专题11.7---二项分布、正态分布--教师版

专题11.7
二项分布、正态分布
练基础
1．（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432
C．0.36
D．0.312
【答案】A 【解析】
该同学通过测试的概率为
，故选A．
2.（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：)mm 服从正态分布(75,16)N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在(79，83]内的个数约为(
)
附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=
，(22)0.9545P X μσμσ-<+= ．A．134B．136C．817D．819
【答案】B 【解析】
由题意，75μ=，4σ=，
则1
(7983)[(22)()]2
P X P X P X μσμσμσμσ<=-<+-+<+
1
(0.95450.6827)0.13592
=⨯-=．故直径在(79，83]内的个数约为0.135********.9136⨯=≈．故选：B ．
3.（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理）
）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（）A ．
3
8
B ．
1314
C ．
45D ．
78
【答案】D 【解析】
因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为41
82
=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则13,
2X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
,
()3
102323
331(2)(2)(1)0111722228
P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪
⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案．
4．（2021·全国·高二课时练习）抛掷骰子2次，每次结果用()12,x x 表示，其中1x ，2x 分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设(){}1212,10A x x x x =+=，(){}1212,B x x x x =>，则()P B A =______.
【答案】1
3
【分析】
利用条件概率的公式直接求解即可【详解】
因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，12x x >的有1种，所以()313612P A =
=，()1
36
P AB =，所以()()()11
361312
P AB P B A P A =
==.故答案为：
13
5．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量()2
,X N μσ ，则Y aX b =+服从的正态分布为
______（填序号）.
①()2
,N a μσ；②()0,1N ；③2,N a b μσ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；④()22,N a b a μσ+.
【答案】④【分析】
根据变量线性变化后，其均值、方差的变化情况判断．【详解】
∵()2
,X N μσ ，Y aX b =+，
∴()()()E Y E aX b aE X b a b μ=+=+=+，()()()222
D Y D aX b a D X a σ=+==，故
()22,Y N a b a μσ+ .故④正确.
故答案为：④
6．（2021·全国·高二课时练习）一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每
次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．【答案】59
【分析】
令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其
中5只是好的，由()15
19
C C P B A =可求得答案.
【详解】
解：令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，
因为事件A 已发生，所以我们只研究事件B 即可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，
其中5只是好的，所以()15
1
9C 5C 9
P B A ==．故答案为：5
9
.
7．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.（填序号）
①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->；②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>；④()()()10P a P a a ξξ<=->>.【答案】②④【分析】
随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.【详解】
因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以①不正确；因为()()
P a P a a ξξ<=-<<()()()()P a P a P a P a ξξξξ=<-<-=<->()()()()121P a P a P a ξξξ=<--<=<-，
所以②正确，③不正确；
因为()()1P a P a ξξ<+>=，所以()()()10P a P a a ξξ<=->>，所以④正确.故答案为：②④.
8．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，已知
()1.960.025Φ-=，求()1.96P ξ<．
【答案】0.95【分析】
根据标准正态分布曲线的对称性可直接求得结果.【详解】()0,1N ξ ，
()()()()1.96 1.96 1.96 1.96 1.96P P ξξ<=-<<=Φ-Φ-∴1=-()2 1.9610.050.95Φ-=-=.
9.（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式.某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究.采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23
，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.
（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折.已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.【答案】（1）291
494
；（2）440【解析】
（1）设事件A 表示至少有1人的年龄低于45岁，
则()3
30340291
1494
C P A C =-=.
（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为
603
1005
=.设X 表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，设Y 表示销售额，则()40501050010Y X X X =+-=-，所以销售额Y 的数学期望3
5001050010104405
EY EX =-=-⨯⨯
=（元）.10．（2021·全国·高二课时练习）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的
评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为3
4
，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，Y ，求随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 和方差()D X ，()D Y ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大
赛更好．【答案】（1）
932
（2）()()3=2=E X E Y ，()1=4D X ，()3
=8
D Y ，甲班级代表学校参加大赛更好.【分析】
（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案；
（2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出()E X ，()E Y ，
()D X ，()D Y ，由此可求出答案．
（1）
解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率2
2
3
2
4
C 39C 432P ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
；
（2）
解：甲班级能正确回答题目人数为X ，则X 的可能取值为1，2，()11
31
24C C 11C 2P X ===，
()2
324C 1
2C 2
P X ===，
则()11312222E X =⨯+⨯=，()22
313111222224D X ⎛⎫⎛
⎫=-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
乙班级能正确回答题目人数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2．所以32,4Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴()33242E Y =⨯
=，()3132448
D Y =⨯⨯=．由()()
E X E Y =，()()D X D Y <可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
练提升
1．
（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命X （单位：天）服从正态分布() 9864N ,
.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为_______________________；（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要求K 能正常工作，A ，B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若()2
,X N μσ ，则()0.250.250.2P X μσμσ-<≤+=）
【答案】0.4##【分析】
由题设可知98,8μσ==，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过100天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在100天后仍能正常工作的概率.【详解】
由题设知：98,8μσ==，∴()
10.250.25(100)0.42
P X P X μσμσ--<≤+>=
=.
