方差分析(包括三因素)讲解
三因素方差分析.
7
三因素方差分析举例
残差的正态性检验结果：P=0.9422>0.05
Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint -----Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------e | 0.915 0.743 0.12 0.9422
8
三因素方差分析举例
Full model结果：二级交互作用项P=0.0214<0.05
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | .347361264 7 .049623038 1.55 0.2202 a | .00201666 1 .00201666 0.06 0.8049 b | .044490835 1 .044490835 1.39 0.2554 c | .048001913 1 .048001913 1.50 0.2382 a*b | .0244907 1 .0244907 0.77 0.3944 a*c | .003112983 1 .003112983 0.10 0.7591 b*c | .017424103 1 .017424103 0.54 0.4711 a*b*c | .207824069 1 .207824069 6.50 0.0214 Residual | .511622125 16 .031976383 -----------+---------------------------------------------------Total | .858983389 23 .037347104
三因素方差分析的原理及应用
应， 为 因 素 Ｂ 的第 Ｊ个水 平 的效 应 ， 为 因 素 Ｃ 的第 ｋ个水 平 的效应 ．显然 ， ａ ， ， 满 足如 下
作者简介 ：郭
萍（ １ ９ ８ １ 一 ） ， 女， 山西 阳泉人 ， 青 岛理工大学琴 岛学 院讲 师．
第１ 期
郭 萍 ：三 因素方 差分 析 的原理及 应 用
４ １
一
ｘ
・一
ｘ
ＳＣ ｚ
∑（
ｋ
＝
一
一
：
，
ｌ
一
・
ｉ １
一 ＾ 一 ｘ 一 去 ｄ ｉ 一 １ ｉ 一 １ ｘ
１ 一１ 一 １
Ｓ 一∑ ∑ ∑ （ ｘ 驰一叉 一 一
一 １ Ｊ一 １ ｋ一 １
引 入ｓ Ｔ 一 ∑ ∑ ∑（ ｘ 驰 一 ） 一 ｓ ＋ ｓ Ａ ＋ ｓ ＋
ｉ 一１
Ｘ． 咄＋ ２ Ｘ） 。一 Ｓ 了 ＇ 一Ｓ ａ— Ｓ Ｂ— Ｓ ｃ ，
关 系式 ：
∑ａ 一 ０ ， ∑ 一 ０ ， ∑ 一 ０ ．
若 毋一 ＋ａ ＋ ＋ ， 则数学 模 型为
了一个 具 体 的 数 学 建 模 案 例 ， 并 通 过 ＭＡＴ Ｌ ＡＢ
实现 了该 案例 的求 解 ．求 解结 果 的一 致 性说 明 了
原理 推导 的 正确性 ．
ｆ ｘ 一 ＋∞＋ ＋ ＋ｅ （ ＝ ＝ ＝ １ ， ２ ， …， ｒ ；
Ｉ Ｊ一 １ ， ２ ， …， ｓ ； 是 ＝ ＝ ＝ １ ， ２ ， …， ） ；
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
三因素方差分析
-----------+----------------------------------------------------
Total | 6.90318355 23 .300138415
10
三因素方差分析举例
Reduced Model 2:所有二级交互项P<0.05
Source | Partial SS df
-------------+-------------------------------------------------------
e|
0.915
0.743
0.12
0.9422
方差齐性检验的主要结果:P=0.2202>0.10
Source | Partial SS df
MS
F Prob > F
方差
7
三因素方差分析举例
残差的正态性检验结果：P=0.9422>0.05
Skewness/Kurtosis tests for Normality
------- joint ------
Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2
Residual | 2.78586636 18 .154770354
-----------+----------------------------------------------------
Total | 6.90318355 23 .300138415
11
三因素方差分析举例： 用角模型进行简单效应比较
变量定义
不用正氟醚 A=1
用正氟醚 A=2
