的坐标为()
A． (0，2， 0)
B． (0，2， 3)
C．(1,0 ， 3)
D． (1，2， 0)
5．点 (2 ，－ 3,0) 在空间直角坐标系中的地址是在( A ． y 轴上
B． xOy 平面上
C．xOz 平面上
D．第一象限内
6．设 x， y 为任意实数，相应的点P(x ，y,3) 的会集是A ． z 轴上的两个点
B．过 z 轴上的点 (0,0,3) ，且与z 轴垂直的直线
C．过 z 轴上的点 (0,0,3) ，且与z 轴垂直的平面
D．以上答案都有可能(
)
)
7．点 A(1 ，－ 3,2) 关于点 (2,2,3) 的对称点的坐标为()
A ． (3 ，－ 1,5)
B． (3,7,4)
C．(0，－ 8,1)
D． (7,3,1)
8．已知点 A(3 ，y,4) ，B(x,4,2) ，线段 AB 的中点是C(5,6 ， z)，则 x＝ ______ ，y＝ ______ ，z＝________.
9．点 P(2,3,5) 到平面 xOy 的距离为 ________ ．
10 ．如图 K4- 3-1 ，在四棱锥P -ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱 PD ⊥底面
ABCD G， H ， |PD|＝
的坐标．
2b ，取各侧棱的中点 E ，F，G ，H ，试建立合适的空间直角坐标系，写出点E，F，
图 K4- 3-1
4．
空间两点间的距离公式
1．在空间直角坐标系中，点
A(2,1,5) 与点 B(2,1 ，－ 1) 之间的距离为 ( )
A. 6 B ．6
C. 3 D ．2
2．坐标原点到以下各点的距离最大的是 ()
A ． (1,1,1)
B ． (2,2,2)
C ．(2，－ 3,5)
D ． (3,3,4)
3．已知 A(1,1,1) ， B(－3，－ 3，－ 3) ，点 P 在 x 轴上，且 |PA| ＝ |PB| ，则点 P 的坐标为 ( )
A ． (－ 3,0,0)
B ． (－ 3,0,1)
C ．(0,0 ，－ 3)
D ． (0，－ 3,0)
4．设点 B 是 A( － 3,2,5) 关于 xOy
平面的对称点，则
|AB|＝ ()
A ． 10
B. 10
C ．2 10
D ．40
5．已知空间坐标系中，
A(3,3,1) ， B(1,0,5) ，C(0,1,0) ， AB 的中点为 M ，线段 CM 的长 |CM|
＝(
)
53
53
A.
4
B.
2
53 13
C. 2
D.2
6 ．方程 (x －12) 2＋ (y ＋3) 2＋( z － 5) 2
＝ 36 的几何意义是 ____________________________．
7 ．已知点 A 在 y 轴上，点
B(0,1,2) ，且 |AB | ＝ 5，求点 A 的坐标．
8 ．以 A(1,2,1) ， B(1,5,1) ， C(1,2,7) 为极点的三角形是 ________ 三角形．
9．已知点 A(x,5 －x,2x － 1) ， B(1 ， x＋ 2,2 － x)，当 |AB | 取最小值时， x 的值为 ________ ．
10 ．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1) 和 B(1 ， 0，－ 3) ，问：
(1) 在 y 轴上可否存在点M，满足|MA |＝ |MB |；
(2) 在 y 轴上可否存在点M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标．
第四章
圆与方程
4 ． 1 圆的方程
4 ． 圆的标准方程
1 ． C
±5 5.(x ＋ 2) 2＋ (y － 1) 2
＝ 2
3 ． (－ 2,2) |m| 4.
0－ 1 2＋ b － 2 2
＝ 1，
6 ．A 剖析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0 ，b) ，则由题意知
解得 b ＝ 2 ，故圆的方程为
x 2＋ (y － 2) 2
＝ 1.
(0,2) ，故圆的方程为 x
2
方法二 (数形结合法 ) ：作图由点到圆心的距离为
1，易知圆心为
＋ ( y －2) 2
＝ 1.