由题意，要使电路能正常工作的概率22222222232
(1(1)555555555125
P =⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=
.故答案为：0.4，
32
125
.2．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量(),1N ξμ ，函数()2
2f x x x ξ=+-没有零点的
概率是0.5，则()01P ξ<<≈（
）
附：若()2
,N ξμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.
A ．0.1587
B ．0.1359
C ．0.2718
D ．0.3413
【答案】B 【分析】
首先根据函数()f x 没有零点求出ξ的取值范围，再根据()f x 没有零点的概率是0.5，得到
()10.5P ξ<-=，再根据正态曲线的性质得到μ的值；然后再根据正态曲线的对称性求出
()01P ξ<<的值即可．
【详解】
若函数()2
2f x x x ξ=+-没有零点，
∴二次方程220x x ξ+-=无实根，∴()440ξ∆=-⨯-<，∴1ξ<-.
又∵()2
2f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，
∴()10.5P ξ<-=.
由正态曲线的对称性知1μ=-，∴()1,1N ξ- ，∴1μ=-，1σ=，
∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=，∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈，∴()()()1
0131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣
⎦()1
0.95450.68270.13592
≈
⨯-=.故选：B.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知()0P B >，12A A φ=，则下列式子成立的是（）
①()10P A B >；
②()()()()1212P A A B P A B P A B ⋃=+；③()
120P A A B ≠；④()
121P A A B =.A ．①②③④B ．②C ．②③D ．②④
【答案】B 【分析】
利用条件概率公式及概率性质辨析【详解】
①若1A B φ=则()()()
11=0P A B P A B P B =，故()10P A B ≥，故①错误；
②因为12A A φ=所以12()(A B A φB)=()()()()()
()()
()()
()
()()1212121212P A A B P A B A B P A B P A B P A A B P A B P A B P B P B P B ⋃⋃+⋃=
==
=+所
以②正确；
③若1A B φ=或2A φ=则()
12=0P A A B 故③错误；
④若1A B φ=或2A φ=则()
12=0P A A B 故④错误.故选：B
4．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ（千步）服从正态分布()2
,N μσ
，
其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）()2,4.5ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）.
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2
,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，
()220.9545P μσξμσ-<<+≈.
【答案】（1）7（2）54
（3）分布列见解析，200【分析】
（1）根据频率分布直方图直接计算可得；
（2）根据正态分布的概率公式计算出概率即可得出；
（3）可得X 的可能取值为400，300，200，100，0，求出X 取不同值的概率，即可得出分
布列求出期望.（1）
0.0410.0830.1650.4470.1690.1110.0213 6.967x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.
（2）
()27,2.5N ξ ，()4.59.50.6827P ξ∴<<≈，()2120.9545P ξ<<≈，
()()()()1
2 4.5212 4.59.50.13592
P P P ξξξ∴<<=
<<-<<≈.故该校被抽取的400名教职工中日行步数()2,4.5ξ∈的人数约为4000.135954⨯=.（3）
用样本估计总体，从该校教职工中随机抽取1人，是“超健康生活方式者”的概率为
()0.050.0120.12+⨯=，是“不健康生活方式者”的概率为()0.020.0420.12+⨯=，是“一般生
活方式者”的概率为10.120.120.76--=.
由题意知X 的可能取值为400，300，200，100，0，
()222400C 0.120.0144P X ==⨯=，()1
2300C 0.120.760.1824P X ==⨯⨯=，
()12222200C 0.120.12C 0.760.6064P X ==⨯⨯+⨯=，()12100C 0.120.760.1824P X ==⨯⨯=，
()200.120.0144P X ===，∴X 的分布列为
X 0100200300400P
0.0144
0.1824
0.6064
0.1824
0.0144
()4000.01443000.18242000.60641000.182400.0144200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
5．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩X 服从正态分布()2550,N σ（满分为750分）.已知(450)0.1P X <=，(600)0.3P X >=.现在从参加联考的学
生名单库中，随机抽取4名学生.
