2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 2-3-1

2．3.1抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一抛物线的定义
思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．
对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．
知识点二抛物线的标准方程
思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
思考2抛物线标准方程的特点？
思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型
类型一抛物线标准方程及求解
命题角度1由抛物线方程求焦点坐标或准线方程
例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)．
反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练1 (1)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.
32
C ．1
D. 3
(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________， 准线方程为____________．
命题角度2 求解抛物线标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为5
2.
反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．
类型二 抛物线定义的应用
例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；
(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．
(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．
跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.
172 B ．3 C. 5 D.9
2
1．抛物线y ＝1
4x 2的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上，则抛物线方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝±8x
3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4x 0，则x 0等于( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．8
4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.37
16
5．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．
1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m
4，0)，准
线方程为x ＝－m
4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点
为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m
4
.
2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p
2
.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．
思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线． 梳理 直线 知识点二
思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p
2
.
思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究
例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左， 2p ＝6，p ＝3，p 2＝3
2
，
所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝3
2.
(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－5
3y ，
知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512
，
所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.
(3)将y ＝4x 2化为x 2＝1
4y ，
知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116
，
所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116
.
(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2
，p ＝a 22，p 2＝a 2
4
，
所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 2
4.
跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1
例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p
2＝2，∴p ＝4，
∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p
2＝1，
∴p ＝2，
∴抛物线标准方程为x 2＝4y .
(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43
.
∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .
(4)由焦点到准线的距离为5
2，
可知p ＝5
2
.
∴所求抛物线方程为
y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .
跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94
.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－9
4
y .
方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－9
4.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－9
4y .
(2)令x ＝0得y ＝－5； 令y ＝0得x ＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .
例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大1
2，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－1
2的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为
准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝1
2，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2
＝2x .
(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2， 即M (2,2)．
跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－1
2的距离等于点P 到焦点F 的
距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋
14
＝
17
2
.]
当堂训练 1．A 2.D
3．C [如图，F (1
4
，0)，
过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]
4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离
d ＝
|4＋6|
42＋(－3)2＝2.] 5．解 由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭
⎫－p
2，0. 则该抛物线准线方程为x ＝p
2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，
则|MN |＝|MF |＝10， 即p
2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .
将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。