二次型对列向量求导

二次型对列向量求导
英文回答：
The derivative of a quadratic form with respect to a column vector is a linear transformation. It is given by the following formula:
∇[x^T A x] = 2Ax.
where:
x is a column vector.
A is a symmetric matrix.
The gradient of a quadratic form is a vector that points in the direction of the steepest ascent of the form. It can be used to find the maximum or minimum of a quadratic form.
中文回答：
二次型的对列向量求导。

二次型对列向量的导数是一个线性变换。

其公式如下：
∇[x^T A x] = 2Ax.
其中：
x 是列向量。

A 是对称矩阵。

二次型的梯度是一个指向该形式最陡上升方向的向量。

它可以用来求二次型的最大值或最小值。

求导过程：
设二次型为：
Q(x) = x^T A x.
则其对列向量 x 的偏导数为：
∂Q/∂x_i = 2A_ix.
其中：
A_i 是矩阵 A 的第 i 列。

将所有偏导数按列组成雅可比矩阵，得到：
∇Q(x) = [∂Q/∂x_1, ∂Q/∂x_2, ..., ∂Q/∂x_n] = 2Ax.
因此，二次型对列向量的导数为 2Ax。