发现黄球并定位final

全国首届部分高校研究生数模竞赛
题目A题：发现黄球并定位
摘要：
本文中的模型主要针对三个问题：黄球的发现，黄球的定位和黄球的定位概率问题。

在发现黄球问题上，作者先简化问题，假设底面为无限平面，就将其转换为寻找最优化的多边形网格覆盖底面。

作者分三个步骤解决这个问题：首先证明构成多边形网格的网格边数只能为偶数，继而证明四边形网格是最优化的多边形网格，最后证明正方形网格是最优化的四边形网格。

接着从正方形网格出发解决有限平面的问题（因为底面是圆平面），因为模型是从无限平面出发，所以先在底面内部摆置规整的正方形网格，再针对圆柱底面边界所出现的问题，增加部分边界的球，最后得到一个由10个红球10个蓝球组成的类正方形网格模型（共20个球）。

在黄球定位问题上，因为对于任意位置的黄球，含有三个未知量，而每对满足条件的红球蓝球只能为未知量的求解提供一条方程，因此至少需要三对符合条件的红球蓝球才能定位黄球。

作者从对成六边形分布出发，构建三层多边形交错分布模型，最后得到一个由13个红球19个蓝球（共32个）构成的三层“内疏外密”的分布模型，从而解决了问题。

在定位概率问题上，讨论了两种情况：第一种情况假定制定的旋转方案使得圆柱体内任意一点黄球被定位的概率是相等的，且能使全部红蓝球在绝大部分时间都能有效配对使得可以为位于相交部分的黄球定位，用单位时间内所有红蓝球所能定位的近似体积除以圆柱体体积计算出黄球每停留1秒被定位的概率为0.015%。

第二种情况为各个红蓝球的轴都是任意随机的旋转方案。

即此时任意网格点的概率只依赖于红蓝球的分布，如果将圆柱体均匀地填满网格点，就可以计算出各个网格点可能被定位的概率。

将黄球的定位概率定义为包络其运动路径的小柱体邻域中网格点的概率之和除以圆柱体内所有网格点的概率之和。

最后，作者还针对现有模型中存在的一些问题提出了改进方案。

改进方案主要通过增加红球蓝球的个数，调整红球蓝球的位置，调整球轴的旋转方案以及设置红球蓝球可以移动来提高黄球被定位的概率。

关键词：发现黄球黄球定位定位概率
参赛队号 252
一、问题的重述
1．黄球的发现。

在半径为50米，高为10米的圆柱体内有红、蓝、黄三种小球，若一只黄球再到某只蓝球与某只红球的距离之和不大于40米,就认为该黄球有可能被这对红球和蓝球发现，在这个圆柱体的底面至少要放置多少红球和蓝球并且如何放置才能够使得黄球放在圆柱体内任何位置时都可能被发现。

2．黄球的定位。

分别以过红球或蓝球的两条直线为轴，以红球、蓝球为顶点作两个圆锥，圆锥轴截面的顶角均为4度。

当黄球至少有一部分位于上述两个圆锥的交集中（黄球到一对红蓝球的距离和仍要不大于40米），就认为红球、蓝球发现了黄球并知道了从红球到黄球中心再到蓝球的距离。

发现黄球显然还不能给它准确定位，若红球和蓝球的轴可以任意转动，那么需要几对红球和蓝球才能够给空间内某个黄球定位？更进一步地，圆柱的底面至少需要多少个红球和蓝球并且如何放置才能够为圆柱体内的任意位置的黄球定位？
3．定位概率的计算。

如果黄球可以从任意位置进入圆柱体并且可以在其内任意移动，移动速度为0.15～1.02米/秒，并且红蓝球的轴也是可以任意旋转的，旋转的角速度不超过60度/秒。

那么当黄球做直线运动时是否需要增加红蓝球的个数或改变其放的位置才能给该黄球定位？为每个红球、蓝球所在的圆锥轴制定旋转方案，并为运动的黄球被定位的概率下个定义，再根据此定义计算刚才制定旋转方案的定位概率。

