高中数学 2.2.2函数的表示法教学设计 北师大版必修1

2．2 函数的表示法
整体设计
教学分析
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图像法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．
三维目标
1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图像法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．
3．会用描点法画一些简单函数的图像，培养学生应用函数的图像解决问题的能力．重点难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：分段函数的表示及其图像．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是Сднемрождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．
思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课
新知探究
提出问题
初中学过的三种表示法：解析法、图像法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式．
(2)图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数值y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量之间函数关系的方法叫作图像法．
(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫作列表法．
应用示例
思路1
例1 请画出下面函数的图像：y ＝|x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧ x ，
－x ，
x ≥0，x <0.
活动：学生思考函数图像的画法：①一次函数是基本初等函数，其图像是直线，可直接画出；②利用变换法画出图像，根据绝对值的概念来化简解析式．
解法一：函数y ＝|x |的图像如图1所示．
图1
解法二：画函数y ＝x 的图像，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图像位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图像(如图1所示)．
点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等. 变式训练
1．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4，x 2
－2x ，－x ＋2，x ≤0，
0<x ≤4，x >4.
(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图像．
分析：本题主要考查分段函数及其图像．f (x )是分段函数，要求f {f [f (5)]}，需要确定f [f (5)]的取值范围，为此又需确定f (5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图像，再合起来就是分段函数的图像．
解：(1)∵5＞4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，
∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0＜1＜4，
∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12
－2×1＝－1， 即f {f [f (5)]}＝－1.
图2
(2)图像如图2所示．
2．画函数y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋
2
，－x ，
x ≤0，x >0
的图像．
步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2
的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像．如图3所示．
图3
点评：函数y ＝f (x )的图像位于x 轴上方的部分是y ＝|f (x )|的图像的一部分，函数y ＝f (x )的图像位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y ＝|f (x )|的图像的一部分．这两部分合起来是y ＝|f (x )|的图像，利用函数y ＝f (x )的图像和函数y ＝|f (x )|的图像的这种关系，由函数y ＝f (x )的图像画出函数y ＝|f (x )|的图像.
例2 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：
活动：学生回顾思考常数函数的图像形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示． 解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图4.
图4
函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1.20，0<m ≤20，
2.40，20<m ≤40，
3.60，40<m ≤60，
4.80，60<m ≤80，6.00，80<m ≤100.
点评：本题主要考查分段函数的解析式和图像．求分段函数的函数值时，要注意自变量
在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f 1x ，f 2x ，
…，
x ∈D 1，
x ∈D 2，…
(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图像步骤是
(1)画整个函数y ＝f 1(x )的图像，再取其在区间D 1上的图像，其他部分删去不要； (2)画整个函数y ＝f 2(x )的图像，再取其在区间D 2上的图像，其他部分删去不要； (3)依次画下去；
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．
例3 某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图5.用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．
图5
解：速度是时间的函数，解析式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，
－3t ＋90，
t ∈[0，，t ∈[5，，
t ∈[10，
，
t ∈[20，30].
由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s). 变式训练
若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．
分析：由题意得f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ，
2－x ，
x ≤1，x >1.
画函数f (x )的图像得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数y ＝f (x )．
活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y ＝f (x )”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图像，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，
用解析法可将函数y ＝f (x )表示为y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 用列表法可将函数y ＝f (x )表示为
用图像法可将函数y＝f(x)表示为图6.
图6
点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图像法的特点是：直观形象地表示自变量的变化及相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质，图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N＋)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y ＝f(n)不能用解析法来表示．
注意：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；
(2)解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；
(3)图像法：根据实际情境来决定是否连线；
(4)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
变式训练
1．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图7所示，求f(x)的解析式．
图7
解：观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：
当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1； 当0＜x ≤2时，f (x )＝－x
2
，
则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1， －1≤x ≤0，－1
2
x ， 0<x ≤2.
2．已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，则f (x )＝________. 分析：由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
2f x ＋f －x ＝3x ＋2，
2f
－x ＋f x ＝－3x ＋2，
把f (x )和f (－x )看成未知数，解方程即得． 答案：3x ＋2
3
思路2
例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－x 1＋x ＝1－x 2
1＋x 2
，则f (x )＝________.
