专题10 数列(原卷版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题10
数列
考点三年考情（2022-2024）命题趋势
考点1：等差数列基本量运算2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年高考全国甲卷数学（文）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
高考对数列的考查相对稳定，考
查内容、频率、题型、难度均变
化不大．等差数列、等比数列以
选填题的形式为主，数列通项问
题与求和问题以解答题的形式为
主，偶尔出现在选择填空题当中，
常结合函数、不等式综合考查.
考点2：等比数列基本量运算2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题
考点3：数列的实际应用2024年北京高考数学真题
2023年北京高考数学真题
2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点4：数列的最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题
考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年北京高考数学真题
考点6：等差数列与等比数列的综合应用2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题2024年北京高考数学真题
考点7：数列新定义问题2022年新高考北京数学高考真题2024年上海夏季高考数学真题2023年北京卷、2024年北京卷
考点8：数列通项与求和问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考天津数学高考真题
考点9：数列不等式2023年天津高考数学真题
2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷
考点1：等差数列基本量运算
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n
n n
b a +=，记,n n S T 分别为
数列{}{},n n a b 的前n 项和．
(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．
2．
（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =
．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（
）A ．25
B ．22
C ．20
D ．15
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{}n a 的公差为
23
π，集合{}
*
cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（
）A ．－1
B ．1
2
-
C ．0
D ．1
2
5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（）
A ．2
-B ．
7
3
C ．1
D ．
29
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（
）A ．
7
2
B ．
73
C ．13
-
D ．711
-
7．
（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则
10S =
.
9．
（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n
S n
为等差数列，则（
）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考点2：等比数列基本量运算
10．
（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．
A ．120
B ．85
C ．85
-D ．120
-11．
（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（）
A ．
15
8
B ．
658
C ．15
D ．40
12．（2023年天津高考数学真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()
112,22N n n a a S n *
+==+∈，则4a =（
）
A ．16
B ．32
C ．54
D ．162
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（
）
A ．14
B ．12
C ．6
D ．3
14．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为
．
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =
.
考点3：数列的实际应用
16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为
mm ，升量器的高为
mm ．
17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =；数列{}n a 所有项
的和为
．
18．（2022年新高考全国II 卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，
1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
11111231111
,0.5,,DD CC BB AA
k k k OD DC CB BA ====．已知123
,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（
）
A ．0.75
B ．0.8
C ．0.85
D ．0.9
19．
（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：
11
1
1b α=+
，
212
1
11b αα=+
+
，
3123
1
11
1
b ααα=+
+
+
，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）
A ．15b b <
B ．38b b <
C ．62
b b <D ．47
b b <考点4：数列的最值问题
20．
（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n
n S n a n
+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；
(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．
21．
（2022年新高考北京数学高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
22．
（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.
23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，
01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为
1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .
(1)若1
2
k =
，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为
11k
k
+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.
24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列{}n a 满足()
21111,3
n n n a a a a n *
+==-∈N ，则（
）
A ．100521002
a <<
B ．
1005
10032
a <<C ．100731002
a <<
D ．
1007
10042
a <<25．
（2023年北京高考数学真题）已知数列{}n a 满足()3
1166(1,2,3,)4
n n a a n +=-+= ，则（）
A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立
B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立
C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立
D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立
考点6：等差数列与等比数列的综合应用
26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和
为()
n S n *
∈N ．
(1)若423260S a a -+=，求n S ；
(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．
27．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且
223344a b a b b a -=-=-．
(1)证明：11a b =；
(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．
28．
（2024年北京高考数学真题）设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}
*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：
①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；
③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是
.
考点7：数列新定义问题
29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的
{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续
可表数列．
(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．
30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记
[][]{}
121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是
．
31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．
(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；
(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：1
8
m P >
．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的
前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i
B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.
(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；
(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；
(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．
33．（2024年北京高考数学真题）已知集合
(){}{}{}{}{}
,,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序
列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作
()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．
(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；
(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．
考点8：数列通项与求和问题
34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；
(2)设1
(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
35．
（2024年天津高考数学真题）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；
(2)设1
1,2,k
n n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨
+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；
（ⅱ）求1
n
S i i b =∑．
36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；
(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
37．（2022年新高考天津数学高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；
(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；
(3)求211(1)n
k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．
考点9：数列不等式
38．
（2023年天津高考数学真题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和
()1
21
2N n n i
i a n --*
=∈∑．
(2)设{}n b 是等比数列，且对任意的*N k ∈，当1221k k n -≤≤-时，则1k n k b a b +<<，
（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k
k k b -<<+；
（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及前n 项和．
39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n
a n
b a n -⎧=⎨⎩为奇数
为偶数，记n S ，
n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．
(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．
40．
（2022年新高考全国I 卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
是公差为1
3的等差数列．
(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：
12111
2n
a a a +++< ．。