高中数学平面向量数量积的运算律

高中数学平面向量数量积的运算律
【知识与技能】
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
【过程与方法】
平面向量数量积运算规律类似与代数式运算的运算律，但要注意（ａ·ｂ）·с=ａ·（ｂ·с）不成立；代数式运算中的平方公式与平方差公式在平面向量数量积运算中仍然成立，它们是平面向量数量积运算重要的工具，要熟记并能熟练运用.
一、教学目标
1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．
二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.
三、教学过程
1．设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2．探索研究
（1）复习巩固：
①什么叫做两个向量的数量积？ 答：θcos b a b a =⋅（a 与b 向量的数量积等式a 的模a 与b 在a 的方向上的投影θcos b 的乘积）
②向量的数量积有哪些性质？
答：（1）a b b a ⋅=⋅
（2）θcos a a e =⋅
（3）2
a a a =⋅
（4）0b a b a =⋅⇔⊥
（5）b a b a ⋅=θcos （6）⋅≤a b a b
（2）向量的数量积满足哪些运算律？
交换律：a b b a ⋅=⋅
()()()b a λλb a b λa ⋅=⋅=⋅
分配律：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+
问：这个式子()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅成立吗？（由学生自己验证）
答：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为()c b a ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，而()c b a ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

（3）例题分析 【例1】求证： （1）()22b b 2a a b a +⋅+=+ （2）()()22b a b a b a -=-⋅+
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

证：()()()b a b a b a +⋅+=+2 b b a b b a a a ⋅+⋅+⋅+⋅
22b b 2a a +⋅+ ()()
b a b a -+()()b b a b b a a a -+⋅+-⋅+⋅22b a - 注：()3b a +3223b b 3a b 3a a +⋅+⋅+（其中a 、b 为向量）
答：一般不成立。

【例2】已知6=a ，4=b ，a 与b 的夹角为︒60，求()()3b a 2b a -⋅+.
解：∵()()3b a 2b a -⋅+
b 6b b a a a ⋅-⋅-⋅
72b 6cos θos b a a 2
2=-︒-
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.
【例3】已知3=a ，4-=b 且a 与b 不共线，当且仅当k 为何值时，向量b a k +与b a k -互相垂直．
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：0=⋅⇒⊥b a b a
解：b a k +与b a k -互相垂直的充要条件是 ()()0=-⋅+b a b a k k
即 0222=-b a k
∵ 92=a 162
=b
∴ 01692=-k ∴ 43±=k ∴ 当且仅当4
3±
=k 时，b a k +与b a k -互相垂直． 练习题：已知a ，b 为非零向量，b a 3+与b a 57-互相垂直，b a 4-与b a 27-互相垂直，求a 与b 的夹角． 【例4】a ，b 为非零向量，当()R b a ∈+t t 的模取最小值时，
①求t 的值；
②求证：b 与b a t +垂直．
（2）解答：①由b a b a b a ⋅+⋅+=+t t t 22222
当2222b b a b b
a ⋅-=⋅-=t 时
b a t +最小；
②∵()b a b t +⋅
0222=⋅⋅-⋅=+⋅=b b
a b b a b b a t
∴b 与b a t +垂直.
3．总结提炼
（l ）0=⋅⇔⊥b a b a
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．
四、板书设计
【补充例题】
例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.
解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ①
(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ②
两式相减：2a ⋅b = b 2
代入①或②得：a 2 = b 2
设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2
1222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +
∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||2
22
而BD =AD AB -
∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222
∴|AC |2 + |BD |2 = 22
22AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，
∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋2с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，
∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝0，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０
即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .
综上所述，四边形ABCD 是矩形.
评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.。