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA），是一种常用的统计分析方法，主要用于比较多个样本或组之间是否存在显著差异。
ANOVA可以用来检验不同组之间是否存在平均值的差异，并判断这些差异是否有统计学意义。
本文将介绍ANOVA的基本原理、假设检验以及实施步骤。
一、ANOVA的基本原理ANOVA是通过比较组内变差与组间变差的大小，来判断各组均值是否存在显著差异。
具体而言，方差分析将总体变异分解为组内变异和组间变异两个部分，然后计算F值来评估组间变异是否显著大于组内变异。
二、ANOVA的假设检验在进行ANOVA分析时，需要明确研究者所关心的各组的均值是否存在差异。
下面是ANOVA假设检验的具体表述：- 零假设（H0）：各组均值之间不存在显著差异。
- 备择假设（H1）：各组均值之间存在显著差异。
根据零假设和备择假设，可以使用F检验或方差分析表来进行ANOVA的假设检验。
三、ANOVA的步骤进行ANOVA分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 收集数据：收集各组的样本数据，并确保数据的准确性和可靠性。
2. 建立假设：根据研究目的和问题，明确零假设（H0）和备择假设（H1）。
3. 计算统计量：根据数据计算ANOVA所需的统计量，例如组内均方、组间均方和F值。
4. 选择显著性水平：确定显著性水平（通常为0.05），用于判断是否拒绝零假设。
5. 比较F值和临界值：通过比较计算得到的F值和临界值，判断组间是否存在显著差异。
6. 做出结论：根据统计结果，对研究假设进行结论判断，并进行进一步的数据解读和分析。
四、ANOVA的应用领域ANOVA作为一种常用的统计方法，广泛应用于各个领域的研究中。
以下是一些典型的领域：1. 医学研究：用于比较不同药物或治疗方法的效果是否显著不同。
2. 教育研究：用于测量不同教学方法对学生学习成绩的影响。
3. 工程研发：用于评估不同工艺参数对产品质量的影响。
方差分析
第六章方差分析方差分析是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验，2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用，3、分析因素间的交互作用，4、方差齐性检验。
第一节Simple Factorial过程6.1.1 主要功能调用此过程可对资料进行方差分析或协方差分析。
在方差分析中可按用户需要作单因素方差分析（其结果将与第五章第四节相同）或多因素方差分析（包括医学中常用的配伍组方差分析）；当观察因素中存在有很难或无法人为控制的因素时，则可对之加以指定以便进行协方差分析。
6.1.2 实例操作[例6-1]下表为运动员与大学生的身高（cm）与肺活量（cm3）的数据，考虑到身高与肺活量有关，而一般运动员的身高高于大学生，为进一步分析肺活量的差异是否由于体育锻6.1.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：组变量为group （运动员=1，大学生=2），身高为x ，肺活量为y ，按顺序输入相应数值，建立数据库，结果见图6.1。
图6.1 原始数据的输入6.1.2.2 统计分析激活 Statistics 菜单选ANOV A Models 中的Simple Factorial...项，弹出Simple Factorial ANOV A 对话框（图6.2）。
在变量列表中选变量y ，点击 钮使之进入Dependent 框；选分组变量group ，点击 钮使之进入Factor(s)框中, 并点击Define Range...钮在弹出的Simple Factorial ANOV A:Define Range 框中确定分组变量group 的起止值（1,2）；选协变量x ，点击 钮使之进入Covariate(s)框中。
三因素方差分析的原理及应用
三因素方差分析的原理及应用1. 引言方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较并确定一个因变量在不同组之间的均值是否存在显著差异。
在实际应用中，我们常常会遇到多个因素对结果的影响，这时可以使用三因素方差分析来研究它们之间的关系。
2. 三因素方差分析的原理三因素方差分析是将样本数据通过方差分解的方式，将总方差分解为三个部分，每个部分都与三个因素相关。
其中，总方差表示整体样本数据的变异程度，组内方差表示同一因素下各组数据之间的差异，而组间方差则表示不同因素间各组数据之间的差异。
三因素方差分析的统计模型可以表示为：$$ Y_{ijk} = \\mu + \\alpha_i + \\beta_j + \\gamma_k + \\epsilon_{ijk} $$其中，Y ijk表示第 i 个水平，第 j 个重复次数，第 k 个处理等 $\\mu$ 为总均值，$\\alpha_i$ 为第 i 个因素（水平）的影响效应，$\\beta_j$ 为第 j 个因素的影响效应，$\\gamma_k$ 为第 k 个因素的影响效应，$\\epsilon_{ijk}$ 为随机误差项。
