高等数学同济大学第六版32省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

lim[af (h) bf (2h) f (0)] (a b 1) f (0) 0,
h0
f (0) 0, a b 1 0. 由罗必达法则得
0 lim af (h) bf (2h) f (0) lim af (h) 2bf (2h)
h0
h
h0
1
(a 2b) f (0), f (0) 0, a 2b 0.
g( x)
g( x)
限不存在，是否 f ( x)的极限也一定不存在？ g( x)
举例说明.
思索题解答
不一定． 例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然 lim f ( x) lim 1 cos x
x g( x) x 1
极限不存在．
但 lim f ( x) lim x sin x 1 极限存在． x g( x) x x
0) 0
lim
x0
ln sin ax (a 0, b 0), ln sin bx
(
)
定理1 设
(1) lim f ( x) lim F ( x) 0;
xa
xa
(2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在
且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x)
解
原式
lim
x
e x x2
(
)
lim x
e x
2x
()
lim
2e x
2 x
.
lim
x
e x x
( 0, 0).
(2) 求 lim x
ln x x
(
0). 1
解
lim
x
ln x x
lim
x
x
x
1
1
lim
x
x
0
lim
x
lnm x x
0
(m 0).
lnm x(m 0), x ( 0), ex ( 0)
x x
1 x
lim n n lim x x 1
n
x
例14(2002,6) 设函数f ( x)在x 0的某个邻域内具有一阶 连续的导数，且f (0) 0, f (0) 0,若af (h) bf (2h) f (0) 在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定 a, b的值。
解法一：由题设得
, , x
a
a
,
该法则仍然成立 .
例如，lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
定理2 设
(1) lim f ( x) lim F ( x) ;
xa
xa
(2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在
且 F ( x) 0;
lim[af (h) bf (2h) f (0)] (a b 1) f (0) 0, h0
f (0) 0, a b 1 0.
af (h) bf (2h) f (0)
0 lim
h0
h
a[ f (h) f (0)] b[ f (2h) f (0)] (a b 1) f (0)
lim
1 cot
x
1 sin 2
x
x0 ln x
x0
1
lim x x0 cos x sin x
1,
x
原式
e1 .
注意：洛必达法则旳使用条件．
例13 求 lim x cos x .
x
x
解 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效。
极限不存在
原式 lim(1 1 cos x) 1.
例1 求 lim tan x .
(0)
x0 x
0
解
原式 lim (tan x) x0 ( x)
lim sec2 x x0 1
1.
例2
求
lim
x 1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
解
原式 lim 3x2 3 x1 3 x 2 2 x 1
lim 6x x1 6 x 2
( x )
结论：当x 时，指数增长ex ( 0)快于 幂增长x ( 0), 幂增长x ( 0)快于对数增长
lnm x(m 0).
2. 型
环节: 1 1 0 0 .
0 0 00
例9 求 lim( 1 1 ).
x0 sin x x
( )
解
原式
lim
x0
x sin x x sin x
解
原式
lim
e x ln x
lim x ln x
e x0
x0
1
lim x ln x
x0
lim
x0
ln x 1 x
lim
x0
x
1 x2
0
原式 e0 1.
1
例11 求 lim x 1 x . ( 1 )
1
解
e e x1
原式
lim
e
1 1 x
ln
x
lim ln x x11 x
lim x
x1 1 e 1 .
lim
h0
h
(a 2b) f (0), f (0) 0, a 2b 0.
a b 1 0 a 2b 0 a 2, b 1.
解法三：由条件及泰勒 公式得 f (h) f (0) f (0)h o(h) f (2h) f (0) 2 f (0)h o(h)
af (h) bf (2h) f (0) (a b 1) f (0) (a 2b) f (0)h o(h)
3. 2
例3
arctan x
求 lim 2
.
x
1
(0) 0
x
解 例4
原式
lim
1
1 x
2
x
1 x2
求 lim ln sin ax (a
x0 ln sin bx
lim x2 x 1 x 2
0, b 0). (
1.
)
a cos ax
解
原式 lim sin ax x0 b cos bx
lxi(m000
)x
sin x2
x
lim
x0
1 cos 2x
x
0
lim 1 cos x lim
sin x
x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
0.
3. 00 ,1 ,0 型
环节:
00
0 ln 0
1
取对数
ln1
0.