7． 解： 方法一：设圆心
P(a ， b) ，
a －3
b － 10 ＝0，
则
a －5 2＋
b 2＝ a ＋ 2 2＋ b － 1 2
，
a ＝ 1 ，
解得
b ＝－ 3.
a － 5 2＋
b 2＝ 1－5 2＋ －32
＝ 5. 圆的半径 r ＝
∴圆的标准方程为 (x － 1) 2＋( y ＋3) 2
＝25. 方法二：线段
5－
2
， 0 ＋1
，
AB 的中点 P ′
2
2
即 P ′
3 1
.直线 AB 的斜率 k ＝ 1－ 0
1
，
－ 2－
＝－ .
2 2
5
7
∴弦 AB 的垂直均分线的方程为
y － 1
＝ 7 x － 3 ，
2 2
即 7x －y － 10 ＝ 0.
x － 3y － 10＝ 0， x ＝ 1，
即圆心 P(1 ，－ 3) ．
解方程组
得
7x － y － 10＝ 0，
y ＝－ 3.
圆的半径 r ＝ 1 － 5 2
＋ －3 2
＝ 5.
∴圆的标准方程为 (x － 1) 2＋( y ＋3) 2
＝25.
8 ． D
9. 41＋5
|a － 2＋ 3|
10 ．解：∵弦 AB 的长为 2
3，则由垂径定理， 圆心 (1,2) 到直线的距离等于
1，∴
a 2
＋ 1
＝1，∴a ＝0.
4 ． 圆的一般方程
1 ． 3 ． B
5 ． 2 13 π
6 ． A
1
1
1
1
7 ． 解： (1) x － 2 2
，
2
＋ y ＝ ，圆心 2 0 ，半径 r ＝ .
4
2
(2)(x ＋a)2＋ y 2＝ a 2
，圆心 (－ a,0) ，半径 r ＝ |a|.
(3)x 2 ＋ (y ＋ a)2＝ 1＋ a 2
，圆心 (0 ，－ a) ，半径 r ＝ 1 ＋ a 2
.
8 ． C 剖析： 圆的标准方程是：
(x ＋ 1)2＋ (y －2) 2＝ 13 2
，圆心 (－ 1,2) ，半径 r ＝ 13. 过点 A(11,2) 的最短的弦长为 10 ，最长的弦长为 26( 分别只有一条 )，还有长度为 11,12 ， ?， 25 的 各 2 条，所以共有长为整数的弦 2＋ 2×15＝ 32( 条 )．
9 ． 解： 设点 P 的坐标为 (x ， y) ，A 的坐标为 (x 0， y 0 )．
∵点 A 在直线 2x － 3y ＋ 5 ＝ 0 上，∴有
2x 0－ 3y 0 ＋ 5＝0.
x ＝ 4＋ x 0，
又∵ P 为 MA 的中点，∴有
2
－ 3＋ y 0
y ＝
2
.
x 0＝ 2x － 4，
∴
y 0＝ 2y ＋ 3.
代入直线的方程，得
2(2x － 4)－ 3(2y ＋ 3)＋ 5＝ 0，
化简，得 2x － 3y － 6＝ 0 即为所求． 10 ． 解： (1) 由圆的一般方程，得
2
2 2
4
＋9)>0 ，
－ 2(t ＋ 3)] ＋ 4(1 － 4t ) － 4(16t
解得－
1
<t<1.
7
－ 2 t ＋ 3
2
(2) 圆心为 －
2
，－ 2 1 － 4t
，
2
即 (t ＋ 3,4t 2
－ 1)，
半径 r ＝
1
[ － 2 t ＋ 3 ] 2＋4 1－ 4t 2 2
－ 4 16t 4
＋ 9
2
＝ － 7t 2
＋ 6t ＋ 1.