3. 三因素方差分析的步骤具体进行三因素方差分析时，可以按照以下步骤进行：3.1 数据收集收集实验所需的样本数据，包括三个因素的取值和测量结果。
3.2 数据预处理对收集到的数据进行清洗、筛选和去除异常值等预处理操作，以保证数据的可靠性和准确性。
3.3 建立方差分析模型基于收集到的数据，建立三因素方差分析的统计模型，包括计算总平均值、组内平均值和组间平均值。
3.4 计算各因素的影响通过计算组内方差和组间方差，以及各因素的均方差来评估各因素的影响程度。
3.5 进行显著性检验采用适当的统计方法，比如 F 检验、t 检验等，对三因素方差分析的结果进行显著性检验，判断各因素的影响是否具有统计学意义。
3.6 结果解释和应用根据显著性检验的结果，解读各因素对结果的影响情况，并将其应用于实际问题中。
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
[理学]第二章-方差分析_OK
![[理学]第二章-方差分析_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/01554ff979563c1ec4da71e7.png)
26
不平衡单因素方差分析SAS程序的输入：
27
不平衡单因素方差分析SAS程序输出结果：
28
2、不平衡二因素方差别分析
假设如下数据作二因素方差分析
因素Ｂ
b1
b2
b3
因 a1 3.3 2.6 1.5 3.6 3.1 1.9 0.8 1.6 3.2 2.6 5.2 4.7
素 Ａ
a2 2.2 1.3 4.2 4.3 5.3 2.8 2.0 2.9 4.4 3.8 4.4 5.1
4
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X
' ij
10( X ij
17)
冲击强力 浓度
A1 A2
序号
12 3 4
-8
-19X
' ij
-110(2Xij
1-72)2
-2 5 1 -11
6
5
6
Ti
X
'2 i
j 1
1 -20 -80 1454 14 7 14 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2
33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因
素A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
20
4、有交互因素的方差分析
例：治疗缺铁性贫血病人12例，分为4组给予不同治疗，一个月 后观察红细胞增加（百万/mm），资料如表。试分析两种药物对 红细胞增加的影响。
第八讲-方差分析
x2 ij
j 1i 1
xij
N
k
2
SS B n j X j X t
i 1
2
k
j 1
nj
2
( xij)
i 1
nj
k nj
j 1i 1
xij
N
SSW SST SSB
2
nj
x k nj
x n j1 i1
k
2
ij j 1
ij i 1
j
3、确定自由度
df k 1 B
df N k W
二、（单因素）随机区组实验设计
1、模型
处理1
处理2 ……
区组1 被试1 x11 被试1 x21 ……
区组2 被试2 x12 被试2 x22 ……
处理k
被试1 xk1
被试2
xk
2
……… ……… ……
区组a 被试a x1a 被试a x2a ……
……
被试a xka
■注：每个区组内被试分配方式可以是以下 三种
T1
T2
8
39
20
26
12
31
14
45
10
40
T3
T4
17
32
工创问 具造题
21 20
23 28
教 程
丰 富 教
性 思 维
解 决 模
17
25
程教式 程教
20
29
程
T1: T2: T3: T4:CoRT
变异来源 自由度 平方和
处理 误差
总
3
1553.7
16 378.80
19 1932.55
均方
spssau三因素方差分析操作
三因素方差当X为定类数据，Y为定量数据时，通常使用的是方差分析进行差异研究。
X的个数为一个时，我们称之为单因素方差；X为2个时则为双因素方差；X为3个时则称作三因素方差，依次下去。
当X超过1个时，统称为多因素方差。
在实验研究中，比如研究者测试某新药对于胆固醇水平是否有疗效；研究者共招募72名被试，男女分别为36名，以及男女分别再细分使用新药和普通药物；同时高血压患者对于新药可能有干扰，因而研究者将被试是否患高血压也纳入考虑范畴中。
因而最终，X共分为三个，分别是药物(旧药和新药)、性别，是否患高血压；Y为胆固醇水平。
因而需要进行三因素方差分析即多因素方差分析。
