2024-2025学年度北师版九上数学-专题1-矩形、正方形中的四个常考模型【课外培优课件】

数学 九年级上册 BS版
12. （选做）如图，已知点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，
连接 AM ，点 E 是线段 AM 上一点，∠ CDE 的平分线 DF 交 AM 的
延长线于点 F ，连接 BE ， BF .
（1）如图1，若点 E 是线段 AM 的中点，且 CM ＝2 BM ， BE ＝
（2）解：由（1），得 CG ＝ CE .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD .
∴ BE ＝ BC ＋ CE ＝4 2 ， DG ＝ CD － CG ＝2 2 .
∴ BC ＝3 2 ， CG ＝ 2 .
在Rt△ BCG 中，根据勾股定理，得
BG ＝ 2 ＋ 2 ＝ （3 2）2 ＋（ 2）2
又∵∠ DA ' P ＝∠ A ＝90°，
∴四边形 APA ' D 是矩形.
根据折叠的性质，得 A ' P ＝ AP .
∴四边形 APA ' D 是正方形.
∴ AP ＝ AD ＝6 cm.
∴点 P 的运动时间为6÷1＝6（s）；
③当∠ A ' BP ＝90°时，不存在.
综上所述，符合要求的点 P 的运动时间为3 s或6 s .
A. 30°
B. 45°
（第1题图）
C. 74°
D. 75°
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2. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为
EF ， EF 与 AC 交于点 O . 若 AE ＝5， BF ＝3，则 AO 的长为
（
C ）
A. 5
3
B.
2
5
（第2题图）
C. 2 5
D. 4 5
故答案为120°；75°.
图2
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11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8 cm， BC ＝6 cm，动点
P 从点 A 出发，以1 cm/s的速度沿线段 AB 向点 B 运动，连接
DP ，将∠ A 沿 DP 折叠，使点 A 落在点 A '处.当△ BPA '为直角三
10，求正方形 ABCD 的面积；
图1
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（1）解：设 BM ＝ x ，则 CM ＝2 x ， BC ＝3 x .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BA ＝ BC . ∴ BA ＝3 x .
在Rt△ ABM 中，点 E 为斜边 AM 的中点，
∴ AM ＝2 BE ＝20.
由勾股定理，得 AM2＝ MB2＋ AB2，
即400＝ x2＋9 x2.
解得 x ＝2 10 .
∴ AB ＝3 x ＝6 10 .
∴正方形 ABCD 的面积＝ AB2＝（6 10 ）2＝360.
图1
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（2）如图2，若 DA ＝ DE ，求证： BF ＋ DF ＝ 2 AF .
图2
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（2）证明：如图，过点 A 作 AH ⊥ AF ，交 FD 的延长线于点
1
1
1
∴ EP '＝ EO ＋ OP '＝ OB ＋ OC ＝ BC .
2
2
2
2
2
∵ BC ＝2 AB ，
∴ EP '＝ AB ＝ EB ，∴∠ EBP '＝∠ EP ' B ＝45°.
∴∠ BP ' C ＝45°＋90°＝135°.
∴∠ PP ' C ＝∠ BP ' C －∠ BP ' P ＝135°－60°＝75°.
坐标是 4，7 .∵点 H 为 BG 的中点，
∴点 H 的坐标是
∴ AH ＝
4＋0
7＋0
，
2
2
0 − 2 2＋ 4 −
.即
7
2，
2
.
7 2
17
17
＝
.故答案为5，
.
2
2
2
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10. （2022·广州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC ＝2 AB ，点
P 为边 AD 上的一个动点，将线段 BP 绕点 B 按顺时针方向旋转
∴ BF ＋ DF ＝ 2 AF .
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3. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此
矩形沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则 BE 的长为
（
C ）
A. 3 cm
B. 4 cm
（第3题图）
C. 5 cm
D. 6 cm
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4. 如图，在平面直角坐标系中，已知边长为2的正方形 ABCD 的
∴∠ DFG ＝∠ BCG ＝90°.又∵∠ BGC ＝∠ DGF ，
∴∠ CBG ＝∠ CDE .
∠＝∠，
在△ BCG 和△ DCE 中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ BCG ≌△ DCE （ASA）.
∴ CG ＝ CE .
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（2）若 BE ＝4 2 ， DG ＝2 2 ，求 BG 的长.
∴∠ BAF ＝∠ DAH .
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＝，
在△ ABF 和△ ADH 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABF ≌△ ADH （SAS）.
∴ BF ＝ DH .
∵Rt△ FAH 是等腰直角三角形， AF ＝ AH ，
∴ HF ＝ 2 AF .
∵ HF ＝ DH ＋ DF ＝ BF ＋ DF ，
图1
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如图2，设 EP '交 BC 于点 O . 当点 P '落在 BC 上时，点 P '与点 O 重
合，此时∠ PP ' C ＝180°－60°＝120°.当 CP '⊥ EP '时， CP '的长最
1
1
小，此时∠ EBO ＝∠ OCP '＝30°，∴ EO ＝ OB ， OP '＝ OC .
边 AB 在 x 轴上，边 AB 的中点是坐标原点 O . 将正方形绕点 C 按
逆时针方向旋转90°后，则点 B 的对应点 B '的坐标是 （3，2） .
⁠
（第4题图）
⁠
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5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝3.将矩形 ABCD 绕点 A
按逆时针方向旋转一定角度得到矩形 AB ' C ' D '.若点 B 的对应点
由旋转，易得△ BPP '是等边三角形，∴∠ ABE ＝∠ PBP '＝
60°， BP ＝ BP '， BA ＝ BE . ∴∠ ABP ＝∠ EBP '.在△ ABP 和△
＝，
EBP '中，ቐ∠＝∠′,∴△ ABP ≌△ EBP '（SAS）.∴∠ BAP
＝′,
＝∠ BEP '＝90°.∴点 P '在射线 EP '上运动.
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第一章
专题1
特殊平行四边形
矩形、正方形中的四个常考模型
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1. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，折痕为 EF ，折叠后点 C ， D
分别落在点 C '， D '处， D ' E 与 BF 交于点 G . 若∠ BGD '＝30°，
则∠α的度数是（ D ）
＝2 5 .
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8. 如图，折叠矩形 ABCD 的边 AD ，使得点 D 落在边 BC 的点 F
处.已知 BC ＝10 cm， AB ＝8 cm，求 CF 和 CE 的长.
解：设 CE 的长为 x cm，则 DE ＝（8－ x ）cm.
∵△ ADE 折叠后的图形是△ AFE ，
H ，过点 D 作 DP ⊥ AF 于点 P .
∵ DF 平分∠ CDE ，
∴∠1＝∠2.
∵ DE ＝ DA ， DP ⊥ AF ，
∴∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴∠2＋∠3＝45°.
∴∠ DFP ＝90°－45°＝45°.
∴ AH ＝ AF .
∵∠ BAF ＋∠ DAF ＝90°，∠ DAH ＋∠ DAF ＝90°，
∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得
CF2＋ CE2＝ EF2.
∴42＋ x2＝（8－ x ）2.∴ x ＝3.
即 CE 的长为3 cm.
故 CF ＝4 cm， CE ＝3 cm.
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9. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点，
60°得到线段 BP '，连接 PP ' ， CP '.当点 P ' 落在边 BC 上时，则
∠ PP ' C 的度数为 120° ； 当线段 CP ' 的长度最小时，则∠
PP ' C 的度数为 75° .
⁠
（第10题图）
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【解析】如图1，以 AB 为边向右作等边三角形 ABE ，连接 EP '.
∴ AD ＝ AF ，∠ D ＝∠ AFE ，DE ＝ EF .
∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝10 cm.
∴ AF ＝ AD ＝10 cm.
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得
AB2＋ BF2＝ AF2.
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∴82＋ BF2＝102.∴ BF ＝6 cm.
设 AP ＝ x cm，
则 A ' P ＝ x cm， BP ＝（8－ x ）cm， A ' B ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ A ' PB 中， x2＋42＝（8－ x ）2.
解得 x ＝3.
∴点 P 的运动时间为3÷1＝3（s）.
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②当∠ A ' PB ＝90°时，∠ A ' PA ＝90°.
7. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是边 BC 延长线上一点，
连接 DE ，过点 B 作 BF ⊥ DE ，垂足为 F ， BF 与 CD 交于点 G .
（1）求证： CG ＝ CE ；来自数学 九年级上册 BS版
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ BCG ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ DC . ∵ BF ⊥ DE ，
∵正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点， BE ＝3，∴点
B （0，0）， C 4，0 ， A 0，4 ， E （3，0）.∴ AE ＝
32 ＋42 ＝5.过点 G 作 GM ⊥ y 轴于点 M ，则∠ AMG ＝90°.∴∠
GAM ＋∠ AGM ＝90°.∵四边形 AEFG 是正方形，∴∠ EAG ＝
B '落在边 CD 上，则 B ' C 的长为 1 .
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（第5题图）
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6. 如图，已知点 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片
沿 AE 对折，点 D 的对应点 D '恰好在线段 BE 上，且 AD ＝3， DE
＝1，则 AB ＝
5 .
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（第6题图）
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BE ＝3，在 AE 的右侧以 AE 为边作正方形 AEFG ，点 H 为 BG 的
中点，则 AE 的长为 5 ， AH 的长为
17
2
.
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（第9题图）
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【解析】如图，以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BA 所
在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.
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90°， AE ＝ AG . ∴∠ GAM ＋∠ BAE ＝90°. ∴∠ AGM ＝∠ BAE .
又∵∠ AMG ＝∠ EBA ＝90°，∴△ AMG ≌△ EBA .
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∴ MG ＝ AB ＝4， AM ＝ BE ＝3.∴ OM ＝ AB ＋ AM ＝7.∴点 G 的
角形时，求点 P 运动的时间.
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解：①当∠ BA ' P ＝90°时，由折叠，得∠ PA ' D ＝∠ A ＝
90°.∴∠ BA ' D ＝∠ BA ' P ＋∠ PA ' D ＝180°.
∴点 B ， A '， D 在一条直线上.
如图，连接 BD .
在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得 BD ＝10 cm.