整数规划问题及分配问题
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s.t. 9x1+7x2≤56 7x1 +20x2≤70 xj≥0,整数,j=1,2
x2 4
3
2
（4.81，1.82）
K0
1
x101Fra bibliotek234
567
(K0): X*=(4.81,1.82)T Z* =-356 松弛问题的可行域和最优解
x2 4
3
2
（4.81，1.82）
(K1)
1
(K2)
x1
0
1
2 34
ij
P1 P2
P3 P4
甲
43
41
乙
23
65
丙
43
54
丁
32
66
引例2：一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种文字〔 E,J,G,R〕,现有甲、乙、丙、丁四人可以完成上述任务,他们 将说明书翻译成不同语种的文字所需时间如下表,且一项任务 只能由一人去完成,每人只能完成一项任务.问：指派何人完 成何工作,可使总花费时间最少？
max f ( x ) 6 x1 4 x 2
2 x1 4 x2 13
2 x1 x2 7
x1 , x 2 0 且 为 整 数
作业点评：
max f ( x ) 6 x1 4 x 2
2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7
x1 , x 2 0 且 为 整 数
解：松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2, OBJ=23 由 x1=2.5 得到两个分枝如下：
Z3 * =-340 Z4 * =-327
x2 4
3 (K4)
（4.81，1.82）
2
(K6) =
1
(K3)
(K5)
x1
0
1
2 34
5 67
(K5) : (K6) :
X5*=(5.44,1.00)T K6=
Z5 * =-308
例2：求解下述〔AIP〕： max z = 3x1+2x2
s.t. 2x1+3 x2 ≤14 x1 +0.5x2 ≤4.5 xj≥0,整数,j=1,2
标函数优于问 对问题２继续分支
题１
情况 2, 4, 5 找到最优解 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 问题1的整数解作为界被保留,用于以后与问题2的后续分枝所得 到的解进行比较,结论如情况 4 或 5
计算过程可利用灵敏度分析〔增加约束条件〕,简化问题的计算量
算例
例1：求解下述问题： min z = -40x1-90x2
( j 1,2, , n )
这是一个0-1型整数线性规划问题.其中,中间三个约 束条件分别对应三个附加条件.
2、相互排斥的约束条件
问题满足两个约束条件中的一个
n
a1 jx1 j b1
j1
n
a2 jx2 j b2
j1
n
a1 j x1 j b1 M
j 1
n
a 2 j x 2 j b2 （1 ） M
5 67
(K1) : X1*=(4.00,2.10)T (K2) : X2*=(5.00,1.57)T
Z1 * =-349 Z2 * =-341
x2 4
3 (K4)
2
（4.81，1.82）
1
(K3)
(K2)
x1
0
1
2 34
5 67
(K3) : (K4) :
X3*=(4.00,2.00)T X4*=(1.42,3.00)T
x1
10
x1 x2
8
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4
9 11
s .t .
x2 x3 x4 x5 13 x3 x4 x5 8
x4 x5 5
x5 3
x1, x2 , x3, x4 , x5
0,
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
皆
5
为
整
数
这也是一个纯整数线性规划问题.
整数规划〔IP〕 及分配问题
§7-1 整数规划问题的数学模型及解的特点
一、整数规划问题的数学模型 要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规
划问题称为整数规划〔integer programming,简记IP 〕.不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件 构成的规划问题称为该整数规划问题的松驰问题〔 slack problem〕.若松驰问题是一个线性规划,则称该 整数规划为整数线性规划〔integer linear programming〕.
在一般情况下,松驰问题的最优解不会刚好满 足变量的整数约束条件,因而不是整数规划的可行解, 自然就不是整数规划的最优解.此时,若对松驰问题的 这个最优解中不符合整数要求的分量简单地取整,所 得到的解不一定是整数规划问题的最优解,甚至也不 一定是整数规划问题的可行解.