特别提示：对于双因素方差，三因素方差分析；SPSSAU单独提供研究方法，并且提供更多指标输出比如交互效应或图形等；如果是实验研究，建议使用双因素，或者三因素方差分析等；针对X超过3个时，只能直接使用多因素方差分析；X均为定类数据，Y为定量数据。
SPSSAU分析结果表格示例如下：多因素方差分析结果平方和df F P 截距511.325 1 4397.621 0.000**性别0.340 1 2.925 0.092 是否高血压7.825 1 67.300 0.000** 药物0.824 1 7.091 0.010**残差7.907 68 null nullR²=0.547三因素方差案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (2)4 SPSSAU输出结果 (4)5文字分析 (6)6剖析 (6)1背景某研究者测试新药对于胆固醇水平是否有疗效；研究者共招募72名被试，男女分别为36名，并且男性或女性中是否高血压患者各为18名，并且当前被试的胆固醇水平基本均保持在6.5左右。
最终X共分为三个，分别是药物(旧药和新药)、性别，是否患高血压；Y为胆固醇水平。
同时，明显的可以想到，实验前的胆固醇水平基数，很可能会影响到最终的胆固醇水平，因此“实验前胆固醇水平”是一个干扰因素，因此将其作为协变量纳入模型中。
三因素混合方差分析事后简单效应多重比较语法
概念笔记Main effect 一个因素的独立效应，即其不同水平引起的方差变异。
三因素的实验有三个主效应。
把某一因素的一个水平同该因素的其他水平比较，不考虑其他因素。
Interaction 多个因素的联合效应，A因素的作用受到B因素的影响，即有交互——two-way interaction. 当一因素作用受到另外两个因素影响，即三因素交互three-way interaction.重复测量一个因素的三因素混合设计3*2*2的混合设计A3*B2*R2 【A, B为被试间因素】需要分析的有——A, B, R 各自主效应二重交互作用，A*B, A*R, B*R三重交互作用，A*B*C结果发现，A, B为被试间因素，交互作用SIG当二重交互作用SIG，需要进行simple effect检验。
A因素水平在B因素某一水平上的变异。
A在B1水平上的简单效应A在B2水平上的简单效应B在A1水平上的简单效应B在A2水平上的简单效应B在A3水平上的简单效应如果三重交互作用SIG，需要进行三因素的简单简单效应分析simple simple effect. 某一因素的水平在另外两个因素的水平结合上的效应在A1B1水平结合上，R1 与R2 差异在A1B2水平结合上，R1 与R2 差异在A2B1水平结合上，R1 与R2 差异在A2B2水平结合上，R1 与R2 差异在A3B1水平结合上，R1 与R2 差异在A3B2水平结合上，R1 与R2 差异重复测量方差分析之后，如果三重交互作用显著，需要编辑语法，得出三个因素各自的简单效应某一因素在其他两个因素的某一实验条件内的简单效应检验三因素重复测量方差分析对应的会有3种简单效应检验结果SPSS在输出简单效应检验结果的同时，也会报告多重比较结果，会有更直观的对比结果。
如果三重交互作用SIG，需要进行简单简单效应检验。
固定某两个因素水平组合，考察研究者最感兴趣的那个变量的效应。
MANOV A R1 R2 BY A(1,3) B(1,2)/WSFACTORS=R(2)/PRINT=CELLINFO(MEANS)/WSDESIGN/DESIGN/WSDESIGN=R/DESIGN=MWITHIN B(1) WITHIN A(1)MWITHIN B(2) WITHIN A(1)MWITHIN B(1) WITHIN A(2)MWITHIN B(2) WITHIN A(2)MWITHIN B(1) WITHIN A(3)MWITHIN B(2) WITHIN A(3)上述语法内容是检验被试内变量R在被试间变量A, B 上的简单简单效应。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。
这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。
即),(~20σE N X i 。
注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。
3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。
当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。
当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。
我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。