(3)r ＝ － 7t 2
－ 3
2
＋
16
＋ 6t ＋ 1＝
7t －
，
所以当 t ＝3 时， r max ＝
4
7
7
7，
7
7
16
24 2
13 2
故圆的标准方程为 x －
7
＋ y ＋49
＝ 7
.
4 ． 2
直线、圆的地址关系
4 ． 直线与圆的地址关系
1 ． D
4 ． B 剖析： 点 M(a ， b) 在圆 O ： x 2＋ y 2
＝ 1 外，有 a 2＋b 2
>1 ，圆心到直
线ax ＋ by ＝ 1
的距离为
d ＝
1
＝ ，所以直线与圆
O
订交．
a 2＋
b 2
<1 r
5． C 剖析： 由于点 (2,1) 在圆 x 2
＋ y 2
＝ 5 上，所以切线方程为 6． 4 5 剖析： 圆 (x － 3) 2＋ (y － 4) 2
＝ 25 ，圆心 (3,4) 到直线 |6－ 4＋
3|
＝ 5 ，弦长等于 2
52－ 5 2
＝4 5.
5
7．解：设直线 kx － y ＋6＝ 0 被圆为直角三角形．
由于圆的半径为
|OB| ＝5，半弦
所以圆心到直线 kx － y ＋ 6＝ 0
2x ＋ y ＝ 5.
2x － y ＋3＝ 0 的距离为
d ＝
AB ，其中点为 C ，则△ OCB
由点到直线的距离公式得
6
＝ 3. 解得 k ＝ ± 3.
k
2
＋ 1
8 ． C
9 ． (1) 证明： 由 (m ＋ 2)x ＋ (2m ＋ 1)y ＝ 7m ＋ 8 ， 得 mx ＋ 2x ＋ 2my ＋ y ＝7m ＋8，即
m(x ＋ 2y － 7) ＋ (2x ＋ y －8) ＝ 0.
x ＋2y － 7 ＝ 0 ，
x ＝ 3 ，
由
解得
2x ＋ y － 8 ＝ 0 ，
y ＝ 2.
∴无论 m 为何值，直线
l 恒过定点 (3,2) ．
(2) 解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该
点的直径的那条弦，
∵圆心 (2,3) ，定点 (3,2) ，直径的斜率为－ 1，
∴最短的弦的斜率为 1，
故最短弦的方程为
x － y － 1＝ 0.∴ m ＝－ 1.
10 ． 解：将圆 C 的方程 x 2＋ y 2
－ 8y ＋ 12 ＝ 0 配方，得标准方程为
x 2＋( y －4)2
＝ 4，则此
圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2.
(1) 若直线 l 与圆 C 相切，则有 |4＋
2a|
＝ 2.
a 2
＋ 1
解得 a ＝－ 3.故当 a ＝－ 3
时，直线 l 与圆 C 相切．
4 4
(2) 过圆心 C 作 CD ⊥ AB ，则依照题意和圆的性质，
|4 ＋ 2a|
CD ＝2 ， a ＋ 1 得
CD 2
＋ DA 2＝ AC 2＝ 2 2
， 解得 a ＝－ 7 或 a ＝－ 1.
1
DA ＝ 2
AB ＝
2，
∴直线 l 的方程是 7x －y ＋ 14＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0.
4 ． 圆与圆的地址关系
1 ． B
(x － 2) 2＋ (y ＋ 1) 2＝ 4 ， ( x ＋ 2) 2＋ (y － 2) 2
＝ 9，∴圆心
4 ． C 剖析： 圆化为标准方程，得 O 1(2 ，－ 1) ， r 1＝ 2 ， O 2 (－ 2,2) ， r 2＝ 3. ∵ |O 1 O 2|＝
5 ＝ r 1＋ r 2，∴两圆外切．∴公切线有 3 条．
5 ． D
1
7 ．解：由已知两个圆的方程可得订交弦的直线方程为y ＝ a .利用圆心
(0,0) 到直线的距离
1 1
2 2
d ＝ a
，得
a ＝ 2 －
3 ＝ 1 ，解得 a ＝ 1 或 a ＝－ 1( 舍 )．
8 ． 5－2
2
C 1： x 2＋ y 2 － 10x － 10y ＝ 0 与 C 2： x 2 ＋ y 2
＋ 6x －2y － 40 ＝0 相减，
9 ． 解： (1) 将两圆方程 得 2x ＋ y － 5＝0.