4．如果某个黄球被发现或定位的信息是共享的，即所有红蓝球都知道这些信息，进一步有一个计算机知道所有上述信息，并且所有红蓝球所在的圆锥轴都受到这个计算机的控制，那么全部红蓝球的圆锥轴如何协同旋转，才可以增加黄球被发现或被定位的概率？仿真并讨论所有增加红蓝球的个数（比如190个）时对黄球定位的益处。

5．如果圆柱体的底面有一些起伏，而红球、蓝球到黄球的连线穿过底面则无效，即认为不符合第2问中关于黄球被发现或被定位的条件。

那么这些起伏对仍需要放置在圆柱体底面的红蓝球的个数有无影响？进行适当的讨论。

6．如果在第2问中红球、蓝球发现黄球时不但知道从红球到黄球中心再到蓝球的距离，而且同时知道红球、蓝球所在圆锥轴的准确的方向，这一点对黄球的定位有什么影响？如果计算机可以在一毫秒的时间内改变全部红球或蓝球中任意一只或多只球的颜色对于黄球被发现、被定位又有什么影响？
7．一旦有一对红球、蓝球发现黄球，计算机应如何控制所有红球、蓝球所在的圆锥轴的旋转方案来跟踪移动的黄球并尽快给它定位？
8．如果有多个黄球同时（有一定的时间差）越过圆柱体的表面，计算机如何控制所有红球、蓝球所在的圆锥轴的旋转以使全部黄球可能被及早发现，尽快定位？
9．你们对黄球发现、定位有什么更好的建议？例如，是否可以让红球、蓝球在圆柱体底面以不超过0.15m/s速度移动，这样对黄球的及早发现，尽快定位有无好处？
二、问题的假设
1．红球和蓝球可以看作质点，即其大小忽略不计；黄球因为半径为毫米级数量级，而圆柱体的底面半径和高度皆为十米级，所以也把黄球当作质点，即大小忽略不计。

2．不考虑黄球在圆柱体底面0.1米以内的情形。

3．在计算机控制红蓝球协同旋转的过程中，其计算时间为毫秒级，此时假设待定位的黄球的位置几乎没有改变。

4．黄球被定位的概率是指黄球在圆柱体内运动的过程中被定位的概率，当黄球在圆柱体内
运动的时间足够长时（比如超过10000秒时），其被定位的概率应该为1。

5． 下面提到的三维坐标都是在以圆柱底面中心为原点，圆柱底面为xoy 平面，圆柱的中心
轴为z 轴时的情形。

6． 由于问题数目比较多，各个问题的假设不一，所以针对每个小问题的假设不在这里列出，
请注意各个小问题解答部分的假设。

三、 问题的分析
1．黄球的发现问题。

从题目描述可以看出，一只黄球被发现的充要条件是：至少存在一对红球蓝球，使得黄球到它们的距离之和小于等于40米。

进一步说，在红球蓝球位置固定的情况下，黄球的发现问题用数学的语言描述为：
给定圆柱体内任意一点(,,)P x y z ，圆柱底面存在两点1111(,,)P x y z 和2222(,,)P x y z 满足：
40 （1） 特别地，当z 固定时，比如0z z =时，（1）式变为：
40≤ （2）
2. 黄球的定位问题。

从题目描述可以看出，一只黄球被定位的充要条件是：存在几对红球蓝球可以发现黄球，而且每对发现黄球的红球蓝球可以确定黄球到它们的距离之和。

这样也就是说，对于任意点的黄点，记坐标为(,,)p x y z 。

对于每一对满足条件的红球和蓝球发现黄球时，只能给出一个方程，设红球与蓝球坐标分别为(,0)x y 红红，，(,0)x y 蓝蓝，，即：
dist （3）
此处有三个未知数，所以至少需要三个方程才可以实现黄球定位。