这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。
X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。
方差分析理解ANOVA的原理
方差分析理解ANOVA的原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间的差异是否显著。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否存在显著差异。
ANOVA的原理主要基于总体方差的分解和均值之间的比较，下面将详细介绍方差分析的原理及其应用。
一、总体方差的分解在进行方差分析之前，首先需要了解总体方差的分解。
总体方差可以分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，反映了个体之间的随机误差；组间变异是指不同组之间的差异，反映了不同组之间的均值差异。
总体方差的分解可以用以下公式表示：总体方差 = 组间变异 + 组内变异通过对总体方差进行分解，可以帮助我们理解不同来源的变异对总体方差的影响，从而进行均值比较。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小，判断样本均值之间是否存在显著差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的均值存在显著差异；反之，如果组间变异与组内变异的差异不显著，则说明不同组之间的均值差异不显著。
在进行方差分析时，需要计算各组的平方和、自由度、均方和F 值等统计量，然后通过F检验来判断均值之间的差异是否显著。
F值越大，说明组间差异相对于组内差异越显著，从而可以拒绝原假设，认为样本均值存在显著差异。
三、方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，特别适用于多组数据的比较。
例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物治疗组的疗效是否存在显著差异；在工程实验中，可以利用方差分析比较不同工艺参数对产品质量的影响等。
此外，方差分析还可以用于控制实验误差、优化实验设计、验证假设等方面。
通过对不同组之间的均值差异进行比较，可以帮助研究人员更好地理解数据背后的规律，从而做出科学合理的结论。
总之，方差分析作为一种重要的统计方法，通过对总体方差的分解和均值之间的比较，帮助我们理解不同组之间的差异是否显著。
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用一、本文概述本文将全面探讨单因素及双因素方差分析及检验的原理及其在统计中的应用。
方差分析是一种在多个样本均数间进行比较的统计方法，其基本原理是通过分析不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果的影响。
单因素方差分析适用于只有一个独立变量影响研究结果的情况，而双因素方差分析则适用于存在两个独立变量的情况。
这两种方法在科学研究、经济分析、医学实验等众多领域具有广泛的应用价值。
本文将首先介绍单因素及双因素方差分析的基本概念和原理，包括方差分析的前提假设、模型的构建以及检验的步骤。
随后，通过实例演示如何进行单因素及双因素方差分析，并解释分析结果的意义。
本文还将讨论方差分析的局限性，以及在实际应用中需要注意的问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握单因素及双因素方差分析及检验的基本原理和方法，了解其在不同领域的统计应用，提高数据分析和处理的能力。
本文还将为研究者提供有益的参考，帮助他们在实践中更好地运用方差分析解决实际问题。
二、单因素方差分析（One-Way ANOVA）单因素方差分析（One-Way ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多独立组之间的均值差异。
这种方法的前提假设是各组间的方差相等，且数据服从正态分布。
在进行单因素方差分析时，首先需要对数据进行正态性和方差齐性的检验。
如果数据满足这些前提条件，那么可以进行单因素方差分析。
该分析的基本思想是，如果各组之间的均值没有显著差异，那么各组内的变异应该主要来自随机误差。
如果有显著差异，那么各组间的变异将大于组内的变异。
单因素方差分析通过计算F统计量来检验各组均值是否相等。
F 统计量是组间均方误差与组内均方误差的比值。
如果F统计量的值大于某个显著性水平（如05）下的临界值，那么我们可以拒绝零假设，认为各组间的均值存在显著差异。
单因素方差分析在许多领域都有广泛的应用，如医学、生物学、社会科学等。
三因素方差分析.
