初二下册数学 2015-2016学年黄冈市红安县八年级下期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年湖北省黄冈市红安县八年级（下）期中数学试卷　
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共21分）1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．+=B．4﹣3=1 C．2×3=6D．÷=3
3．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD
5．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
6．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形B．矩形 C．菱形 D．都有可能
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A．B．C．12 D．24
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
8．计算：= ．
9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为 ．
10．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为 ．
11．已知，则= ．
12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
13．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度．
14．如图，已知图中每个小方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）
15．计算：
（1）××（﹣）
（2）+3﹣﹣．
16．已知a为实数，求代数式：﹣+的值．
17．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
19．一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．
20．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，A
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC为直角三角形．D
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： ；
（2）错误的原因是： ；
（3）本题正确的结论是： ．
21．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．（1）求证：BE⊥CF；
（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？
（直接写出答案）
22．若a=1﹣，先化简再求的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
2015-2016学年湖北省黄冈市红安县八年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共21分）1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的定义．
【专题】应用题．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，
表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．+=B．4﹣3=1 C．2×3=6D．÷=3
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．
【解答】解：A.，无法计算，故此选项错误，
B.4﹣3=，故此选项错误，
C.2×3=6×3=18，故此选项错误，
D.=，此选项正确，
故选D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
3．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】由勾股定理得出=，得出数轴上点A所表示的数是﹣1，即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：=，
∴数轴上点A所表示的数是﹣1，
∴a=﹣1；故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD
【考点】平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定．　
6．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【考点】菱形的判定．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
【点评】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A．B．C．12 D．24
【考点】菱形的性质．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，
BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
8．计算：= ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为　2或　．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】分7为斜边与7为直角边两种情况考虑，分别利用勾股定理即可求出第三边．
【解答】解：若7为斜边，根据勾股定理得：第三边为=2；
若7为直角边，根据勾股定理得：第三边为=，
故答案为：2或
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为　150°　．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，求出
∠ADE=∠BCE=75°，再求出∠EDC=∠ECD=15°，即可得出∠CED．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，
∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，
∴∠ADE=∠BCE=（180°﹣30°）=75°，
∴∠EDC=∠ECD=15°，
∴∠CED=180°﹣15°﹣15°=150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．已知，则= ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】存在型．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵y=++4，
∴，
解得x=，
∴y=4，
∴原式==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了　2　cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
13．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　30　度．
【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．
【分析】根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），
∴当AE=AB，则符合要求，此时∠B=30°，
即这个平行四边形的最小内角为：30度．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出AE=AB是解题关键．　
14．如图，已知图中每个小方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于 ．
【考点】勾股定理．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】连接AC，AB，根据勾股定理可求得三角形各边的长，从而得到该三角形是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可求得底边AC上的高，再根据面积公式即可求得AB边上的高．【解答】解：连接AC，BC．
根据勾股定理求得：AC=2，BC=AB=，
∵BC=AB，
∴三角形是等腰三角形，
∴AC上的高是2，
∴该三角形的面积是4，
∴AB边上的高是=．
【点评】由于发现该三角形是等腰三角形，其底边上的高易求得，所以根据三角形的面积不变进一步求得腰上的高．
三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）
15．计算：
（1）××（﹣）
（2）+3﹣﹣．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=﹣
=﹣；
（2）原式=2+2﹣﹣
=0．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．已知a为实数，求代数式：﹣+的值．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：由﹣a2≥0，
得，a=0，
则﹣+
=﹣+
=0．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数以及二次根式的性质是解题的关键．
17．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【考点】勾股定理的证明．
【专题】证明题．
【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
【解答】证明：∵，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
19．一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD 及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC=5，
又AD=12，CD=13，
∴AD2=122=144，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．　
20．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，A
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC为直角三角形．D
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：　第C步　；
（2）错误的原因是：　等式两边同时除以a2﹣b2　；
（3）本题正确的结论是：　直角三角形或等腰三角形　．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】阅读型．
【分析】通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．
【解答】解：（1）C；
（2）方程两边同除以（a2﹣b2），因为（a2﹣b2）的值有可能是0；
（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0
∵a2﹣b2=0
∴a+b=0或a﹣b=0
∵a+b≠0
∴c2=a2+b2或a﹣b=0
∴c2=a2+b2或a=b
∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．
21．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．（1）求证：BE⊥CF；
（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？
（直接写出答案）
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）平行四边形中邻角互补，且BE、CF分别为一组邻角的平分线，所以BE和CF垂直．（2）在三角形AEB中，因为BE为平分线，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，即∠BOC=90°，由题可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一个角是直角的平行四边形为矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF
（2）解：AF=DE
理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE
（3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，难易程度适中．
22．若a=1﹣，先化简再求的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据a=1﹣＜1，先把化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．
【解答】解：
=+．
∵a=1﹣＜1，
∴原式=+=．
把a=1﹣代入得：
===（1+）2=3+2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把二次根式化为最简再代入求值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D点，求出AD的长，比较即可得到答案；
（2）根据题意找出点E和点F，根据勾股定理求出EF的长，根据台风的速度求出时间；（2）根据每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级计算即可．
【解答】解：（1）该城市会受到台风影响．
理由：如图1，过点A作AD⊥BC于D点，则AD即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD中，因为∠B=30°，AB=240．
AD=×240=120（千米）．
由题可知，距台风中心在（12﹣4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．
因为120千米＜200千米，因此该城市将会受到“圣帕”影响．
（2））依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，
故在BC上作AE=AF=200；
台风中心从点E移动到点F处时，
该城市会处在台风影响范围之内．（如图2）
DE=160（千米）．
所以EF=2×160=320（千米）．
又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．
所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
答：该城市受台风影响最大风力7.2级．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、灵活运用等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．。