(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行
B ．垂直
C ．夹角是锐角
D ．夹角是钝角
2．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
3．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1
3
BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
5．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则
λ等于( )
A ．
a b a b
⋅ B ．
2
a b a
⋅ C ．
2
a b b
⋅ D ．
a b a b
⋅
6．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取
值范围是( ) A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
7．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18
-
B ．116
-
C ．316
-
D ．0
8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ） A ．8
B ．4
C ．6
D ．3
9．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．
103
B ．103
-
C ．2
D ．2-
10．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()
0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）
A ．22
B ．122+
C ．222+
D ．42
11．设O 是△ABC 的外接圆圆心、且720OA OB OC ++=，则∠BOC =（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；
③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题
13．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边
AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.
14．已知圆22:1O x y +=，A 点为圆上第一象限内的一个动点，将OA 逆时针旋转90°得
OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．
15．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a |x a b -⋅=0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是_____．
16．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.
17．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 18．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.
19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量
AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.
20．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______.
三、解答题
21．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；
（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？ 22．已知向量()sin ,cos a x x =，(
)
3,1b =-，[]0,x π∈.
（1）若a b ⊥，求x 的值；
（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；
(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标
24．如图所示，在ABC 中，AB a =，BC b =，D ，F 分别为线段BC ，AC 上一点，且2BD DC =，3CF FA =，BF 和AD 相交于点E .
（1）用向量a ，b 表示BF ；
（2）假设()1BE BA BD BF λλμ=+-=，用向量a ，b 表示BE 并求出μ的值. 25．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABD
ACD
S
S
=，求AD .
26．已知平面上三点A ，B ，C 的坐标依次为()1,2-，()3,2，(),1k . （1）若ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，求实数k 的值；
（2）在（1）的条件下，设AE AB λ=，AD AC μ=，若//BC ED ，证明：λμ=.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】
因为()2,3a =，()4,2b =，
2
22()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，
所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.
2．B
解析：B 【分析】
首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】
由已知，1212e e ⋅=
，所以(()
1212)2e e e e +-+=3
2
，|12e e +，|122e e -+, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，
则
3
1cos ,2
333παα==∴=⋅.
故答案为B 【点睛】
(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·
cos ,ab a b a b
=
,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则2221
cos x y x θ=
+⋅.
3．C
解析：C 【分析】
根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+，21
32MN AD AB =-+，再结合向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得1
2
AM AD DM AD AB =+=+
， 2132MN CN CM CB CD =-=-2121
3232
BC DC AD AB =-+=-+，
所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
⋅=+
⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
936334=-⨯+⨯=.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．D
解析：D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：BC OA ⊥,即()
2
00BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即
2
20a a b λλ-⋅=，2
0,a b a
λλ⋅≠∴=
．
考点：平面向量的数量积的应用.
6．B
解析：B 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2
θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
7．C
解析：C 【分析】
建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(16⋅==-AP CP t t ，进而
可求最小值. 【详解】
以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2
t ≤
1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为3
16
-． 故选：C 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.
8．D
解析：D 【分析】
设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF . 【详解】
设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，
()212x ∴-=-，
解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】
本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．
9．D
解析：D 【分析】 根据题意得出()
12BD BA BC =+，1
3
AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】
解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()
12BD BA BC =
+，1
3
13A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()
221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫
+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=
⎭⎝⎭
， 112144222332⎛⎫
=
⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
， 2=-．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．
10．C
解析：C 【分析】
不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()
0c a c b -⋅-=求出点
(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆
心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】
∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设
(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，
则()()
(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即
22(1)(1)2m n -+-=，
∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．
11．B
解析：B 【分析】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，可得1,2,7===
OC OF OE ,再利用两角和余弦公式可得
3
BOC π
∠=
【详解】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===
OC OF OE 2
221723
cos sin 21777
+-∠==∠=
⨯⨯EOC EOC ， 2273
cos sin 2272727∠==∠=
⨯⨯EOF EOF 3331
cos cos()2
727727∠=∠+∠=
=BOC COE EOF 3
π
∴∠=
BOC
故选：B 【点睛】
本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
12．B
解析：B 【分析】
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】
对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，
则存在唯一的实数2λ，使得2λb
c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得
12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误；
对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：
77
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出
,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()
11
22
AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()
1
2
AN AB AC =
+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2
2
11112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
22
2211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 因为(),0,1λμ∈且41λμ+=
10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
所以当17μ=
时, 2MN 取得最小值17
因而min 7MN ==
故答案为 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
14．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；
【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2
【分析】 由题意可设(cos ,sin )A αα，02π
α<<，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量
积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围；
【详解】 由题意，设(cos ,sin )A αα，02π
α<<，则(sin ,cos )B αα-，即有
(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，
∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 12)14PA PB πααααααα⋅=---+=-+=
-+，而(,)444πππα-∈-，即2
sin()4πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈，
故答案为：()0,2
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；
15．【分析】由关于的方程有两相等实根可得解得即可求出与的夹角【详解】∵已知|且关于的方程有两相等实根∴设向量与的夹角为则可解得则向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角考查方程的解的应用 解析：23
π 【分析】 由关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,可得240a a b ∆=+⋅=,解得
1cos 2
θ=-,即可求出a 与b 的夹角 【详解】
∵已知|2a b =,0b ≠,且关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根, ∴240a a b ∆=+⋅=,
设向量a 与b 的夹角为θ,
则()2242cos 0b b b θ∆=+⨯=,可解得1cos 2
θ=- 0θπ≤≤,
则向量a 与b 的夹角θ为
23π 故答案为：
23
π 【点睛】 本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用
16．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116
【分析】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方
程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值.