三因素方差分析举例
Reduced Model 1：b*c项的P=0.5761，故剔除
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | 4.16958384 6 .694930641 4.32 0.0079 a | .002016672 1 .002016672 0.01 0.9121 b | .077066736 1 .077066736 0.48 0.4981 c | .79935039 1 .79935039 4.97 0.0395 a*b | 1.9040668 1 1.9040668 11.84 0.0031 a*c | 1.33481659 1 1.33481659 8.30 0.0104 b*c | .052266656 1 .052266656 0.33 0.5761 Residual | 2.73359971 17 .160799983 -----------+---------------------------------------------------Total | 6.90318355 23 .300138415
三因素方差分析举例： c ( )ab ( )ac
A 因素 B 因素 C 因素 雌 雄 雌 雄 雌 雄 雌 雄 Y 的总体均数 不用正氟醚 生理盐水 不用正氟醚 生理盐水 不用正氟醚 戊巴比妥 不用正氟醚 戊巴比妥 用正氟醚 生理盐水 用正氟醚 生理盐水 用正氟醚 戊巴比妥 用正氟醚 戊巴比妥
1是否用正氟醚2诱导物因素肝重与体重比ijkt不用正氟醚生理盐水526568583不用正氟醚生理盐水552538不用正氟醚戊巴比妥5875562不用正氟醚戊巴比妥613646521542565763702594644654460257548变量定义不用正氟醚三因素方差分析举例stata数据格式由于样本量较小所以先考察残差正态性和用levene检验方差齐性如果资料满足方差齐性和正态性则首先考察是否存在二级交互作用如果二级交互作用项的p005则用角模型进行简单效应比较如果二级交互作用项的p005则剔除二级交互作用项考察一级交互作用项剔除p005的一级交互作用项如果还存在一级交互作用项则用用角模型进行简单效应比较
（整理）三因素溷合方差分析简单效应简单简单效应多重比较语法.
（整理）三因素溷合方差分析简单效应简单简单效应多重比较语法.概念笔记Main effect 一个因素的独立效应，即其不同水平引起的方差变异。
三因素的实验有三个主效应。
把某一因素的一个水平同该因素的其他水平比较，不考虑其他因素。
Interaction 多个因素的联合效应，A因素的作用受到B因素的影响，即有交互——two-way interaction. 当一因素作用受到另外两个因素影响，即三因素交互three-way interaction.重复测量一个因素的三因素混合设计3*2*2的混合设计A3*B2*R2 【A, B为被试间因素】需要分析的有——A, B, R 各自主效应二重交互作用，A*B, A*R, B*R三重交互作用，A*B*C结果发现，A, B为被试间因素，交互作用SIG当二重交互作用SIG，需要进行simple effect检验。
A因素水平在B因素某一水平上的变异。
A在B1水平上的简单效应A在B2水平上的简单效应B在A1水平上的简单效应B在A2水平上的简单效应B在A3水平上的简单效应如果三重交互作用SIG，需要进行三因素的简单简单效应分析simple simple effect. 某一因素的水平在另外两个因素的水平结合上的效应在A1B1水平结合上，R1 与R2 差异在A1B2水平结合上，R1 与R2 差异在A2B1水平结合上，R1 与R2 差异在A2B2水平结合上，R1 与R2 差异在A3B1水平结合上，R1 与R2 差异在A3B2水平结合上，R1 与R2 差异重复测量方差分析之后，如果三重交互作用显著，需要编辑语法，得出三个因素各自的简单效应某一因素在其他两个因素的某一实验条件内的简单效应检验三因素重复测量方差分析对应的会有3种简单效应检验结果SPSS在输出简单效应检验结果的同时，也会报告多重比较结果，会有更直观的对比结果。
如果三重交互作用SIG，需要进行简单简单效应检验。
固定某两个因素水平组合，考察研究者最感兴趣的那个变量的效应。
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2、CLASS 变量表；
CLASS必须的MODEL之前。
3、MODEL 因变量表=效应；
输出因变量均数，对主效应均数间的检
4、MEANS 效应[/选择项]；
验。
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05）
是指因变量与自变量效应，模型如下：
1、主效应模型 MODEL y=a b c; (a b c是主效应，y是因变量）
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
3
第一节 概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
4
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
自由度 2 15 17
F值 28.38
F0.05 F0.01 显著性 3.68 6.38 **(十分显著）
17-)22
-2 5 1 -11
5 6 Ti
1 -20 -80 14 7 14
6
X
'2 i
j 1
1454 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
由表中数据可算出 3 6
X '2 ij
5670
i1 j 1
36
3
T
X
' ij
Ti 78
i1 j 1
(m 1)(l 1)
QB
1 m
l j 1
T.
