17.最优化设计基础

设计要求 方案设计 综合与分析
评价 输出图文技术资料
传统设计流程
优化设计数学模型
优
化
算
优选设计变量
法
程
序
是否满足要求
否
是 输出
优化设计流程
传统设Baidu Nhomakorabea过程与优化设计过程
传统设计方法：经验方法慢，难以获得最优或次优解； 优化设计方法：有理论支持，寻优快速，可以获得全局 最优或次优解
优化设计应用成功案例
例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮
的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。
直齿圆柱齿轮副的优化设计
分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1； （3）设计约束条件：
（a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。
设计空间
二维设计
三维设计
设计变量所组成的设计空间
设计空间的维数
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 视目标和约束函数的性质，目前已能解决200个设 计变量的大型非线性最优化设计问题。
2.约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设 计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设 计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。
间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一
点表示。
x1
x
x2
[
x1,
x2
,
, xn ]T
xn
设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变
量，则称为n维设计问题。由n的大小，将优化问题分成
高维、中维、低维优化问题。
按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量 （例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
数学模型：
设计参数： 设计目标：
x1, x2 , x3
min S x1x2 2(x2 x3 x1x3 )
约束条件：
x1 5 x2 0 x3 0 x1x2 x3 100
目标函数等值（线）面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像 只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
约束条件
约束又可按其数学表达形式分成等式约束 和不等式约束两种类型：
(1)等式约束 (2)不等式约束
h(x) 0 g(x) 0
可行域
可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的 设计点所构成的空间 。
例：满足两项约束条件 g1（X）=x12＋x22—16 ≤ O g2（X）＝2—X2≤0
数学模型： 设计变量、目标函数、约束条件
优化问题的数学模型
1.设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示。
设计变量——在优化设计中，可以进行调 整和优选的独立参数
设计变量的全体实际上是一组变量，用一个列向 量表示。
x1
x
x2
[
x1,
x2
,
, xn ]T
xn
由n个设计变量x1, x2 , , xn 为坐标所组成的实空
17.2 优化设计问题实例
优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
优化设计包括： （1）形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和程序运算求解。
例1：箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖
的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料 最省。
分析：
（1）利润的表达式； （2）设计参数确定： A 产品xA， B 产品xB ； （3）设计约束条件：
（a）煤约束； （b）电约束； （b）劳动力约束；
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
xA, xB
max P PAxA PB xB
aC xA bC xB C aE xA bE xB E aL xA bL xB L
二维设计问题的可行域D。
3.目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量
的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以
F(X)表示。
F (x) F (x1，x2， ，xn )
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善 的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X
值。
单目标函数
多目标函数
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
m, z1,b
minW
4
b[(mz1)2
(miz1)2 ]
F1 [ ]F1 0 F 2 [ ]F 2 0 H [ ]H1 0
b 1.2mz1 0 17 z1 0
17.3 优化设计的数学模型
任何一个实际优化问题，其具体要求和约 束条件各不相同，其共同点：将实际问题转化 为数学模型（一个难点）——用数学公式来表 示使既要优化的问题。
x2 x1
x3
例2：生产资源调度问题
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位利润为PA 万元， B 产品 单位利润为PB 万元。每生产一个A 产品需消耗煤aC 吨，电aE 度， 人工aL 个人日；每生产一个B 产品需消耗煤bC 吨，电bE 度，人工 bL 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日， 欲找出其最优分配方案，使利润最大。
第17讲 最优化设计 基础
华中科技大学CAD中心 吴义忠 cad.wyz@hust.edu.cn
主要内容
引言 优化问题实例 优化模型 优化建模 优化求解
产品设计是约束满足问题，是参数优化问题。
运用优化设计理论及方法，借助计算机程序，为实现预期目标,考 虑各种设计要求，自动寻找最优设计方案和最佳设计参数。
美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构 优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优 化设计，使成本降低约10%。
使传统设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能； 使传统设计中，性能指标的校核可以不再进行； 使设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 使零缺陷（废品）设计成为可能； 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。