高考数学总复习(人教版)：10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)

10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)
基础巩固强化
1.已知X 的分布列为
设Y ＝2X ＋1，则Y ( ) A ．－1
6 B.23 C ．1 D.2936
[答案] B
[解析] 由分布列的性质知：12＋16＋a ＝1，∴a ＝1
3， 由期望的定义知，E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－1
6. 由期望的性质知，E (Y )＝2E (X )＋1＝2
3. 2．已知随机变量X 的概率分布如下表所示：
则X 的方差为( A ．3.56 B ．8.12 C ．3.2 D. 3.56
[答案] A
[分析] 先由离散型随机变量分布列的性质求出x ，再依据期望、方差的定义求解．
[解析] 由0.4＋0.1＋x ＝1得x ＝0.5， ∴E (X )＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D (X )＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 3．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( )
A ．0.5
B ．0.8
C ．0.2
D ．0.4
[答案] D
[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.
4．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝
p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 (A 出现)，0 (A 不出现).
则X 的方差D (X )等于( )
A ．p
B ．2p (1－p )
C ．－p (1－p )
D ．p (1－p )
[答案] D
[解析] X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．
5．(2011·浙江温州模拟)某人射击一次击中的概率为3
5，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A.81125
B.54125
C.36125
D.27125
[答案] A
[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P 1＝C 23
·(35)2·2
5，
三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33
·(35)3
， 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·
(35)2·25＋C 3
3·
(35)3＝81125. 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
[答案] B
[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.
7．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.
[答案] 0
[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝1
2， ∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝1
2E (ξ)－2＝0.
8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．
[答案] 21
55
[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则
P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，
所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋3
10×411＝2155.
9．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X 的均值为________．
[答案] 14
5
[解析] 依题意，X 的可能取值为2、3、4，
P (X ＝2)＝A 24A 26＝25；P (X ＝3)＝(C 12C 14A 2
2)C 13
A 36＝25； P (X ＝4)＝(C 22C 14A 33)C 1
3
A 4
6
＝15， ∴E (X )＝2×25＋3×25＋4×15＝145. 10.
(2012·江西理，18)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．
(1)求V ＝0的概率；
(2)求V 的分布列及数学期望E (V )．
[分析] (1)从6个不同的点中随机选取3个点，共有C 36种方法，
选取的3个点与原点共面时，3个点必须在同一个坐标平面内．因为每条坐标轴上有两个点，所以同一坐标平面内有4个点，从这4个点中任取3个即可；(2)先求出V 的各种可能取值，然后求其概率．
[解析] (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，
选取的3个点与原点在同一个面内的取法有3C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.
(2)V 的所有可能取值为0、16、13、23、4
3，因此V 的分布列为
由V 的分布列得
E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝9
40.
[点评] 本题以立体图形为载体，考查概率知识及分布列、期望的求法，立意新颖，第1问易于解决，第2问中要对各种体积情况进行逐一运算，以防遗漏，难度中等．
能力拓展提升
11.(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )
A ．(0，712)
B ．(7
12，1) C ．(0，1
2) D ．(1
2，1)
[答案] C
[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，
P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，
则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，
解得p >52或p <1
2，
又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，1
2)，故应选C.
12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )
A.8
9 B.3
5 C.2
5 D.13
[答案] A
[解析] ∵对称轴在y 轴左侧， ∴－b
2a <0，∴ab >0，即a 与b 同号，
∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 1
7＝126条．
ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝4
9，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.
∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝8
9.
13．一批产品的次品率为0.01，现连续抽取20次，抽得次品数为ξ，则D (ξ)＝________.
[答案] 0.198
[解析] ∵ξ～B (20,0.01)，∴D (ξ)＝20×0.01×(1－0.01)＝0.198. 14．如果ξ～B (100，1
2)，当P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.
[答案] 50
[解析] P (ξ＝k )＝C k 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
100－k
＝C k 100⎝ ⎛⎭
⎪⎫12100
，由组合数的性质知，当k ＝50时取到最大值．
15．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：
、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：
(1)工期延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．
[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有：
P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，
P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是，E (Y )＝00.1＝3； D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2 ×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)
＝0.60.7＝6
7.
故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.
[点评] 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力．
16．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．
(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．
[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105
＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．
(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率
P ＝C 16·C 14
C 210
＝815.
(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·3
5
＝225；
P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·3
5＋C 2
4C 210·25＝2875；
P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·2
5
＝3175；
P (ξ＝3)＝C 26C 210·2
5＝215，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
225
2875
3175
215
E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝8
5.
1．(2011·广东广州二模)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值等于( )
A.73
B.53 C ．5
D ．3
[答案] A
[解析] 已知ξ～N (3,4)，所以μ＝3，
又因为P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，
所以(2a －3)＋(a ＋2)2
＝3，解得a ＝73. 2．(2011·浙江五校联考)设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，
若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )
A.3281
B.1127
C.6581
D.1681
[答案] B
[解析] 由P (ξ≥1)＝59，得C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，
即9p 2－18p ＋5＝0，解得p ＝13或p ＝53(舍去)，
∴P (η≥2)＝C 24p 2(1－p )2＋C 34p 3(1－p )＋C 44p 4 ＝6×(13)2×(23)2＋4×(13)3×23＋(13)4＝1127.
3．(2011·潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )
A ．10%
B ．20%
C ．30%
D ．40%
[答案] D
[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1，
∴P (ξ>120)＝0.1，
∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]
＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D.
4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个．则X 的均值为( )
A ．5
B ．5.25
C ．5.8
D ．4.6
[答案] B
[解析] 由题意可知，X 可以取3、4、5、6，
P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 23C 36
＝320； P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；P (X ＝6)＝C 25C 36＝12， ∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.
5．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )
A.0.2
C ．－0.2
D ．－0.4
[答案] C [解析] 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①
又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3②
由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.
6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p 的取值范围是()
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
[答案] B
[解析]∵事件A在一次试验中发生的概率为p，
∴由条件知C14p(1－p)3≥C24p2(1－p)2，
解得p≤0.4，故选B.
7．(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于()
A．0B．1C．2D．4
[答案] B
[解析]由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.
8．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘
汰出局；
③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，
14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．
[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、
三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D －分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．
由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)
＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34.
(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A －B C －D ，
∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，
∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )
＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23
×14＝14.
(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则
P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18，
P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34
×12×13＋34×12×23＝38.
P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12，
∴ξ的分布列为
∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。