∴公共弦所在直线的方程为 2x ＋ y － 5＝ 0.
(2) 圆 C 1： x 2＋ y 2－ 10x －10y ＝ 0 的标准方程为 ( x － 5)2 ＋ (y － 5) 2
＝ 50 ，圆心为 (5,5) ，半径为 5 2 ，圆心到直线 2x ＋ y － 5＝ 0 的距离为 2 5 ，依照勾股定理和垂径定理，知公共弦长
为2 30.
10 ．(1) 证明： 将圆的方程整理，得 (x 2＋ y 2
－ 20) ＋ a( －4x ＋ 2y ＋ 20) ＝0，此方程表示过
圆 x 2
＋ y 2
＝ 20 与直线－ 4x ＋ 2y ＋ 20 ＝ 0 的交点的圆系，
2
2
x ＝ 4，
x ＋ y ＝ 20 ，
解方程组
得
4x －2y － 20 ＝ 0，
y ＝－ 2.
故对任意实数
a ，该圆恒过定点 (4，－ 2)．
(2) 解： 圆的方程可化为
(x － 2a) 2＋ (y ＋ a) 2＝ 5a 2－ 20a ＋ 20 ＝ 5(a － 2) 2
.
①若两圆外切，则
2＋ 5 a － 2 2＝ 5a 2
， 解得 a ＝ 1 ＋ 5 或 a ＝ 1 － 5
5 5 (舍)；
②若两圆内切，则 | 5 a － 2 2
－ 2|＝
5a 2
，
5
5
解得 a ＝ 1 － 5 ，或 a ＝ 1＋ 5 (舍)．
综上所述， a ＝
5
1±.
5
4．
直线与圆的方程的应用
1 ． D 剖析： 该圆的圆心 (－ a ， a) ，在直线 x ＋y ＝ 0 上，故关于直线 x ＋ y ＝ 0 对称．
2 ． B
剖析： 圆心 (0,0) 到直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 的距离 d ＝
|m|
＝ m ， m ＝ 2.
2
3 ． C
4 ． C
剖析： 由于直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 x 2＋ y 2
＝ 1 相离，则
1
>1 ，即 a 2＋ b 2
<1，
a 2
＋ b
2
∴ P 在圆内． 5 ． C
7 ． A
剖析： 过原点的直线也满足条件．
8 ． x ＋y － 4＝ 0 2
＋ y 2
＝ 3，
9 ． D 剖析： 方法一：∵实数 x ， y 满足 (x － 2)
∵记 P(x ， y) 是圆 (x － 2) 2＋ y 2
＝ 3 上的点，
y
是直线 OP 的斜率，记为
k. ∴直线 OP ： y ＝ kx ，代入圆的方程，消去
y ，得 (1 ＋k 2)x 2
－
x
＝ (－ 4) 2－ 4(1 ＋ k 2
)≥ 0，
4x ＋ 1＝ 0.直线 OP 与圆有公共点的充要条件是
∴－ 3 ≤ k ≤ 3.
方法二：同方法一，直线
OP 与圆有公共点的条件是
|k ·2－ 0|≤ 3，∴－ 3 ≤ k ≤ 3.
k 2
＋ 1
10 ． 解： (1) ∵点 P(a ， a ＋ 1) 在圆上，
∴ a 2＋ (a ＋ 1) 2
－ 4a －14(a ＋ 1) ＋ 45 ＝ 0. 解得 a ＝ 4 ，∴ P(4,5) ．
∴ |PQ|＝ 4＋2 2＋ 5－ 3 2
＝ 2 10，
3－ 5
1
k PQ ＝ － 2－ 4＝ 3.