所以，黄球的定位问题就转换为存在三对红球蓝球，从而构成三条如（3式的方程组，从而确定(,,)p x y z 坐标。

3．黄球的定位概率问题。

根据前面的假设，某个黄球被定位概率是它在圆柱体内运动的整个过程中的定位概率，那么很显然如果所制定的旋转方案不同或者概率的定义不同，都会导致不同的结果。

作者分析了两种旋转方案下的情形，第一种是黄球在圆柱体内各点被定位的概率均匀的情形，第二种则是红蓝球的轴可以任意旋转的情形，即所有的红蓝球的旋转都是随机的情形。

具体请参阅下面模型的建立和求解部分。

从上述问题重述中，不难看出，问题1～3是属于模型的建立与求解部分的，而问题4～8是属于问题的进一步讨论，问题9则是评价现有的模型以及改进方案。

下面作者就分成这几部分来进行分析和解答。

四、 模型的建立与求解（问题1～3）
问题一
把底面上红球蓝球的分布用成对球之间的线段来表示，那么问题就转换为底面上的线段应该如何分布才能用最少数目的点发现黄球。

不难发现，只有当线段构成多个多边形的情况下才能满足红球蓝球的最大化利用，因为只有构成多边的时候才能最大程度的重用红球蓝球。

（相当于，一个红球和多个蓝球构成球对来从而增加发现黄球的概率）。

那么，问题就转换为用N 边形的网格来平铺底面，从而满足最少的球来发现任意位置的黄球。

我们先简化问题，原问题要求用多边形网格平铺圆柱底面。

我们可以将问题先简化到另一个问题，就是用N 边形网格平铺无限大的平面，使得红球蓝球的总数最少。

定义1：能够发现顶面上的黄球的红球与蓝球连成的线段称为有效边。

命题1。

构成上述N 边形网格必须满足N 为偶数
证明：
因为，N 边形可以构成有效边网格，所以每条边的两端点球都是异色（即一红一蓝）。

就单个N 条有效边构成的N 边形而言，每个红球（或蓝球）由两条有效边共用，也就是每条有效边占用1/2红球，1/2蓝球。

共有N 条有效边，可得红球总数为：N/2；蓝球总数为：N/2，因此，构成N 边形的红球与蓝球的数目相等。

所以此处N ，即红球蓝球数目之和必为偶数。

命题得证。

由命题1可以得到，构成多边形网格的基本单元只能是四边形，六边形，或者更高的偶数多边形。

定义2：评价一种网格是否“更优”，就是指在这种网格下平均一个红球（或蓝球）所能发现黄球的区域的更大。

定义3：某种网格下平均一个红球（或蓝球）所能发现黄球的区域：即
d 单个网格能发现黄球的圆柱顶面的区域单个网格所占有的点数
（4） 单个网格能发现黄球的圆柱顶面的区域
＝单个网格上的所有效边能发现黄球的圆柱顶面的区域
（5）
（图一）：六边形网格 （图二）：四边形网格
命题2：四边形网格“更优”于六边形网格
证明：
能构成六边形网格中，只能用（图一）的形式，其中线段表示有效边，而能构成四边形网络的则是多种多样的，只需要满足平行四边形的条件即可。

我们可以任取一种网格形式证明其“更优”于六边形网格即可。

为了方便计算，我们取正方形网格。

d =正方形单个正方形网格能发现黄球的圆柱顶面的区域单个网格所占有的点数
（6） d =
六边形单个六边形网格能发现黄球的圆柱顶面的区域单个网格所占有的点数 （7）
因为此处所涉及的区域都是指圆柱顶面的平面区域，我们就用平面的方法来求圆柱顶面的区域。

对于顶面上的点0(,,)x y z ，我们简单地标记为(,)x y 。

对于网格上的任意点(,)x y ，该点属于单个网格所能发现黄球的圆柱顶面的区域的冲要条件是，存在一条该网格上的有效边i l ，两端点为(,)i si si sp x y ，(,)i ei ei ep x y 使得
40 （8）
单个网格所能发现黄球的圆柱顶面的区域的计算方法：用离散的点的个数代替连续的积分，将平面内的足够大的范围的点离散化，如果属于该网格上的任一有效边，则属于该网格所能发现黄球的区域。