7.2.1 思路与解题§步7骤-〔2只分解松支弛定问题界〕法
工序 工时/件 产品
A1
A2
表 7-1
利润（元/
B1
B2
B3
件）
0.3
0.2
0.3
25
0.7
0.1
0.5
40
工时限制 （h/周）
250
100
150
解 设工厂每周生产A1 产品 x 1 件，A 2 产品 x 2件。
则该问题的数学模型为
mzax 2x5 14x0 2
0.3x1 0.7x2 250
s.t.
例7-3现有资金总额为B，可供选择的投资项目有 n个，j项目
所需投资额和预期收益分别为a j 和cj(j1,2,,n)
此外，由于种种原因，有三个附加条件：①若选择项目1
，就必须同时选择项目2，反之，则不一定；②项目3和4中
至少选择一个；③项目5，6和7中恰好选择两个。应当怎样
选择投资项目，才能使总预期收益最大？
ij
EJ
G
R
甲
2 15
13 4
乙
10 4
14 15
丙
9 14
16 13
丁
78
11 9
〔一〕指派问题
〔1〕n项工作怎样分配给n个工作人员去完成, 可以使总花费时间最省；
〔2〕n项加工任务怎样分配给n台机床去完成, 可以使总费用最低；
〔3〕n条航线,怎样指定n艘班轮去完成航行任 务,可以使总运输费用最低； ...... ——该类问题是运输问题的特殊形式,称为 指派问题.
j 1
0 （1 且 取 整 ）
如果上述问题中一个或两个约束条件方程是"≥"型,应 两边同乘"-1"变为"≤"型,再用上述方法进行调整.
在p个约束条件中至少要满足k个约束条件
n
aijxij bi(i 1,2....p)
j1
令yi为0-1变量,如果第i个约束条件是k个约束条件中的一个, 就令yi=1,否则取0；对p个约束条件中的每一个约束条件 都增加yi,变为：
如下情况
序号 １ ２ ３ ４
表7.2.1 分枝问题解可能出现的情况
问题１
问题２
说明
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
无可行解
整数解
问题２的整数解为最优解
无可行解
非整数最优解
对问题２进行分支
整数解
整数解
较优解为最优解
５ 整数解，目标函
数优于问题２
非整数解
问题１的整数解为最优解
６
整数解
非整数解，目 对问题１剪枝，其整数解为界，
0.2x1 0.1x2 100 0.3x1 0.5x2 150
x1 0, x2 0,且为整数
这是一个纯整数线性规划问题.
例7-2某服务部门各时段〔每2小时为一时段〕需要
的服务人数见表7-2.按规定,服务员连续工作8小时
〔即四个时段〕为一班.现要求安排服务员的工作
时间,使服务部门服务员总数最少.
〔二〕指派问题的基本特征
性质：特殊的运输问题、特殊0-1规划问题. 特征：〔1〕决策变量为0-1变量；
<2> 发点数m = 收点数 n； 〔3〕ai=bj=1 i,j=1,2,…,n ;
〔三〕指派问题的基本模型
mm
min f ( x )
a ij x ij
i1 j1
m
x ij 1
i 1,2, , m
n
aijxij bi (1 yi )M(i 1,2....p)
j1 p
yi k且yi取值0或1
i1
3、关于固定费用的问题
§7-4 指派问题
一、指派问题及其模型特征
引例1：今有4辆装载不同货物的待卸车,派班员要分派给4个 装卸班组,每个班组卸1辆.由于各个班组的技术特长不同,各 个班组卸不同车辆所需时间如下表.问：派班员应如何分配 卸车任务,可以使卸车所花费的总车辆小时最小？
3. 0-1型整数线性规划<Zero-one integer linear programming>：指决策变量只能了取 值0或1的整数线性规划.
二、整数规划的例子
例7-1某厂生产 A1 和 A 2两种产品，需要经过B1,B2,B3三道工
序。单件工时和利润以及各工序每周工时限额见表7-1。问 工厂应如何安排生产，才能使总利润最大？
1. 纯整数线性规划<Pure integer linear programming>：指全部决策变量都必须取整数值 的整数线性规划.有时,也称为全整数规划.