(2) ∵圆心坐标
C 为(2,7) ，半径为 2 2，
∴ |QC|＝ 2＋2
2＋7－3 2
＝4 2.
∴ |MQ | max ＝ 4 2 ＋ 2 2 ＝ 6 2 ，
|MQ | min ＝ 4 2－ 2 2＝ 2 2.
(3) 设点 (－ 2,3) 的直线 l 的方程为
y － 3＝ k(x ＋ 2)，
即 kx － y ＋2k ＋ 3＝ 0，方程 m 2＋ n 2
－ 4m － 14n ＋45 ＝ 0 ， 即 (m － 2) 2＋ (n － 7) 2
＝ 8 表示圆． 易知直线 l 与圆方程相切时， k 有最值，
∴
|2k － 7＋ 2k ＋
3|＝ 2 2. ∴ k ＝ 2±
3. 1 ＋ k 2
∴ k ＝
n － 3
的最大值为 2＋ 3，最小值为 2 － 3. m
＋ 2
4． 3空间直角坐标系
4．空间直角坐标系
1． C剖析：点 P 的 y 轴坐标为0，则点 P 在平面 xOz 上．
2． B剖析：点 P(a ， b， c) 关于 x 轴的对称点为P′ (a，－ b，－ c) ．
3． B
8． 783
10．解：由图知，DA⊥ DC ，DC ⊥ DP， DP⊥ DA ，
故以 D 为原点， DA ， DC ，DP 所在直线分别为x，y， z 轴建立空间直角坐标系．
∵ E， F， G ， H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面
ABCD ，从而这 4 个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是 b.
由 H 为 DP 的中点，得H (0,0 ， b)．
∴E(a,0 ， b) ．同理 G(0 ， a ，b) ．
F 在坐标平面xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G，
故 F 与 E 的横坐标相同，都是 a ，点 F 与 G 的纵坐标也同为
a ，
又 F 的竖坐标为 b ，故 F(a ， a ， b) ．
4 ． 空间两点间的距离公式
1． B
6 ．以点 (12 ，－ 3,5) 为球心，半径长为 6 的球
7 ． 解： 由题意设 A(0 ， y,0)，则
y － 1 2
＋ 4＝ 5，得 y ＝ 0 或 y ＝ 2， 故点 A 的坐标为 (0,0,0) 或 (0,2,0) ．
8．直角 剖析： 由于 |AB| 2＝ 9，|BC|2 ＝9＋ 36＝ 45，|AC|2＝ 36，所以 |BC|2＝ |AB|2＋ |AC| 2
，所
以△ ABC 为直角三角形．
8
9.
7
剖析： |AB|
＝ x － 1 2
＋ 5－ x －x － 2 2＋ 2x － 1－ 2＋ x 2
82 5，
8
7
＋ 7
＝14 x －
故当 x ＝ 时， |AB| 获取最小值．
10 ． 解： (1) 假设在 y 轴上存在点 M ，满足 |MA| ＝ |MB |. 设 M(0 ， y,0) ，由 |MA | ＝ |MB| ，可得
32＋ y 2＋ 1 2＝ 1 2＋ y 2＋ 32
.
显然，此式对任意 y ∈ R
∴ y 轴上所有点都满足关系 恒建立．
|MA|＝
|MB |.
(2) 假设在 y 轴上存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形． 由 (1) 可知， y 轴上任一点都有 |MA| ＝ |MB| ，
∴只要满足 |MA| ＝ |AB| ，就可以使得△
MAB 是等边三角形．
∵ |MA | ＝ 10 ＋ y 2
， |AB|＝
1－ 3 2＋ 0－ 0 2＋ － 3－ 1 2
＝
20，
∴ 10 ＋ y 2
＝ 20 ，解得 y ＝ ± 10.
故 y 轴上存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形，点
M 的坐标为 (0 ，
10 ， 0)或 (0 ，－ 10，
0) ．。