正方形网格的计算：首先要确定正方形的边长。

假设边长为a ，有效边所能发现黄球的区域至少应该覆盖正方形的中心对应在顶面的点，也就是指，则a 应该满足以下式子：
40≤ （9）
根据最大化的原则，a 应该在取等号成立的时候的值，也就是a =同样，对于六边形网格的计算，我们也需要先确定六边形的边长。

设边长为b ，有效边所能发现黄球的区域至少应该覆盖六边形的中心对应在顶面的点，也就是指b 应该满足一下式子：
40≤ （10）
同样根据最大化原则，b 应该取等号成立的时候的值，也就是b =
在以0.2m 为步长，对足够大的区域进行离散化，计算属于六边形单个网格能发现黄球的圆柱顶面的区域的点的个数，可以得到点的个数为66605。

同样以0.2m 为步长，对足够大的区域进行离散化，计算属于四边形单个网格所能发现黄球的圆柱顶面的区域的点的个数，可以得到点的个数为43836。

再分析单个四边形网格所占有的红球（或蓝球）个数。

从（图二）中，我们不难看出，每个红球（或蓝球）为四个网格所共用，所以每个网格占有该球的四分之一，同时每个网格有四个球，则共占有1414
⨯=个红球（或蓝球）。

在六边形网格中，每个红球（或蓝球）为三个网格所共用，所以每个网格占有该球的三分之一，同时每个网格有六个球，则共占有1623
⨯=个红球（或蓝球）。

则 43836438361
d =
==正方形单个正方形网格能发现黄球的圆柱顶面的区域单个网格所占有的点数 （11） 66605333022
d =
==六边形单个六边形网格能发现黄球的圆柱顶面的区域单个网格所占有的点数 （12） 可见 d d >四边形六边形，所以四边形网格“更优”于六边形网格。

命题得证。

同样道理，可以证明六边形网格“更优”于八边形网格
以此类推，四边形网格是最优的。

（图三）：张角α四边形网格
命题3：四边形网格中正方形网格是最优的。

证明：
要满足多边形网格无限延拓的条件，则必须是等边多边形，因此，我们只需要在等边四边形证明正方形最优即可。

从（图三）中不难看出，张角α唯一地确定了网格的性质。

考虑，张角为α的等边四边形网格。

同样需要满足条件：中心点落在有效边能发现黄球的区域之内。

设边长为a α，则a α应该满足
40≤ （13） 同样在等号成立的时候a α取到最大值，也就是最优值，显然，a α是一个和α唯一相关的。

同样根据命题2证明过程中的比较方法，我们通过编写Matlab程序，选取10到170度之间的角度，得到如下的示意图（图四），从图中我们可以看出，在90度的时候取到最优值。

（图四）
命题得证。

至此，我们已经证明了，在简化的无限平面中，正方形网格覆盖是最优的。

也就是说，在底面的中间部分，覆盖其上的必定是正方形网格，我们不妨先将能属于园内的正方形网格先铺上。

如（图五）所示
（图五）：用正方形网格分布顶面
我们通过Matlab程序（详见Matlab代码shumo_4_1_01.m）计算可以得到下图（图六）。

（图六）：规则的正方形网格效果图
从（图六）中，我们可以观察到，边缘部分存在红色的点，也就是没有被任何有效边覆盖的点，对于这个问题的解释就是，因为解决这个问题的模型是从无限平面出发的，对于有限的园平面，出问题的必定是边缘。

我们修正边缘的方法是，在边缘适当的位置添加合适的
点，得到（图七）
（图七）：按照效果调整后的分布
同样通过Matlab程序（详见Matlab代码shumo_4_1_02.m）验证我们的分布，这样就
可以得到我们的最终结果（图八）
（图八）：调整后的分布的效果图
从上面的效果图可以看出我们的结论，就是要使得任意位置的黄球被发现，则至少应该有20个球，（其中红球蓝球各10个）。