活动：学生思考函数的解析式表达的含义．设1－x
1＋x ＝t ，利用换元法，转化为求f (t )．利
用整体思想把1－x
1＋x 看成一个整体，即可得函数的解析式．要注意函数f (t )与f (x )是同一个
函数．
分析：可设1－x
1＋x ＝t ，
则有x ＝1－t
1＋t
，
所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t 1＋t 2
＝2t 1＋t
2. 所以f (x )＝2x
1＋x
2.
答案：
2x 1＋x
2 例2已知函数f (x )＝3x ＋7
x ＋2.
(1)画出函数f (x )的图像；
(2)观察图像写出函数的定义域和值域．
活动：学生思考函数图像的画法．利用变换法画函数f (x )的图像，利用图像法写出函数的定义域和值域．形如函数y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0，a 2＋b 2
≠0)的图像均可由反比例函数y ＝k x
的图像经过平移得到，因此函数y ＝
ax ＋b cx ＋d
(c ≠0，a 2＋b 2
≠0)的图像形状是双曲线． 解：(1)y ＝3x ＋7x ＋2＝3x ＋6＋1x ＋2＝3＋1x ＋2.将y ＝1x 的图像向左平移两个单位得y ＝1
x ＋2的
图像，再向上平移三个单位得y ＝
1
x ＋2
＋3的图像． 图像如图8所示．
图8
(2)观察函数的图像图8，
可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
则函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)． 点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图像．画不熟悉的函数的图像，可以变形后通过基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形过程是否等价，要注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想．
求函数值域的方法：
(1)图像法，借助于函数值域的几何意义(图像上所有点的纵坐标的取值范围)，利用函数的图像求值域；
(2)观察法，对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，x≥0等观察出函数的值域；
(3)换元法，利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．
注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域.
变式训练
求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x(－1≤x≤2)；(2)y＝x4＋1.
分析：本题主要考查函数的值域及其求法．(1)借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察得x4≥0，得函数的值域，也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.
(1)解：(图像法)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像，如图9所示：
图9
函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域，观察图像知函数的值域是[－1,3]．
(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R，则x4≥0，有x4＋1≥1，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞)．
解法二：(换元法)函数的定义域是R，设x2＝t，则t≥0，则有y＝t2＋1.利用图像可求得当t≥0时，二次函数y＝t2＋1的值域是[1，＋∞)，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞).
知能训练
1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )．
A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)
分析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．
∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.
由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，
∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．
∴y＝20－2x(5＜x＜10)．
答案：D
2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )．
A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1] D．无法确定
分析：将函数y＝f(x)的图像向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图像，由于定义域均是R，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．
答案：A
3．函数f(x)＝
1
1＋x2
(x∈R)的值域是( )．
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
分析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜1
1＋x2
≤1.
答案：B
拓展提升
问题：变换法画函数的图像都有哪些？
解答：变换法画函数的图像有三类：
1．平移变换：
(1)将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像；
(3)将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；
(4)将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．
2．对称变换：
(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于直线x＝0即y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于直线y＝0即x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
3．翻折变换：
(1)函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像位于x轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图像即可得到．
函数的图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图像是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图像可以比喻成人的相片，观察函数的图像可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图像的特点．借助函数的图像来解决函数问题，函数的图像问题是高考的热点之一，应引起重视．
课堂小结
本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．
作业
习题2—2B组2.
设计感想
本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图像法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．
(设计者：张新军)
备课资料
例1 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．
活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．
解：(1)由题意得
y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x )＝－0.2x ＋1 750，x ∈N ＋且0≤x ≤3 500.
(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，
则3 500×(1－40%)≤x ≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x ≤2 625，
画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的图像，可得
函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，
即收入在1 225元至1 330元之间．
点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．
例2 水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图10甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图10丙所示(至少打开一个水口)．
图10
给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
其中一定正确的论断是( )．
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
分析：由图10甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口
速度的一半，即v 进水＝12
v 出水； 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．
由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．
由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．
综上所述，论断仅有①正确．
答案：A。