【详解】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -=
=， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D ，()3,1M ，圆M 的方程为
()()
22311x y -+-=， 设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得
134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）， 所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4
β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值
116， 故答案为：116
.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.
17．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3
【分析】
根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案.
【详解】 111cos1202
a b ⋅=⨯⨯︒=- 22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++= 3【点睛】
本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题. 18．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题
解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
由已知，得22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得2
26a b +=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b ⋅=，最后由cos ,a b a b a b ⋅=可得解. 【详解】
由3a b +=，3a b -=，得
()()2239b a a b ⎧⎪⎨⎪-==+⎩ ，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②
① 由+①②，得226a b +=，即226a b +=
由-①②，得32a b ⋅=
由222a b a b +≥，得3a b ≤
1
cos ,2a b
a b a b ⋅=
≥ 所以，0,3a b π≤≤
. 故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】 本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.
19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键 解析：22⎡-⎢⎣⎦
. 【分析】
由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解.
【详解】
在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=
22
222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+
=,
令12cos ,sin ,cos sin )2
λθμθλμθ
θθϕ==+=
+=+， 其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为-, λμ+的取值范围为⎡⎢⎣⎦
.
故答案为:⎡
⎢⎣⎦
【点睛】
本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.
20．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题 解析：12
- 【分析】
由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．
【详解】
解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，
所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，
()()()22,321,24,1a b -=--=-，
由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=． 解得12
m =-． 故答案为：12
-
． 【点睛】 本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
三、解答题
21．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-．
【分析】
（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；
（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解．
【详解】
（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=； 21(2b =+=．
（Ⅱ）(3)a kb k +=+，
因为向量a 与k +a b 互相垂直，
所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-．
【点睛】
本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题． 22．（1）6x π
=；（2）23
x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.
【分析】
（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3
x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.
【详解】
解:（1）因为a b ⊥， 所以sin co 30s b x x a =-=⋅，
于是sin tan s co x x x == 又[]0,x π∈，所以6x π
=；
（2）()())
sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-
cos x x =-
2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭. 因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-
≤ ⎪⎝⎭ 于是，当62x ππ-
=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x π
π
-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.
【点睛】
本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.
23．（1）()4,1=-AB ,17;=AB （2
）25,⎛=
⎝
⎭e ，或25.⎛=- ⎝
⎭e 【详解】 试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ；
（II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．
试题 （I ）()()AB 13,214,1=-
--=-,(AB =
-=
(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y +=
又(),1,2⊥=-e OB OB ,
所以20x y -+=
即2x y =
由2221x y x y =⎧⎨+=⎩
，解得
55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者55
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以25
,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=- ⎝⎭
e 24．（1）3144BF a b =-
+；（2）2239BE a b =-+，89μ=. 【分析】
（1）把BF 放在ABF 中，利用向量加法的三角形法则即可；
（2）把a ，b 作为基底，表示出 BE ，利用BE BF μ=求出 μ.
【详解】
解：由题意得3CF FA =，2BD DC =，所以14AF AC =，23BD BC = （1）因为BF BA AF =+，AB a =，BC b =
所以()
1144BF BA AC BA BC BA =+=+- 31314444
BA BC a b =+=-+. （2）由（1）知3144BF a b =-+，而3223BD BC b == 而()()23111344BE BA BD BF BE a a b b λλμλλμ⎛⎫=+-=⇒=-+-=-+ ⎪⎝⎭
因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理得
()34213
4λμμλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得89
μ= 所以2239BE a b =-+，89μ=即为所求. 【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
25．（1）35y x =-；（2）55 AD =
【分析】
（1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程；
（2）由2ABD ACD S S =可得2BD DC =，可得23
AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.
【详解】
（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323
k -==-， 所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-； （2）因为2ABD ACD S S =，所以2BD DC =，则23BD BC =
， 又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+ ⎝⎭，
所以5 333AD ⎛== ⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.
26．（1）5k =-（2）证明见解析
【分析】
（1）根据ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，可知AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，解得
k 值；（2）利用向量三角形法则得出BC 和DE ，由//BC ED 知//BC DE ，利用向量平行性质即可证明λμ=.
【详解】
解：（1）因为A ，B ，C 的坐标依次为()1,2-，()3,2，(),1k .
所以()2,4AB =，()1,3AC k =-，
因为ABC ∆为直角三角形，且角A 为直角，
所以AB AC ⊥，
所以()()2,41,32100AB AC k k ⋅=⋅-=+=，
所以5k =-
（2）()()()6,32,48,1BC AC AB =-=--=--
DE AE AD AB AC λμ=-=-
()()()2,46,326,43λλμμλμλμ=--=+-，
因为//BC ED ，所以//BC DE ，
所以()()84326λμλμ--=-+，
整理得λμ=.
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.。