当然，对圆周上的点做略微的移动仍然可以成立的，也就是说以上并非红球蓝球分布的唯一方案。

问题二：
对于这个问题，先清晰一个问题：要给一只黄球定位需要几对的红球蓝球。

对于任一黄球，其位置坐标记为(,,)p x y z 。

对于每一对满足条件的红球和蓝球发现黄球时，只能给出一个方程，设红球与蓝球坐标分别为(,0)x y 红红，，(,0)x y 蓝蓝，，即：
2z d i s t = （14）
此处有三个未知数，所以至少需要三个方程才可以实现黄球定位，而根据实际问题，z 也只能取正值，也就是说，需要三对红球蓝球才能为黄球定位，而一般情况下也是只需要三对。

而且这三对红蓝球的边是不能够重合的，如果有重合的话也是无法为黄球定位。

当然，三对中重复使用一个点是可以的。

继用问题一中的模型，也就是说，在圆柱顶面上的任意点都应该同时属于三条有效边的所能发现黄球的圆柱顶面的区域。

要是任意点都能同时属于三条有效边的所能发现黄球的圆柱顶面的区域，那么红球蓝球的分布的密集程度应该远远高于第一问中发现黄球的分布密集程度。

从对称性，完备性，以及“里疏外密”的原则，我们构建了如（图九）所示的黄球定位模型中红球蓝球的分布，其中，中心点由两点相距非常近的红球和蓝球两个球组成。

也就是说，重合的两个球加上周边的三周，共计32个球，其中红球13个，蓝球19个。

（图九）：（注：其中中心点为两个重合的点）
对于（图九）中的分布，我们可以用Matlab程序（详见Matlab代码shumo_4_2_01.m）
检验，可以得到结果，如（图十）所示：
（图十）：注：其中中心点为两个重合的点
其中，颜色不同代表该点对应到的有效边的区域的个数的不同，要使任意位置的黄球都能被定位，那么也就是说任意点都应该对应三条或者三条以上的有效边的区域。

（图十）恰恰显示了该分布的正确性。

那么我们的结论就是，要使任意位置的黄球都能被定位，就至少需要32个球，其中红球13个，蓝球19个，中心红蓝两个球重合，在半径为23的圆周上均匀放置6个蓝球，在半径为38的圆周上均匀放置12个红球，在半径为50的圆周上均匀放置12个蓝球，如图十。

问题三
如果黄球可以从任意位置进入圆柱体并且可以在其内任意移动，移动速度为0.15～1.02米/秒，并且红蓝球的轴也是可以任意旋转的，旋转的角速度不超过60度/秒。

那么当黄球做直线运动时不需要增加红蓝球的个数或改变其放的位置，也能给该黄球定位，只不过这时候的定位概率很低。

首先认为本题的某个黄球被定位概率是它在整个圆柱体内移动直至移出的整个过程中的定位概率，那么很显然如果所制定的旋转方案不一样或者概率的定义不一样，都会导致不同的结果，下面我们从分为两方面来分析并解决这个问题。

我们先从假定在制定某种旋转方案使得圆柱体内任意一点黄球被定位的概率相等的比较简单的情况进行分析，然后考虑概率不等的情况。

（A ）空间概率均匀的情况
假设能制定一种旋转方案使得圆柱体内任意一点黄球被定位的概率是相等的。

也就是说如果在每一点放置黄球1万次，得到一个黄球能被定位的次数（比如20次），在其它任何一个位置点上放置1万次黄球，黄球能被定位的次数是相近的（应该都是20次左右）。

