初、高中数学常用公式

初、高中数学常用公式一、初中部分1、直角三角形的勾股定理:设直角三角形ABC (不妨设︒=∠90C )的三边为c b a ,,,则222b ac +=. 2、勾股定理的逆定理:三角形ABC 的三边设为c b a ,,,若222b ac +=,则三角形ABC 是以︒=∠90C 的直角三角形.3、多边形内角和定理:n 边形的内角和等于︒⨯-180)2(n (其中n 为正整数,且3≥n ).4、正n 边形的每个内角nn ︒⨯-=180)2((其中n 为正整数,且3≥n ).5、菱形的面积等于对角线乘积的一半.6、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于底边,且等于底边长的一半.7、梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于底边,且等于上、下底的和的一半.8、比例的基本性质:若d c b a ::=,则ad bc =;反之,若ad bc =,则d c b a ::=,或者d b c a ::=. 9、合比定理:若d c b a =,则dd c b b a ±=±. 10、等比性质:若)0(,≠+++==n d b n m d c b a ,则ba n db mc a =++++++ . 11、边长为a 的正三角形的面积243a =. 12、扇形的弧长计算公式:180Rn L π=(其中n 为扇形中心角的度数,R 为扇形所在圆的半径). 13、扇形面积计算公式LR R n S 213602==π(其中n 为扇形中心角的度数,R 为扇形所在圆的半径,L 为弧长). 14、圆的面积公式2R S π=(其中R 为圆的半径). 15、圆的周长公式R L π2=(其中R 为圆的半径).16、圆柱的侧面积Rh S π2=侧;圆柱的全面积22R Rh S ππ+=全(其中R 为圆的半径,h 为圆柱的高).17、乘法公式(反过来就是因式分解):;2)(;))((22222b ab a b a b a b a b a +±=±-=-+=++2)(c b abc ac ab c b a 222222+++++;33223322))((;))((b a b ab a b a b a b ab a b a -=++-+=+-+; 322333223333)(;33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+.18、幂的运算性质:;)(;;mn n m n m n m nm nma a a a a aa a ==÷=⋅-+nr mr r n mb a b a =)(.19、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆;当0>∆时,方程有两个相异的实数根a ac b b x 2422,1-±-=;根与系数的关系(韦达定理):ac x x a b x x =⋅-=+2121,.20、直角三角形的三角函数:不妨直角三角形ABC 中︒=∠90C ,三角所对的边为c b a ,,,则锐角A 的四个三角函数为:正弦,sin c a A =余弦,cos c b A =正切,tan b aA =余切ab A =cot ;同角三角函数间的关系:①平方关系1cos sin 22=+A A ;②商的关系:A AA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==;③倒数关系1cot tan =⋅A A . 21、特殊角的三角函数:330cot ,3330tan ,2330cos ,2130sin ,10cos ,00sin =︒=︒=︒=︒=︒=︒; 3360cot ,360tan ,2160cos ,2360sin ,145cot 45tan ,2245cos 45sin =︒=︒=︒=︒=︒=︒=︒=︒； ︒=︒=︒=︒90tan ,090cot ,090cos ,190sin 无意义.22、三角不等式:对任意的实数b a ,,均有b a b a +≤+,“=”成立的条件是b a ,同号,即0≥ab ;对任意的实数b a ,,均有b a b a +≤-,“=”成立的条件是b a ,异号,即0≤ab .23、概率:如果用P 表示一个事件A 的概率,则1)(0≤≤A P ;P (必然事件)1=;P (不可能事件)0=. 24、二次函数的三种形式:①一般式)0(2≠++=a c bx ax y ;②顶点式)0()(2≠+-=a n m x a y ,顶点为),(n m ;③交点式)0)()((21≠--=a x x x x a y ,二次函数与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x .25、平面内两点间的距离公式:设),(),,(2211y x B y x A 为同一平面内不同两点,则B A ,两点间的距离公式为221221)()(y y x x AB -+-=;特别地,当B A ,两点为同一坐标轴上的点时,如)0,(),0,(21x B x A 或),0(),,0(21y B y A ,则21x x AB -=或21y y AB -=(即沙尔公式).二、高中部分1、集合运算的“狄·摩根律”:B C A C B A C U U U =)(;B C A C B A C U U U =)(.其中B A ,是两个集合,U 是全集。

2、集合的性质:①n 元集合的子集数n 2;②n 元集合的真子集数12-n ;③n 元集合的非空真子集数22-n. 3、高中所学的三种新函数:①指数函数1,0()(≠>=a a a x f x),其中a 是常数;②对数函数x x f a log )(=1,0(≠>a a ),其中a 是常数;③幂函数αx x f =)(,其中α是常数.指数函数、对数函数的单调性只与底数a 有关(须分1>a 与10<<a 讨论).4、三角函数常见的9组诱导公式:①,cos )2cos(,sin )2sin(ααπααπ=+=+k k =+)2tan(απkαα),(tan Z k ∈为象限角;②,tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(ααπααπααπ-=--=-=-α为象限角;③ααααααtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=-=--=-;α为象限角;④ααπsin )sin(-=+;ααπααπtan )tan(,cos )cos(=+-=+;α为象限角;⑤=--=-)2cos(,sin )2sin(απααπ,cos αααπtan )2tan(-=-;α为象限角;⑥ααπααπααπcot 2tan ,sin 2cos ,cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-;α为象限角;⑦ααπααπααπcot 2tan ,sin 2cos ,cos 2sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+;α为象限角;⑧α为象限角时,ααπααπααπcot 23tan ,sin 23cos ,cos 23sin =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-;⑨-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23sin ,cos αααπααπcot 23tan ,sin 23cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+;α为象限角.