2. 混合整数线性规划<Mixed integer linear programming〕：指决策变量中有一部分必须取 整数值,另一部分可以不取整数值的整数线性规 划.
1、在全部可行性域上解松弛问题 若松弛问题最优解为整数解,则其也是整数规划的最优解 2、分枝过程 若松弛问题最优解中某个xk=bk不是整数,令[bk]为 bk的整数
部分 构造两个新的约束条件 xk≤ [bk] 和 xk≥ [bk] +1,分别加
于原松弛问题,形成两个新的整数规划 3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程 设两个分枝的松弛问题分别为问题1和问题2,它们的最优解有
解 每一个投资项目都有选择和不被选择两种可能,为此令
1 xj 0
对 对项 项 jj投 不目 目 资 投 (j 资 1 ,2, ,n)
这样,问题可表示为
n
max z c j x j j1
n
a jxj B
s .t .
j1
x1 x2
x3 x4 1
x5 x6 x7 2
x
j
0或 1
三、解的特点
松驰问题作为一个线性规划问题,其可行解的集合是 一个凸集,任意两个可行解的凸组合仍为可行解.
整数规划问题的可行解是它松驰问题可行解集合的一 个子集,任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条 件,因而不一定仍为可行解.由于整数规划问题的可行解 一定也是它的松驰问题的可行解〔反之则不一定〕,所以, 前者最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函 数值,即松弛问题的最优解是整数规划问题最优解的上限.
整数线性规划数学模型的一般形式为:
n
max(或 min)z cj xj j 1
n
aij x j
(, )bi i 1, 2,
,m
s.t.
j 1
xj
0
j 1, 2, , n
x1
,
x2
,
, xn中部分或全部取整数
(7 1)
(7 2) (7 3) (7-4)
整数线性规划问题可以分为下列几种类型：
x1 x2 f(x)
问题I 2 9/4 21
问题II 3 1 22
问题II的解即原整数问题的最优解
可能存在两个分枝都是非整数解的情况,则需要两边同时 继续分枝,直到有整数解出现,就可以进行定界过程
§7-3 0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形,变量xi仅 取值为0或1,xi称为0-1变量或称二进制变量,具体实际问 题常见关系:
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 4 x2 13
问
题I
2 x1 x2 7 x1 2
x1, x2 0 且为整数
max f ( x) 6x1 4 x2
2 x1 4 x2 13
问题II
2 x1 x2 7 x1 3
x1, x2 0 且为整数
分枝问题的松弛解
表 7-2
时段
12345678
服务员最少 10 8 9 11 13 8 5 3 数目
解 设在第 j 时段开始时上班的服务员人数为 x j 。由于
第j 时段开始时上班的服务员人数将在第 ( j 3) 时段结束时
下班，故决策变量只需要考虑 x1,x2,x3,x4,x。5数学模型为:
mzin x1x2x3x4x5
n
n
xj 1 xj 1(至 多 选 一 ）
j1
j1
xi x j
xi x j
1、投资场所的选定--相互排斥的计划
例1：某公司拟在市东、西和南三区建立门市部,拟议有7 个位置Ai〔i=1、2....7〕可供选择,规定： 在东区A1、A2、A3中至多选择两个； 在西区A4、A5中至少选择一个； 在东区A6、A7中至少选择一个 如选择在Ai,设备投资估计为bi,每年可获利润为ci,投资 总额不能超过B,应选择哪几个点可使得利润最大〔建模〕
松弛问题的最优解为：x*=<3.25,2.5> z*=14.75
x1 3.25,x2 2.5
z14.75
x2 2
x2 3
x1 3.5,x2 2 z 14.5
x1 2.5,x2 3 z 13.5
x1 4
x1 3
x1 3, x2 2 z 13
x1 4, x2 1 z 14
作业：〔试用分枝定界法求解下面整数规 划问题的解〕
j1 m
x ij
1
j 1,2, , m
x2 4
3
2
（4.81，1.82）
K0
1
x101Fra bibliotek234
567
(K0): X*=(4.81,1.82)T Z* =-356 松弛问题的可行域和最优解