0
0 ln
例10 求 lim x x . ( 00 ) x0
o
x U (a, ) , 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f ( x), F ( x)满足柯西中值定理的条 件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
当x a时, a,
(在x与a之间)
lim f ( x) lim f ( ) lim f ( ) A(或）. xa F ( x) xa F ( ) a F ( )
cos ax lim
x0 cos bx
1.
sin bx
例5
求
lim
x 2
tan x . tan 3x
(
? lim
)
x 2
x 3x
1 ( tan x ~ x, 3
tan 3x ~ 3x, x
0)
解
原式
lim
x
sec2 3 sec2
x 3x
2
1 lim cos2 3x 3 x cos2 x
2
注: 1. 如果 f ( x) 仍属 0 型，且 f ( x), F( x) 满足
F( x) 0 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x) xa F ( x)
2.
对其它五种函数极限 x
§2. 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法:洛必达法则 0
定义 如果 lim f ( x) ( 0 )或 ( )
xa F ( x)
( x)
0
那末 lim f ( x) 可能存在、也可能不存 在．
xa F ( x)
( x)
通常把这种极限称为 0 或 型未定式.
0
例如,
lim
x0
tan x
x
,
(
1
或 lim x 1 x
x 1 1
lim(1 ( x 1))1x
1 1
lim(1 ( x 1)) x1
e1 .
x 1
x 1
1
x1
例12 求 lim (cot x)ln x . ( 0 )
x0
解
1
(cot x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
lim
1
ln(cot x)
x0
x
3、lim ln tan 7 x =____________. x0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限：
1、
lim
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
练习题
一、填空题：
1、洛必达法则除了可用于求“0 ”，及“ ”两种
0
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____________，_____________，____________，
_____________ ，_____________ ，等 型的未定 式
的求极限的问题.
2、 lim ln(1 x) =___________.
因此，当a b 1 0，a 2b 0时，即，a 2, b 1, af (h) bf (2h) f (0) o(h)，
小结
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0 型
f g f 1g
思索题
设lim f ( x)是不定型极限，如果 f ( x)的极
2
2
2
注意：洛必达法则是求未定式旳一种有效措施， 但与其他求极限措施结合使用，效果更加好.
例6
求 lim tan x x . x0 x 2 tan x
(0) 0
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
sec2 x 1
lim x0
3x2
lim 2sec2 x tan x 1 lim tan x 1 .
那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为洛必达法则.
证 lim f ( x) 与f (a), F (a)无关，
xa F ( x)
定义f (a) 0, F (a) 0. 则f ( x), F ( x)在点a连续.
x0
6x
3 x0 x
3
例7 求 lim x sin x x0 sin x tan x
lim
x0
x
sin x2
x
x2
lim 1 cos x lim 2 0
x0 2x
x0 2x
解: 原式 lim
1 cos x
(0)
x0 cos x tan x sin x sec2 x 0
lim
x0
sin
a b 1 0 a 2b 0 a 2, b 1.
例14(2002,6) 设函数f ( x)在x 0的某个邻域内具有一阶 连续的导数，且f (0) 0, f (0) 0,若af (h) bf (2h) f (0) 在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定 a, b的值。 解法二：由题设得
x
x
利用罗必达法则及数列极限与函数极限旳关 系定理(P37)，可求出某些数列极限.
例14 求 lim n n. ( 0 ) n解 考察函数极限Fra bibliotekln x1
lim x x lim x x
lim e x x
x
x
1
exp( lim ln x ) exp( lim x ) e0 1,
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
7、 lim ( 2 arctan x)x . x
三、讨论函数
f
(
x)
[(1
x) e
1 x
1
]x
,
当x 0,
e
1 2
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x)
那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
注: 定理2中的极限可以是6中极限过程的任一种
x a, x a , x a , x , x , x ;
当条件满足时，罗必达 法则可以多次使用.
(0) 0
1 lim 6cos 3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2 cos x sin x x sin 2 x
2
2
6cos 6x
lim
3.
x 2 cos 2 x
2
sin 3x cos 3x
3sin 3x
lim
lim
lim
3
x
sin x
x
cos x
x
sin x
x
tan
x
2 cos
sin x x sec2 x
2 sin
x
sec2
x
tan
x
0
二、0 , ,00 ,1 , 0型未定式解法
关键:将其他类型未定式化为洛必达法则可处理
旳类型 ( 0 ), ( ) .
1. 0 型0
环节:
0
1 ,
或 0 01. 0
例8 (1) 求 lim x2ex ( 0). ( 0 ) x