陕西省西安市师大附中高二数学文期末试题含解析

陕西省西安市师大附中高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
①∥②与是异面直线
③与成600角④与是异面直线
以上命题中，正确命题的序号是（）
A．①②③ B．②④ C．③④D．②③④
参考答案：
C
2. 已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数
的图象向左平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则（）
A. 函数f(x)的周期为2π
B. 函数f(x)图象关于点对称
C. 函数f(x)图象关于直线对称
D. 函数f(x)在上单调
参考答案：D
【分析】
根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。

根据解析式判断各选项是否正确。

【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间距离为
所以周期，则
所以函数
函数的图象向左平移单位，得到的解析式为
因为图象关于y轴对称，所以
，即，k∈ Z
因为
所以
即
所以周期，所以A错误
对称中心满足，解得，所以B错误
对称轴满足，解得，所以C错误
单调增区间满足，解得，而在
内，所以D正确
所以选D
【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。

3. 双曲线的渐近线方程为（）
参考答
案：A
略
4. 已知函数f(x)的图象如图所示， f ′ (x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()
A．0＜f ′ (2)＜f ′ (3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f ′(3)＜f(3)－f(2)＜f ′(2)
C．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f(3)－f(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f ′ (2)＜f ′ (3)
参考答案：
B
5. 若是z的共轭复数，且满足，则z=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据复数运算，先求得，再求其共轭复数，则问题得解.
【详解】由题知,则．故选：B.
【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题.
6. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）
参考答案：
C
略
7. 能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为
（）
A 2
B
C 3
D 3
参考答案：
C
错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。

8. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（）
A.异面或平行
B.异面
C.相交
D.相交或异面
参考答案：
D
略
9. “”是“对任意的正数，2x十≥l”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
A．B．C．D．
10. 已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，，则数列{a n }的前8项和
为( )
A ．514
B ．513
C ．512
D ．510
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是 ．
参考答案：
0.2
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，再根据它们的概率之和等于1，求得摸出白球的概率．
【解答】解：从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球， 这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1， 故从中任摸一球摸出白球的概率为 1﹣0.3﹣0.5=0.2， 故答案为：0.2．
12. 复数
的对应点在虚轴上，则实数的值
是
.
参考答案： 0
13. 设，为正实数，若
4＋
＋＝1，则2＋的最大值是__________.
参考答案：
略 14. 设
，若
，则
的最大值为 ．
参考答案：
由柯西不等式，，
知
．
15. 求值：=
参考答案：
—2
16. 如果对任何实数k ，直线（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．
参考答案：
（﹣1，2）
【考点】恒过定点的直线．
【分析】由（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0可得3x+y+1+k （x ﹣2y+5）=0，进而有x ﹣2y+5=0且
3x+y+1=0，由此即可得到结论．
【解答】解：由（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0可得3x+y+1+k （x ﹣2y+5）=0 ∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0 ∴x=﹣1，y=2
∴对任何实数k ，直线（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0都过一个定点A （﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）
17. 设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是_______.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分) 已知z ∈C ，和都是实数．
（１）求复数；
（２）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．参考答案：
解：（１）设，……………………………………1分则，
，………………３分∵和都是实数，
∴，解得，…………………………………………6分
∴．…………………………………………………7分
（２）由（１）知，
∴，………………8分
∵在复平面上对应的点在第四象限，
∴，…………………………………………………9分
即，∴，………………………………12分
∴，即实数的取值范围是．………………………14分
略
19. 如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．
（1）求点M到其准线的距离；
（2）求证：直线AB的斜率为定值．参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知得32=4a，，由此能求出点M到其准线的距离．
（2）设直线MA的方程为：，联立，得，由已
知条件推导出，，由此能证明直线AB的斜率为定值．
【解答】（1）解：∵M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点
∴32=4a，
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1
∴点M到其准线的距离为：．
（2）证明：由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，
设直线MA的方程为：，
联立，得，
∵，∴，
∵直线AM、BM的斜率互为相反数
∴直线MA的方程为：y﹣3=﹣k（x﹣），
同理可得：，
∴====﹣，
∴直线AB的斜率为定值﹣．
【点评】本题考查点到准线的距离的求法，考查直线的斜率这定理的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
20. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数m的取值范围；
（3）若函数，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）原不等式即为，设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，
即t2﹣10t+16＜0，解得，即，∴1＜x＜3，∴原不等式的解集为(1,3)． (4)
分
（2）函数在[－1,1]上有零点，∴在[－1,1]上有解，即在[－1,1]有解．
设，∵，∴，
∴．∵在[－1,1]有解，∴，故实数m的取值范围为
．…………8分
（3）由题意得，解得．
由题意得，
即
对任意恒成立，令，，则．
则得对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，
∵在上单调递减，∴．
∴，∴实数的取值范围．…………12分
21. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点.
（Ⅰ）过作直线交抛物线于两点，求的值；
（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值.
参考答案：
（Ⅰ）设直线的方程为，
由
∴ks5u
∴ 4分（Ⅱ）根据题意得斜率存在
故设，
由ks5u
∴
同理可得
所以，
∴ks5u
当且仅当时，面积取到最小值4. 12分
略
22. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c＝6，a＝，求△ABC的面积。

参考答案：
（Ⅰ）∵，
由正弦定理得…………（2分）
得，
∴，…………………………（4分）
在△ABC中，，
∴……………………………………………………（5分）
∴（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
即
∴…………………………………………………（8分）
∵∴……………………………………………（10分）∴………………………………（12分）。