（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内，2名学生的成绩落在区间[650,750]内的概率；
（2）用ξ表示抽取的4名同学的成绩落在区间[500,600]内的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.0096
（2）分布列答案见解析，数学期望：1.6【分析】
（1）根据正态分布的性质求得(650)0.1P X ≥=，(500600)0.4P X ≤≤=，然后利用二项分布列概率公式计算；
（2）根据题意判定~(4,0.4)B ξ，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.（1）
根据正态分布的特点可知，
(650)(450)0.1P X P X ≥=<=，(500600)2(0.50.3)0.4P X ≤≤=-=.
用A 表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内,2名学生的成绩落在区间[650,750]内”，
则222
4()0.40.10.0096P A C =⨯⨯=.
（2）
根据题意~(4,0.4)B ξ，则4(0)0.60.1296P ξ===，
1
34(1)0.40.60.3456P C ξ==⨯⨯=，2224(2)0.40.60.3456P C ξ==⨯⨯=，334(3)0.40.60.1536P C ξ==⨯⨯=，
4(4)0.40.0256.
P ξ===因此ξ的分布列为
ξ
01234P
0.1296
0.3456
0.3456
0.1536
0.0256
数学期望()40.4 1.6E ξ=⨯=.
6．（2021·全国·高二课时练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】（1）2
3（2）25（3）
35
【分析】
(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.（1）
设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()2
6A 30n Ω==，根据分步计数原理
有()11
45A A 20n A ==，
所以()()()
202303
n A P A n Ω==
=.（2）
由(1)知，()2
4A 12n AB ==，所以()()()
122305
n AB P AB n Ω=
=
=.（3）
由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为()()()2
3
5253
P AB P B A P A ===.
7．（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.垃圾量[)
12.5,15.5[)
15.5,18.5[)
18.5,21.5[)
21.5,24.5[)
24.5,27.5[)
27.5,30.5[)
30.5,33.5频数
5
6
9
12
8
6
7
（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x .
（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨，估计该市A 类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区
个数为X ，求X 的分布列和数学期望附：若X 服从正态分布()2
,N μσ
，则
()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.
【答案】
（1）平均值约为22.76吨（2）51个
（3）分布列答案见解析，数学期望：52
【分析】
（1）直接利用平均数公式计算该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）利用正态分布求出()280.1587P X >≈，即得解；
（3）由题得X 的可能取值为1，2，3，4，再求出对应的概率，即得解.（1）
解：样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则1451762092312268296324
22.7650
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=.
估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.（2）
解：据题意，得22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6827
280.15872
P X P X μσ->=>+≈
≈.因为3200.158750.78451⨯=≈，
所以估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）
解：由频数分布表知8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.
()1444
58C C 11C 14P X ===，()234458C C 32C 7P X ===，
()324458C C 33C 7P X ===，()41
44
58C C 14C 14
P X ===.
则X 的分布列为X
1234
Y
1143737114
所以()1331512341477142
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.8．（2021·全国·高二课时练习）影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.
（1）写出这组数据的众数和中位数.
（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.
①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；
②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列.【答案】
（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①
19
140
；②分布列见解析【分析】
(1)观察茎叶图直接写出众数和中位数即可.
(2)①求出16名学生中随机选取3名的基本事件总数，再求出至少有2名学生是“好视力”的事件所含基本事件数，借助古典概率公式计算即得.
②写出X 的所有可能值，再计算各个对应的概率即可列出X 的分布列.（1）
观察茎叶图得这组数据的众数为4.6和4.7，中位数为4.7 4.8
4.752
+=.（2）
①从16名学生中随机选取3名学生的试验有316C 个基本事件，它们等可能，
令事件i A 表示“所选3名学生中有i 名是‘好视力’(0i =，1，2，3)”，则事件A 2，A 3含有的基本事件数分别为2
1
412C C ，3
4C ，
设事件A 表示“至少有2名学生是好视力”，则2134124
2333
1616C C C 19()()()C 140
P A P A P A C =+=+，所以至少有2名学生是“好视力”的概率是
19
140
.②因为这16名学生中是“好视力”的频率为1
4
，且用频率代替概率，则该地区学生中是“好视力”的概率为
14
，抽取一个学生就是一次试验，有是“好视力”和不是“好视力”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，
于是得X 从二项分布13,4B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则()3
3270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
1313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()2
23
1392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
113464
P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X
0123P
2764
2764
964
164
9．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．
（1）求a 的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；
（3）为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．
月休假不超过6天
月休假超过6天
合计
月薪超过500090
月薪不超过5000140合计
300
【答案】
（1）0.18a =，平均数为6.（2）
1116
.（3）列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．【分析】
（1）由频率分布直方图的性质，可求得0.18a =，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解.