2 j
T2 ml
3）给定显著水平 ，查表得临界值 F (m 1, (m 1)(l 1)) QE Q QA QB
4）由样本观察值计算FA、FB
5）若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，拒绝H0。 对因素B同理说明。
离差平方和 QA QE Q
自由度 m-1 m(n-1) mn-1
F值
QA
F
(m 1) QE
[m(n 1) ]
F0.05 F0.01
显著性
13
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X
' ij
10( X ij
17)
冲击强力 浓度
A1 A2
序号
12 3 4
-8
-19X
' ij
1-01(2X ij
做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
8
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
1 n
Xi
n
X ij
j 1
X
1 mn
m i 1
n
X ij
j 1
将Q进行分解：
mn
Q ( Xij X )2 i1 j1
m n
Q
( X ij X i ) ( X i X ) 2
棉布
2.33 2.00 2.93 2.73 2.33
12
同样可推出：
QE
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 n
m
Ti 2
i 1
QA
1 n
m
Ti 2
i 1
T2 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
X
' ij
b( Xij
a)
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源 因素A 试验误差 总误差
说明： F F (2,15) ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
16
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有
式中：
m
n ni
i 1
Q
m i 1
ni
( X ij X )2
j 1
m i 1
ni j 1
X
2 ij
试验结果 Bj
Ai A1（280’C）
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
64
66
68
A2（300‘C）
66
68
67
A3（320’C） 65
67
68
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。
T2 n
Ti
ni
Xij
j1
QE
m i1
ni
( X ij X i )2
j 1
m i1
ni
T 2 X ij n j 1
m2 i
i1 i
QA
m
ni ( Xi
i1
X )2
m
Ti2
i1 ni
T2 n
T
m
ni
X ij
i1 j1
QA
1 3
3
Ti.2
i 1
T2 33
1.56
QB
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2 33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素 A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
6
第二节 单因素方差分析
一、假设检验 设：A1、A2、A3、为三个总体X1、X2、X3，每个总体有6个样
本Xi1、Xi2、…、Xi6 ( i=1,2,3 )。 注：要判断酸液浓度的3种水平对汗布的冲击强力是否有显著影响，实 质上就是检验3种不同水平所对应的3个总体是否有显著差异的问题。即 检验3个总体数学期望是否相等。 以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。
i 1
3
Ti2 27332
i 1
14
计算
QE
3 i 1
6 j 1
X '2 ij
1 6
3 i 1
Ti 2
5670
1 6
27332
1114 .7
QA
1 6
3 i 1
Ti 2
T2 36
1 6
27332
6084 18
4217 .3
Q QE QA 1114 .7 4217 .3 5332
（2）统计量： QA
2
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
2
m(n 1)
QA
即：
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
[m(n 1)]
11
（3）给定显著性水平 ，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))
（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）
19
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
离差平方和 自由度
1.56
2
11.56
2
3.1
4
16.22
8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性
6.94
18.0
6.94
18.0
*
3
Q
i 1
3 j 1
X
2 ij
T2 33
16.22
20
SAS系统中区分两种情况： 1、每组观测数据相等，可用ANOVA过程处理 以上四种情形的方差分析。 2、若每组观测数据不相等，可用GLM过程处 理以上四种情形的方差分析。
21
均衡数据的方差分析（ANOVA过程）
过程说明：
可以是数值型和字符 型
1、PROC ANOVA；
CLASS和MODEL是必需的，
方差分析
1
日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希望找到影响最显著的因 素
如某种农作物的收获量受作物品种、 肥料种类及数量等的影响；选择不同 的品种、肥料种类及数量进行试验，