x2 4
3
2
（4.81，1.82）
(K1)
1
(K2)
x1
0
1
2 34
ij
P1 P2
P3 P4
甲
43
41
乙
23
65
丙
43
54
丁
32
66
引例2：一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种文字〔 E,J,G,R〕,现有甲、乙、丙、丁四人可以完成上述任务,他们 将说明书翻译成不同语种的文字所需时间如下表,且一项任务 只能由一人去完成,每人只能完成一项任务.问：指派何人完 成何工作,可使总花费时间最少？
max f ( x ) 6 x1 4 x 2
2 x1 4 x2 13
2 x1 x2 7
x1 , x 2 0 且 为 整 数
作业点评：
max f ( x ) 6 x1 4 x 2
2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7
x1 , x 2 0 且 为 整 数
解：松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2, OBJ=23 由 x1=2.5 得到两个分枝如下：
Z3 * =-340 Z4 * =-327
x2 4
3 (K4)
（4.81，1.82）
2
(K6) =
1
(K3)
(K5)
x1
0
1
2 34
5 67
(K5) : (K6) :
X5*=(5.44,1.00)T K6=
Z5 * =-308
例2：求解下述〔AIP〕： max z = 3x1+2x2
s.t. 2x1+3 x2 ≤14 x1 +0.5x2 ≤4.5 xj≥0,整数,j=1,2
标函数优于问 对问题２继续分支
题１
情况 2, 4, 5 找到最优解 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 问题1的整数解作为界被保留,用于以后与问题2的后续分枝所得 到的解进行比较,结论如情况 4 或 5
计算过程可利用灵敏度分析〔增加约束条件〕,简化问题的计算量
算例
例1：求解下述问题： min z = -40x1-90x2
( j 1,2, , n )
这是一个0-1型整数线性规划问题.其中,中间三个约 束条件分别对应三个附加条件.
2、相互排斥的约束条件
问题满足两个约束条件中的一个
n
a1 jx1 j b1
j1
n
a2 jx2 j b2
j1
n
a1 j x1 j b1 M
j 1
n
a 2 j x 2 j b2 （1 ） M
5 67
(K1) : X1*=(4.00,2.10)T (K2) : X2*=(5.00,1.57)T
Z1 * =-349 Z2 * =-341
x2 4
3 (K4)
2
（4.81，1.82）
1
(K3)
(K2)
x1
0
1
2 34
5 67
(K3) : (K4) :
X3*=(4.00,2.00)T X4*=(1.42,3.00)T
x1
10
x1 x2
8
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4
9 11
s .t .
x2 x3 x4 x5 13 x3 x4 x5 8
x4 x5 5
x5 3
x1, x2 , x3, x4 , x5
0,
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
皆
5
为
整
数
这也是一个纯整数线性规划问题.
整数规划〔IP〕 及分配问题
§7-1 整数规划问题的数学模型及解的特点
一、整数规划问题的数学模型 要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规
划问题称为整数规划〔integer programming,简记IP 〕.不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件 构成的规划问题称为该整数规划问题的松驰问题〔 slack problem〕.若松驰问题是一个线性规划,则称该 整数规划为整数线性规划〔integer linear programming〕.
在一般情况下,松驰问题的最优解不会刚好满 足变量的整数约束条件,因而不是整数规划的可行解, 自然就不是整数规划的最优解.此时,若对松驰问题的 这个最优解中不符合整数要求的分量简单地取整,所 得到的解不一定是整数规划问题的最优解,甚至也不 一定是整数规划问题的可行解.
