河南省郑州市2017-2018学年高一下期末考试数学试题有答案

2017-2018学年下期期末考试
高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）
A ．
2 B ．2- C ．2- D ．2
2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
3. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．20
2sin 151- D ．2020
sin 15cos 15+
4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）
A ．19，13
B ．13，19 C.19，18 D ．18，19
5.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．
23 B ．25 C. 12 D ．13
6.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
在一个周期内的图像是（ ）
A ．
B ． C. D ．
7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）
A ．
34 B ．537 C.37．37
8.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）
A ．10?k <
B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >
9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．
18 B ．1136 C.14 D ．1564
10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6
x π
=对称，则ϕ可能取值是（ ）
A ．
2π B ．12π- C.6π D ．6
π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若
3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）
A ．
56 B ．45 C.34 D ．25
12.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,
]2
π
α∈，0OA OB ⋅=，
若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且2222
1
(21)cos 2(21)sin 4
λαμα-+-
=，则OC 的最大值是（ ） A ．
32 B ．34 C.35 D ．37
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+．
14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy =．
15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为．
16.将函数()2sin(2)6
f x x π
=+
的图像向左平移
12
π
个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-.
（I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.
18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2
f x A x B π
ωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，
列表并填入了部分数据，如下表：
（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6
π
个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.
19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：
（I ）画出散点图；
（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；
（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：
7
21
280i
i x
==∑，72
1
()27i i x x =-=∑，71
3076i i i x y ==∑，7
21
34992i i y ==∑，
1
12
2
21
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-
.
20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.
（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.
21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；
（II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率
.
22.
已知函数2
1
()sin cos 2
f x x x x ωωω=-+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）已知,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.
试卷答案
一、选择题
1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB
二、填空题
13.113 14.60 15.16- 16.5512π
三、解答题
17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，
所以
()()
2
3)(2)4
4cos 5
a a
b b
b b θ-⋅+-⨯=
==-
- ， （2）()
13,24a b λλλ-=+-()
a a
b λ⊥-，
∴()
0a a b λ⋅-=()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=
18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6
π
ϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．
且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
.．
(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，．
因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫+
-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
.．
因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6π
π，．k Z ∈，解得．．．x=212k π
π
-，．k Z ∈，．
即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222
kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π
-.． 19.解：(1)
（2）
7
1
2
7
23456789
6
7
5659637179808270
7
30767670136 4.9
28073628136
70640.928
i i
i i
i
x y x y nx y
b x
nx
a y bx =++++++=
=++++++==--⨯⨯∴=
==≈-⨯-∴=-=-
⨯≈∑∑
∴回归方程为： 4.940.9y x ∧
=+
（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧
=⨯+=
所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.
20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以
11
24
EF EC CF BC CD =+=
+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-
+，即14λ=-，1
2
μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，11
22
AE AB BC AB AD =+
=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，
又0AB AD ⋅=，
所以1
()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2
m AB AD =-+9(1)82m =-+=，
解得1
3
m =
，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．
（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人． 记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，
(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，
其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，
(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，
所以恰好抽中1名优秀生的概率为9
20
P =． 22.解：（1）
()
211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226
f x x xcos x x x πωωωωω-=+
==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=
（2）
7131
[,]2[,]sin(2)[1,]266662
x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-
()f x ∴的值域是1
[,2]2
（3）令222()2
6
2
kx x kx k Z π
π
π
-
≤+
≤+
∈，则()3
6
kx x kx k Z π
π
-
≤≤+
∈，
所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
令3222(),2
6
2kx x kx k Z π
π
π+
≤+
≤+
∈则2()63
kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦。