湖北省荆州中学高二数学青年教师基本功考核试卷

荆州中学数学学科青年教师基本功考核试题卷
一、选择题：（每题5分，10小题，共50分）
1．已知集合{}19
16),(2
2=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是 A ．M S ≠
⊂ B ．S M ≠
⊂ C ．Φ=M S D ．M M S =
2．方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为 Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
３．若复数i
i
a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值
A ．－2
B ．4
C ．－6
D ．6
４．若函数()f x 满足22
(
)log ||||
f x x x x =+，则()f x 的解析式是 A ．2lo
g x B ．2log x - C ．2x
- D ．2x -
５．已知不等式(x+y)(1x + a
y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
６．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，这个问题被解决的概率是p ，则乙解决这个问题的概率是 A ．
1
1
1p p p -- B ．)1)(1(11p p --- C ．1p p - D ．)1)(1(1p p -- ７．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1 的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为
A ．3
2
B ．
33 C ．3
4 D ．
2
3
８．一线段的分割法是：使小的一段与大的一段长度的比值等于大的一段与整个线段长度的比值，设x 是小的一段与大的一段的比值，那么21
22--++-x x
x x 的值为
A ．3
B ．3
C ．5
D ．x 2 ９．如右图1，设P 为△ABC 内一点，且21
55
AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．
15 B ．2
5 C ．14 D ．13
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如右图 所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各 边的中点。

已知最底层正方体的棱长为2，且此塔形的表面 积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体 的个数至少是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题：（每题5分，8小题共40分） 11．设(
)
n n n
x a x a a x
x 221021+++=++ ，则n a a a 242+++ 的值为
12．设向量 OA 绕点O （O 为坐标原点）逆时针旋转
2
π
得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = .
13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称， 则函数)(x g = .
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
14．函数)80sin(5)20sin(3
+++=x x y 的最大值是
15．已知直线1l ：y ＝x 2l ：ax －y ＝0（a R ∈），当这两条直线的夹角在)12
,
0(π
内变动
时，a 的取值范围是
16．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设 ★ ……第一行 第一行这个数为M 1，M 2、M 3分别表示第二、 ★ ★ ……第二行 三行中的最大数，则满足M 1<M 2<M 3的所有 ★ ★ ★ ……第三行
排列的个数是 .
17．已知函数(]()⎪⎩⎪
⎨⎧∈---∈+=1,0,0,1,)(x a
x b x x b ax x f 其中.0,0>>b a 若)(lim 0x f x →存在且)(x f
在（－1，1）上有最大值，则b 的取值范围是
18．用标有1，2，3，15，40克的法码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，
如果天平两端均可放置法码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物） 至多有 种。

三、解答题：（每小题20分，共60分） 19．（本题满分20分）
已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且5
2
3sin cos =
-x x 时，试求⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
+4215πx cos x sin f 的值.
20．（本题满分20分）
如图, 正三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面边长为a, 侧棱长为2
2
a, 点D 在棱A 1C 1上. (Ⅰ) 若A 1D= DC 1, 求证: 直线BC 1∥平面AB 1D;
(Ⅱ) 是否存点D, 使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1, 若存在请确定点D 的位置, 若不存在, 请说明理由;
(Ⅲ) 设集合Q = {θ | θ是二面角A !–AB !–D 平面角的大小}, 求证4
π
∈ Q.
21．（本题满分20分）
设集合E = {圆m C | 以 ( m, m 2 )为圆心, 且与x 轴相切}.
(1) 若a C ∈ E, C b b C ∈E, 且a C 与b C 外切, 求实数a, b 所满足的关系式；
(2) E 中是否存在着这样的元素a C , 它仅与E 中唯一元素b C 外切? 如果存在, 请求出所有的有序实数对(a , b ), 若不存在, 请说明理由.
选作题：（本题满分20分，可作参考）
直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.
（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；
（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区
（第20题）
域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.
荆州中学数学学科青年教师基本功考核试卷答案
一．选择题：
1．C 两图形无公共点 2．Ａ 两根为2或2
1 ３．C
４．B 因为0,0>∴>x x x 原式可化为x x
f 2lo
g )1(=
５．B ()2
)1(111+=++≥+++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++a a a x y
y xa a y a x y x 431≥⇒≥+⇒a a
６．A 设乙解决这个问题的概率为x ，则()()p x p -=--1111 ７．A 如图所示，正三角形ADE ∆的高EI=
2
3， 我们在EF 取点G,H 使得EG=0.5,FH=0.5,容易验证 GI ⊥ABCD 、GI ⊥EF ，在直角EGI ∆中， EI=
23，EG=0.5，所以GI=2
2 多面体ABCDGH 的体积=
)(2
1
高正方形GI S ABCD ⨯⨯=22121⨯
⨯=42 四面体EADG 的体积是)(3
1高EG S ADG ⨯⨯∆=
214231⨯⨯=24
2 四面体CBFI 与EADG 的体积相同，所以多面体ABCDEF 的体积是
42+2242⨯=3
2 ８．A AB BC BC AC x == ,x BC AC BC AB x +=+==111即11
=-x
x 322=+⇒-x x ９．A 过P 作AB 的平行线，由向量关系可得△ABP 与△ABC 的高之比为1比5
10．C 此塔形表面积是棱长为2的正方体的表面积加上上面的一些小正方体的侧面积
为()
⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯ 41211242412222224642
22 391,382,364,328,24453423121=+==+==+==+==S S S S S S S S S
因为5,39>∴>n S n 二．填空题：
11．2
13-n 赋值法：令x ＝1或－1即可，注意0a ＝1
12．1123
(,)55
-
设),(y x B ，则),(x y A -，列方程即可 13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） (①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+) ③原点，)(log 32x --- ④直线3
2
,-=x x y
14．7 利用0
00602080+= 将y 展开得)20cos(2
35)20sin(21100+++=
x x y 15．)3,1()1,33(
⋃利用图形得)12
4tan()124tan(π
πππ+<<-a 注意1≠a 16．240 因为6只能在第三行。

若5在第二行，则有1442
2123324=A C A C 种排法，
若4在第二行，则5在第三行，有722
2123313=A C A C 若3在第二行，则4、5在第一行，有24
2
21233=A C A
故满足题意得的排列个数是144＋72＋24＝240
17． 10≤<b 由)(lim 0
x f x →存在得)(lim )(lim 0
x f x f x x -+→→=所以1=a
而
(]()⎪⎩⎪
⎨⎧∈---∈+=1,0,0,1,)(x a
x b
x x b ax x f 由)(x f 在（－1，1）上有最大值, 由数形结合可得10≤<b
18．55 解：用1，2，3这三只法码，可称出区间[1,6]A =中的全部整克数,增加15克的法码后，量程扩充了区间[156,156][9,21]B =-+=，再增加40克的法码后，量程又扩充了三个区间：12[406,406][34,46],[4021,409][19,31]C C =-+==--=，
3[4019,4021]C =++[49,61],=但区间B 与2C 有三个整数重复，计算上述各区间内的
整数个数，则得能称出的不同克数共有6+13+（13+13+13）-3=55种。

三．解答题：
19．已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且
523sin cos =-x x 时，试求⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
+4215πx cos x sin f 的值. 略解：由cosx －sinx ＝
523，可得cos （x+4
π
）＝53且sin2x ＝257 ∴
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+4215πx cos x
sin ＝７ 又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数， ∴⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7）＝ f （-1）＝320
20．如图, 正三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面边长为a, 侧棱长为
2
2
a, 点D 在棱A 1C 1上。

(Ⅰ) 若A 1D= DC 1, 求证: 直线BC 1∥平面AB 1D;
(Ⅱ) 是否存点D, 使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1, 若存在请确定点D 的位 置, 若不存在, 请说明理由; (Ⅲ) 设集合Q = {θ | θ是二面角A !–AB !–D 平面角的大小}, 求证4π
∈ Q.
略解：(Ⅰ)连B A 1交1AB 于E ，连DE ，由中位线易证DE ∥1BC
(Ⅱ)不存在。