7.2.1 思路与解题§步7骤-〔2只分解松支弛定问题界〕法
工序 工时/件 产品
A1
A2
表 7-1
利润（元/
B1
B2
B3
件）
0.3
0.2
0.3
25
0.7
0.1
0.5
40
工时限制 （h/周）
250
100
150
解 设工厂每周生产A1 产品 x 1 件，A 2 产品 x 2件。
则该问题的数学模型为
mzax 2x5 14x0 2
0.3x1 0.7x2 250
s.t.
例7-3现有资金总额为B，可供选择的投资项目有 n个，j项目
所需投资额和预期收益分别为a j 和cj(j1,2,,n)
此外，由于种种原因，有三个附加条件：①若选择项目1
，就必须同时选择项目2，反之，则不一定；②项目3和4中
至少选择一个；③项目5，6和7中恰好选择两个。应当怎样
选择投资项目，才能使总预期收益最大？
ij
EJ
G
R
甲
2 15
13 4
乙
10 4
14 15
丙
9 14
16 13
丁
78
11 9
〔一〕指派问题
〔1〕n项工作怎样分配给n个工作人员去完成, 可以使总花费时间最省；
〔2〕n项加工任务怎样分配给n台机床去完成, 可以使总费用最低；
〔3〕n条航线,怎样指定n艘班轮去完成航行任 务,可以使总运输费用最低； ...... ——该类问题是运输问题的特殊形式,称为 指派问题.
j 1
0 （1 且 取 整 ）
如果上述问题中一个或两个约束条件方程是"≥"型,应 两边同乘"-1"变为"≤"型,再用上述方法进行调整.
在p个约束条件中至少要满足k个约束条件
n
aijxij bi(i 1,2....p)
j1
令yi为0-1变量,如果第i个约束条件是k个约束条件中的一个, 就令yi=1,否则取0；对p个约束条件中的每一个约束条件 都增加yi,变为：
如下情况
序号 １ ２ ３ ４
表7.2.1 分枝问题解可能出现的情况
问题１
问题２
说明
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
无可行解
整数解
问题２的整数解为最优解
无可行解
非整数最优解
对问题２进行分支
整数解
整数解
较优解为最优解
５ 整数解，目标函
数优于问题２
非整数解
问题１的整数解为最优解
６
整数解
非整数解，目 对问题１剪枝，其整数解为界，
0.2x1 0.1x2 100 0.3x1 0.5x2 150
x1 0, x2 0,且为整数
这是一个纯整数线性规划问题.
例7-2某服务部门各时段〔每2小时为一时段〕需要
的服务人数见表7-2.按规定,服务员连续工作8小时
〔即四个时段〕为一班.现要求安排服务员的工作
时间,使服务部门服务员总数最少.
〔二〕指派问题的基本特征
性质：特殊的运输问题、特殊0-1规划问题. 特征：〔1〕决策变量为0-1变量；
<2> 发点数m = 收点数 n； 〔3〕ai=bj=1 i,j=1,2,…,n ;
〔三〕指派问题的基本模型
mm
min f ( x )
a ij x ij
i1 j1
m
x ij 1
i 1,2, , m
n
aijxij bi (1 yi )M(i 1,2....p)
j1 p
yi k且yi取值0或1
i1
3、关于固定费用的问题
§7-4 指派问题
一、指派问题及其模型特征
引例1：今有4辆装载不同货物的待卸车,派班员要分派给4个 装卸班组,每个班组卸1辆.由于各个班组的技术特长不同,各 个班组卸不同车辆所需时间如下表.问：派班员应如何分配 卸车任务,可以使卸车所花费的总车辆小时最小？
3. 0-1型整数线性规划<Zero-one integer linear programming>：指决策变量只能了取 值0或1的整数线性规划.
二、整数规划的例子
例7-1某厂生产 A1 和 A 2两种产品，需要经过B1,B2,B3三道工
序。单件工时和利润以及各工序每周工时限额见表7-1。问 工厂应如何安排生产，才能使总利润最大？
1. 纯整数线性规划<Pure integer linear programming>：指全部决策变量都必须取整数值 的整数线性规划.有时,也称为全整数规划.
