【推荐】2020高中数学 课时分层作业16 数学归纳法 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十六) 数学归纳法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n
≥n 3
(n ≥3，n ∈N *
)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3
D ．n ＝4
C [由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．] 2．设S k ＝
1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)
，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋1
2k ＋2
B ．S k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
C ．S k ＋12k ＋1－1
2k ＋2
D ．S k ＋12k ＋2－1
2k ＋1
C [因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)
，① 得S k ＋1＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1
＋1k ＋.②
由②－①，得S k ＋1－S k ＝1
2k ＋1＋
1
k ＋
－
1k ＋1
＝1
2k ＋1
－1k ＋
.
故S k ＋1＝S k ＋1
2k ＋1
－
1k ＋
.]
3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *
)的过程中，由n
＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
【导学号：31062168】
A ．1项
B ．k 项
C ．2
k －1
项
D ．2k
项
D [当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为1
2k ＋1
－1＝
12k －1＋2
k ，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k
项．] 4．对于不等式n 2
＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N *
)时，不等式成立，即k 2
＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，
k ＋2＋k＋＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋＋k＋＝k＋2＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.] 5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
【导学号：31062169】A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，
∴第一步的验证为n＝1的情形．
[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________.
【导学号：31062170】[解析]当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．
[答案]2k＋2
8．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝
a n
3a n＋1
(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜
测得出a n 的表达式为________．
[解析] a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝2
6n －5.
[答案] a n ＝2
6n －5
三、解答题
9．(1)用数学归纳法证明： 12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)
n －1n 2
＝(－1)n －1·
n n ＋
2
(n ∈N *
)．
(2)求证：12
－22
＋32
－42
＋…＋(2n －1)2
－(2n )2
＝－n (2n ＋1)(n ∈N *
)． [解] (1)①当n ＝1时，左边＝12
＝1， 右边＝(－1)0
×
＋2
＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N *
)时，等式成立，即 12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)k －1k 2
＝(－1)
k －1
·
k k ＋
2
.
则当n ＝k ＋1时， 12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)k －1k 2
＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)
k －1
·
k k ＋
2
＋(－1)k
(k ＋1)2
＝(－1)k
(k ＋1)·⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k ＋－k
2 ＝(－1)k
·
k ＋
k ＋
＋1]
2
.
∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n ∈N *
等式成立．
(2)①n ＝1时，左边＝12
－22
＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n ＝k 时，等式成立，即12
－22
＋32
－42
＋…＋(2k －1)2
－(2k )2
＝－k (2k ＋1)2
. 当n ＝k ＋1时，12
－22
＋32
－42
＋…＋(2k －1)2
－(2k )2
＋(2k ＋1)2
－(2k ＋2)2
＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2
－(2k ＋2)2
＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2
＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n ∈N *
都成立． 10．已知{f n (x )}满足f 1(x )＝
x
1＋x
2
(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )).
(1)求f 2(x )，f 3(x )，并猜想f n (x )的表达式； (2)用数学归纳法证明对fn (x )的猜想.
【导学号：31062171】
[解] (1)f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝
f 1x 1＋f 21x ＝x
1＋2x
2
， f 3(x )＝f 1[f 2(x )]＝
f 2x 1＋f 22x ＝x 1＋3x
2
猜想：f n (x )＝
x
1＋nx
2
，(n ∈N *
)
(2)下面用数学归纳法证明 ，f n (x )＝x
1＋nx
2
(n ∈N *
)
①当n ＝1时，f 1(x )＝
x
1＋x
2
，显然成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时，猜想成立，即f k (x )＝
x
1＋kx
2
，
则当n ＝k ＋1时，f k ＋1＝f 1[f k (x )]＝
x
1＋kx 2
1＋⎝
⎛⎭
⎪
⎫x
1＋kx 22
＝
x 1＋k ＋
x
2
，
即对n ＝k ＋1时，猜想也成立； 结合①②可知，猜想f n (x )＝
x
1＋nx
2
对一切n ∈N *
都成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
<1(n ∈N *
，且n ≥2)时，第二步由k 到
k ＋1时不等式左端的变化是( )
A ．增加了1
2k ＋1这一项
B ．增加了12k ＋1和1
2k ＋2
两项
C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1
k 这一项
D ．以上都不对
C [不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1
k ＋3＋…
＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
，对比两式，可得结论．]
2．某命题与自然数有关，如果当n ＝k (k ∈N *
)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，则可推得( )
【导学号：31062172】
A ．当n ＝6时，该命题不成立
B ．当n ＝6时，该命题成立
C ．当n ＝4时，该命题不成立
D ．当n ＝4时，该命题成立
C [若n ＝4时，该命题成立，由条件可推得n ＝5命题成立． 它的逆否命题为：若n ＝5不成立，则n ＝4时该命题也不成立．]
3．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. [解析] 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形， 故f (k ＋1)＝f (k )＋π. [答案] π 4．对任意n ∈N *,3
4n ＋2
＋a
2n ＋1
都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.
【导学号：31062173】
[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5；当a ＝3且n ＝2时，310＋35
不能被14整除，故a ＝5.
[答案] 5
5．是否存在a ，b ，c 使等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 2＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n n 2＝
an 2
＋bn ＋c n 对一切n ∈N *都成
立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n ＝1,2,3可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝18a ＋4b ＋2c ＝5
27a ＋9b ＋3c ＝14
，解得：a ＝13，b ＝12，c ＝1
6
.
下面用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 2＝2n 2＋3n ＋16n ＝n ＋n ＋
6n
.
即证12＋22＋…＋n 2
＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，
①n ＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n ＝k 时等式成立，即12＋22＋…＋k 2
＝16
k (k ＋1)(2k ＋1)成立，
则当n ＝k ＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝16k (k ＋1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2
＝
16[k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2]＝16(k ＋1)(2k 2
＋7k ＋6)＝16(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)，∴当n ＝k
＋1时等式成立；
新人教部编版初高中精选试题
由数学归纳法，综合①②当n ∈N *
等式成立， 故存在a ＝13，b ＝12，c ＝1
6使已知等式成立．。