（2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为0.5p =，根据题意得到随机变量(4,0.25)X B ，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.
（3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出22⨯的列联表，根据公式求得2K 的值，即可得到结论.（1）
解：由频率分布直方图的性质，可得(0.020.080.150.030.030.01)21a ++++++⨯=，解得0.18a =，
由频率分布直方图的平均数计算公式，可得
()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011526=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
（2）
由频率分布直方图中的数据，
可得休假天数6天以上的概率为(0.180.030.030.01)20.5p =+++⨯=，
以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量(4,0.25)X B ，所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为：
2223344
044411111111()(1)()(1()(1)22222216
P C C C =-+-+-=.
（3）
解：由题意1000名中月休假不超过6天的人数为1000(0.020.080.15)2500++⨯=人，月休假超过6天（含6天）的人数为500人，
按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，
月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为1509060-=人，
月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为1406080-=人，月薪超过5000的人数为1508070-=人，可得如图所示的22⨯的列联表：
月休假不超过6天
月休假超过6天合计月薪超过50009070160月薪不超过50006080140合计
150
150
300
所以22
300(90807060)75
5.357 5.02416014015015014
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．
10．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（理））很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.
（1）求这12名新手的平均成绩与方差；
（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列与数学期望.
【答案】
（1）平均数92分，方差
3203
（2）分布列答案见解析，数学期望为3【分析】
（1）先读出12个数据，直接套公式求平均值和方差；（2）X 服从二项分布，直接求出分布列及数学期望.（1）
这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为()687288959596969798991001001292+++++++++++÷=，其方差为
()()()()()()222222
19268927292882929529296929712⎡-+-+-+⨯-+⨯-+-+⎣
()()()222
92989299292100⎤-+-+⨯-⎦
()
2222222221
2420423245672812
=
+++⨯+⨯++++⨯320
3
=
.（2）
抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为
93124=，故从该市新手中任选1名合格的概率为34
.X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则()40
4
331
0144256
P X C ⎛⎫
⎛
⎫==-= ⎪
⎪
⎝⎭⎝
⎭，()3
1
14
33123114425664P X C ⎛⎫
⎛⎫==-== ⎪
⎝⎭
⎝⎭，()2
2
243354272144256128P X C ⎛⎫⎛⎫
==-== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭，()1
3
343314441082732566C X ⎛⎭==⎫
⎛⎫- ⎪
⎭
=⎪=⎝⎝，()0
3
4463318142544C P X ⎛⎫⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
⎝⎭
===
.所以X 的分布列为X 01234P
1
256
364
27128
2764
81256
()132727810123432566412864256
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=.练真题
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()2
10,N σ，下列结论中不正确
的是（
）
A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】
对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在
()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；
对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；
对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于
9.99的概率相等，故C 正确；
对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.
2.（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和1
5
，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次
活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】23
2027
【分析】
根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】
由题可得一次活动中，甲获胜的概率为5642
53
⨯=；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23
2
3
21220
33327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：
23；2027
.3．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
1
2和13
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1
623
【解析】
甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23
，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为
111236
⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)2
3
3
-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
23
.故答案为：
16；23
.4.（2019·全国高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.
q =+=5．（2015·全国高考真题（理））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：
62
73
81
92
95
85
74
64
53
76
78869566977888827689
B地区：73836251914653736482 93489581745654766579
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。

【答案】（1）见解析（2）0.48
【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；
1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；
2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．
则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =⋃．()()1122B A B A P C P C C C C =⋃()()
1122B A B A P C C P C C =+()()()()1122B A B A P C P C P C P C =+．
由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820
．故()1A P C 16=20
，()2=
A P C 420，()1=
B P
C 1020，()2B P C 8=20，故()101684=+0.4820202020P C ⨯⨯=．6．（2020·全国高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
12
，（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）
116；（2）34
；（3）716.【解析】（1）记事件:M 甲连胜四场，则()411216
P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为
()()()()411424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫'=+++=⨯= ⎪⎝⎭
，所以，需要进行第五场比赛的概率为314
P P '=-=；（3）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件:M 甲赢，记事件:N 丙赢，
则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，
所以，甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=.。