如果每个位置黄球被定位是不相等的，那么也都可以看成是所有位置的概率的平均。

还有一个重要的假设如下：
假设制定的旋转方案能使全部红蓝球在绝大部分时间都能有效配对使得可以为位于相交部分的黄球定位，即任何一个红球或者蓝球为顶点的扫描圆锥绝大部分时间内不会出现以下四种情况：不与任何一个异色的圆锥相交组对、或者相交超过圆柱体的范围、或者交点离红蓝球的距离之和大于40米、或者相交点不足3对交在一起不能定位。

这样就可以基本认为所有的时间都能有效配对给黄球定位。

也就是说，尽量的使得可以迅速定位黄球，而不单独用一对红蓝球去扫描空间只发现黄球而还无法定位。

如果红蓝球足够多使得在整个圆柱体的每一点都能同时存在可以为黄球定位的有效配对，则黄球进入圆柱体被定位的概率是为1的。

根据这些假设，定义概率如下：
概率P 定义：即黄球在圆柱体内中运动期间被定位的概率，具体计算公式如下：
P=⨯0黄球在圆柱体内任一点停留单位时间被定位的概率P 停留的平均时间T 其中：
00P V =单位时间内所有红蓝球所能定位的近似体积整个圆柱体的体积V
（15） 0V n S D =⨯⨯相交体截面的近似面积相交体单位时间所划过的近似距离 （16）
根据假设，其中0V 可以这样计算：一对红蓝球为顶点的两个圆锥相交形成一个几何体，三个这样的几何体再相交形成几何体Ω才能为黄球定位，考虑在Ω上垂直于Ω的运动方向
上的截面S 。

由于上表面圆锥的口比较大，而相交的位置往下一点的时候圆锥口就比较少但是同时相交的角度比较大，所以S 的面积可以认为是大概不变的，至少是可以认为是同一个数量级的，可取S 为顶点为4度高为10米的圆锥面的底面积。

于是我们就用这个S 乘于Ω单位时间所划过的近似距离D 再乘于n 得到0V ，其中：
n =在某一时刻三对红蓝球相交的数量 （17）
4S =顶角为度高为10米的圆锥的底面积 （18）
D π=Ω⨯⨯⨯相交体做运动的平均周长（=25）单位时间所划过的圆周数（=60/360）
具体的计算如下，取单位时间为1秒：
18/36n ==
24
23.14(10tan())0.382957.3
S =⨯⨯=（2m ） 2 3.145(60/360) 5.2333D =⨯⨯⨯=（m ）
210 3.1450V =⨯⨯（3m ）
所以黄球在圆柱体内停留1秒钟被定位的概率约为： 40260.38 5.23 1.51010 3.1450
n S D P V -⨯⨯⨯⨯=
==⨯⨯⨯ 如果黄球停留的时间为T 秒，则黄球被定位的概率为： 40* 1.510P P T T -==⨯⨯
而黄球在圆柱体内停留的时间范围为100/0.15=666秒到100/1.05=95秒，平均可近似为200秒，也就是说，黄球在圆柱体内中运动期间被定位的平均概率约为：
41.5102000.03P -=⨯⨯=
即如果空间概率每一点都是相等的话，黄球如果在圆柱体内运动1秒然后离开，则有0.015%的概率可以被定位；运动200秒然后离开，则有3%的概率可以被定位。

定位的概率是和黄球在圆柱体的运动时间成正比的。

现在制定旋转方案。

红蓝球的数量和位置定下来之后，每对红蓝球能发现黄球的范围都可以计算出来。

于是每对红蓝球在能发现黄球的范围内进行旋转，并且满足本问题的假设。

因为有些红球或蓝球是重复与多个篮球或红球使用的，所以要协调好时间分配，比如约定某个红球先和一个蓝球组对，过一段时间后再与另一个蓝球组对，使得空间中的所有点都能够被扫描定位。

（B ）各红蓝球轴的旋转随机的情况
制定旋转方案为：各个圆柱底面红蓝球的轴旋转随机，即是任何时间每个球的轴可以处于任何方向。

首先观察圆柱体的顶面2
2500;10y z +==2(x )上各对红蓝点可以定位的区域示意图。