口诀:“奇变偶不变,符号看象限”. 5、三角函数R x A x A y ∈>>+=),,0(),sin(ωϕω,的最值:A y A y -==min max ,;最小正周期ωπ2=T .6、简单的三角恒等变形:①两角和(差)的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±,βα,为任意实数;=±)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan ⋅+ ,βα,为象限角;②二倍角公式:==αααα2cos ,cos sin 22sin α2cos,sin 211cos 2sin 222ααα-=-=-α为任意实数;ααα2tan 1tan 22tan -=,α为象限角;③半角公式:ααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan ,cos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222-=+=+-=+=-=;④辅助角公式:)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a ,ϕ,0≠ab 由b a ,确定:ba=ϕtan . 7、解斜三角形时,用到的两个定理:设ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,,ABC ∆外接圆的半径为R ,则有①正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===,由此得到ABC ∆的面积公式b a ABC h b h a S ⋅=⋅=∆2121RabcB ac A bcC ab h c c 4sin 21sin 21sin 2121====⋅=;c b a h h h ,,分别为边c b a ,,上的高;②余弦定理: C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=.8、设平面向量),(),,(2211y x b y x a ==.①),(),,(21212121y y x x b a y y x x b a μλμλμλ±±=+±±=±; ②2121y x a +=;③2121y y x x b a +=⋅;④向量b a ,的夹角[]πθ,0∈,ba b a ⋅=θcos ..12、复数有关运算:设复数),,,(,,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=.①i d b c a z z )()(21±+±=±;=⋅21z zi ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++;2221)()())(())((dc iad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-+-+=++=; ②221b a z +=;③1的两个虚立方根231,23121i i --=+-=ωω的性质:122221,ωωωω==. 13、直线方程的五种形式:①过定点),(00y x ,斜率为k 的直线l 的“点斜式”方程:)(00x x k y y -=-;②过定点),0(b ,斜率为k 的直线l 的“斜截式”方程:b kx y +=;③过两点),(),,(2211y x B y x A 的直线AB 的“两点式”方程:121121x x x x y y y y --=--或者212212x x x x y y y y --=--;④过两点),0(),0,(b B a A 的直线AB 的“截距式”方程:)1(1≠=+ab bya x ;⑤一般式方程:)0(022≠+=++B A C By Ax .直线的倾斜角α的取值范围:(]πα,0∈.14、定点),(00y x P 到定直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离公式2200BA CBy Ax d +++=.15、两条平行直线)(,0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++间的距离公式2221BA C C d +-=.16、两相交直线)1(:,:21222111-≠+=+=k k b x k y l b x k y l 的夹角⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ公式21211tan k k k k ⋅+-=θ. 17、圆的方程:①圆心为),(b a C ,半径为)0(>r r 的圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-;②圆的一般方程:)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ,圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ,半径2422FE D r -+=.18、焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y ;焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ;焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ;焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为px y 22=(0>p ),焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ,准线方程为2p x -=;焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为px y 22-=(0>p ),焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p F ,准线方程为2p x =;焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为py x 22=(0>p ),焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛,2,0p F ,准线方程为2p y -=;焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为py x 22-=(0>p ),焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p F ,准线方程为2p y -=.19、基本不等式(均值不等式):对于任意两个正数b a ,,均有,2ab ba ≥+“=”成立的条件:当且仅当b a =. 基本不等式的推广:对于任意n 个正数n a a a ,,,21 ,均有,22121n na a a a a a ≥+++“=”成立的条件:当且仅当n a a a ==21.20、两条异面直线间的夹角θ的范围:⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ;直线与平面所成的角θ的范围:⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ;两个平面所成的“二面角”θ的范围:[]πθ,0∈..。