2. 混合整数线性规划<Mixed integer linear programming〕：指决策变量中有一部分必须取 整数值,另一部分可以不取整数值的整数线性规 划.
1、在全部可行性域上解松弛问题 若松弛问题最优解为整数解,则其也是整数规划的最优解 2、分枝过程 若松弛问题最优解中某个xk=bk不是整数,令[bk]为 bk的整数
部分 构造两个新的约束条件 xk≤ [bk] 和 xk≥ [bk] +1,分别加
于原松弛问题,形成两个新的整数规划 3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程 设两个分枝的松弛问题分别为问题1和问题2,它们的最优解有
解 每一个投资项目都有选择和不被选择两种可能,为此令
1 xj 0
对 对项 项 jj投 不目 目 资 投 (j 资 1 ,2, ,n)
这样,问题可表示为
n
max z c j x j j1
n
a jxj B
s .t .
j1
x1 x2
x3 x4 1
x5 x6 x7 2
x
j
0或 1
三、解的特点
松驰问题作为一个线性规划问题,其可行解的集合是 一个凸集,任意两个可行解的凸组合仍为可行解.
整数规划问题的可行解是它松驰问题可行解集合的一 个子集,任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条 件,因而不一定仍为可行解.由于整数规划问题的可行解 一定也是它的松驰问题的可行解〔反之则不一定〕,所以, 前者最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函 数值,即松弛问题的最优解是整数规划问题最优解的上限.
整数线性规划数学模型的一般形式为:
n
max(或 min)z cj xj j 1
n
aij x j
(, )bi i 1, 2,
,m
s.t.
j 1
xj
0
j 1, 2, , n
x1
,
x2
,
, xn中部分或全部取整数
(7 1)
(7 2) (7 3) (7-4)
整数线性规划问题可以分为下列几种类型：
x1 x2 f(x)
问题I 2 9/4 21
问题II 3 1 22
问题II的解即原整数问题的最优解
可能存在两个分枝都是非整数解的情况,则需要两边同时 继续分枝,直到有整数解出现,就可以进行定界过程
§7-3 0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形,变量xi仅 取值为0或1,xi称为0-1变量或称二进制变量,具体实际问 题常见关系:
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 4 x2 13
问
题I
2 x1 x2 7 x1 2
x1, x2 0 且为整数
max f ( x) 6x1 4 x2
2 x1 4 x2 13
问题II
2 x1 x2 7 x1 3
x1, x2 0 且为整数
分枝问题的松弛解
表 7-2
时段
12345678
服务员最少 10 8 9 11 13 8 5 3 数目
解 设在第 j 时段开始时上班的服务员人数为 x j 。由于
第j 时段开始时上班的服务员人数将在第 ( j 3) 时段结束时
下班，故决策变量只需要考虑 x1,x2,x3,x4,x。5数学模型为:
mzin x1x2x3x4x5
n
n
xj 1 xj 1(至 多 选 一 ）
j1
j1
xi x j
xi x j
1、投资场所的选定--相互排斥的计划
例1：某公司拟在市东、西和南三区建立门市部,拟议有7 个位置Ai〔i=1、2....7〕可供选择,规定： 在东区A1、A2、A3中至多选择两个； 在西区A4、A5中至少选择一个； 在东区A6、A7中至少选择一个 如选择在Ai,设备投资估计为bi,每年可获利润为ci,投资 总额不能超过B,应选择哪几个点可使得利润最大〔建模〕
松弛问题的最优解为：x*=<3.25,2.5> z*=14.75
x1 3.25,x2 2.5
z14.75
x2 2
x2 3
x1 3.5,x2 2 z 14.5
x1 2.5,x2 3 z 13.5
x1 4
x1 3
x1 3, x2 2 z 13
x1 4, x2 1 z 14
作业：〔试用分枝定界法求解下面整数规 划问题的解〕
j1 m
x ij
1
j 1,2, , m