假设存在D 满足题意，则由平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1, 又平面111C B A ⊥平面ABB 1A 1, 平面AB 1D 平面111C B A ＝D B 1 所以⊥D B 1平面ABB 1A 1111B A D B ⊥⇒
因为三角形ABC 是等边三角形，D 在边A 1C 1上，所以不存在
(Ⅲ) 因为 θ是二面角A !–AB !–D 平面角的大小 则≤0θ≤二面角A !–AB !–C !平面角的大小， 只需求出二面角A !–AB !–C !平面角的大小即可得证。

而二面角A !–AB !–C !平面角的大小为arctan3>arctan1=4
π
21． 设集合E = {圆m C | 以 ( m, m 2 )为圆心, 且与x 轴相切}.
(1) 若a C ∈ E, C b b C ∈E, 且a C 与b C 外切, 求实数a, b 所满足的关系式；
(2) E 中是否存在着这样的元素a C , 它仅与E 中唯一元素b C 外切? 如果存在, 请求出所有的有序实数对(a , b ), 若不存在, 请说明理由. 略解：（1）2
2
2
4)(b a b a =- 且b a ≠
（2）假设存在，则关于b 的方程02)41(2
2
2
=+--a ab b a 只有一解 所以0412
=-a 或者0412
≠-a 且0=∆（由于b a ≠，0≠a ，0≠b 无解）
解得41,21==b a 或者4
1,21-=-=b a
（第20题）
综上可得满足题意的所有的有序实数对(a , b )为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21,41,21
选作题：直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.
（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；
（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小. 解：Ⅰ.求区域内部（不包括边界）的整点个数n a ,就是求不等式x ＋y ＜n 的正整数解， 当x ＝1时，y ＝1,2,…,（n-2），共n-2个值， 当x ＝2时，y ＝1,2,…,（n-3），共n-3个值， 依此类推得：n a ＝1+2+…+（n-2）＝
()()2
12--n n .
求区域（包括边界）的整点个数n b ,就是求不等式x ＋y ≤n 的非负整数解， 同上得：n b ＝（n+1）+n+…+2+1+＝
()()2
12++n n
Ⅱ. 对区域内部的n a 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：
()()
2
213
3--==n n a n n A ，
同理()()
2
212
2
++==n n b n n
B
⑴ 当()()
()()()()
()()
()()
2
2142134
214212
212
2
8
93
++--------=>=
>==n n n n n n n n n n n n B A
时有()()()()2
212143
++>
--n n n n
得1502152≥⇒⎭
⎬⎫∈>+-n N n n n
∴n ≥14时，n A ＞n B
⑵ 当()()
()
()()()
()()
()()()()
时2
212154
8
5
2
212
2
2
3
3
10
2110
21++----=<=
<==----n n n n n n n n B A n n n n
有
()()()()2
21n 21-n 54
++<-n n 得1202132≤⇒⎭
⎬⎫∈<+-n N n n n
∴n ≤12时，n A ＜n B ． 最后，ｎ=13、14时，比较n A 与n B 的大小 由10513661323==B ,A
有 488631477106636613..lg A lg =⨯==
6053130100105210513..lg B lg =⨯==
所以n=13时，n A ＜n B ．
同理，n=14时，n A >n B 故3≤n ≤13时，n A ＜n B ．n ≥14时，n A ＞n B .
荆州中学数学学科青年教师基本功考核试卷答题卷
姓名：分数
一．选择题：（每题5分，10小题，共50分）
二．填空题：（每题5分，8小题共40分）
11．12．13．14．15．16．17．18．三．解答题：（每小题20分，共60分）
19．（本题满分20分）
20．（本题满分20分）
21．（本题满分20分）
选作题：（本题满分20分，可作参考）。