2024年四川省内江二中中考数学一模试卷+答案解析

2024年四川省内江二中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2018的相反数是()A.2018
B.
C.8102
D.
2.用科学记数法表示，结果是()
A.
B. C.
D.
3.下列运算中，正确的是()A.
B.
C.
D.
4.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为()
A. B.
C.
D.
5.在函数中，自变量x 的取值范围是()
A.
B.
，且
C.
，且
D.
6.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据的平均数和众数分别是()
劳动时间小时34人数
1
1
2
1
A.、4
B.、2
C.、4
D.、
7.如图，在中，直径
弦AB ，若
，则
的度数是()
A. B. C. D.
8.将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是()
A. B.
C.
D.
9.关于x 的方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.如图是二次函数
的部分图象，由图象可知不等式
的解集是(
) A. B. C.且D.
或
11.如图在平面直角坐标系中，直线AB 过点的半径为1，于点P ，PQ 切
于点Q ，那么切线长PQ 的值为(
)
A. B.C.3 D.
12.如图，在矩形ABCD 中，，点O 为对角线BD 的中点，
，交BC 于点E ，点P 是对角线BD 上的动点，
的最小值为
()A.2
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，共44分。

13.因式分解：
______.
14.已知关于x的方程的两根分别是，，且满足，则k的值是______.
15.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为，圆锥的母线是______
16.如图，直线，点坐标为过点作x轴的垂线
交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于
点，记的长为；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以
原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，记的长
为，⋯，以此类推.那么的长为______.
17.已知，则代数式的值为______.
18.在中，，，，则______.
19.抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______.
20.如图，PA、PB切于点A、B，，，点E在
上，且CD切于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是______.
三、计算题：本大题共1小题，共12分。

21.新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量盒与销售单价元有如下关系：
设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
求w与x之间的函数关系式；
该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想买得快．那么销售单价应定为多少元？
四、解答题：本题共7小题，共68分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

22.本小题7分
计算：
23.本小题8分
如图，等边，点P在内，点Q在外，分别连结AP、BP、AQ、CQ，，
求证：≌；
连结PQ，说明是等边三角形；
24.本小题9分
九班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图未完成余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，
频数分布表
分数段频数人数
a
16
24
b
请解答下列问题：
完成频数分布表，______，______
.
补全频数分布直方图；
全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
九班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25.本小题10分
如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为：的斜坡CD
前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪DE的高为米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
求点D的铅垂高度结果保留根号；
求旗杆AB的高度精确到
参考数据：，，，
26.本小题10分
如图，函数与直线交于点和点
求直线AB对应的函数关系式；
直线，交x轴于点C，求点C的坐标.
27.本小题12分
如图，在中，，，经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是的切线；
若中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示的直径AB；
设点D是线段AC上任意一点不含端点，连接OD，当的最小值为6时，求的直径AB的长．
28.本小题12分
如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且，，顶点为D，对称轴交x轴于点
求抛物线对应的二次函数的表达式；
点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∽？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2018的相反数是：
故选：
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：用科学记数法表示，结果是
故选：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选
根据同类项的定义及合并同类相法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
故选：
随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事
件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．必然事件不可能事件
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得：，
解得，，
故选：
根据分式有意义，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可．
本题考查分式有意义，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式、二次根式有意义的条件是解题的关键．6.【答案】C
【解析】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
平均数为：
故选：
根据众数和平均数的概念求解．
本题考查了平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理及垂径定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关
键，属于中档题.
连接AO，由圆周角定理可求得，由垂径定理可知，可知
，可求得答案．
【解答】
解：如图，连接AO，
，
，
直径弦AB，
，
故选
8.【答案】C
【解析】解：
故选
运用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查二次函数的三种形式．
9.【答案】C
【解析】解：，，，方程有两个不相等的实数根．
又二次根号内的数为非负数
故选
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，再根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可，求出k的取值范围．
总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
2、二次根号内的数为非负数．
10.【答案】A
【解析】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以，不等式的解集是
故选：
先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，准确识图并求出抛物线与x轴的另一交点的坐标是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：连接OQ，
，，
，
，
，
，
，
，
切于点Q，
，
，
，
故选：
连接OQ，根据已知易得：，，从而可得，再根据
垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，再利用切线的性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：延长EO交AD于点F，如图，
在RtBCD中，，，
点O为对角线BD的中点，
，
，
又
≌，
，，即点F在AD上，
连接FC，交BD于点P，连接PE，
当点F，P，C三点共线时，的值最小，为CF的长，
，
∽，
，
在中，，
的最小值为，
故选：
延长
EO交AD于点F，证明≌得，证明∽，求出BE，由勾股
定理求出CF的长即可
本题主要考查矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：
把所求整式写成两个整式平方的形式，然后利用平方差公式进行分解因式即可．
本题主要考查了整式的分解因式，解题关键是熟练掌握平方差公式．
14.【答案】2
【解析】解：方程的两根分别为、，
设，，，
则，，
，
解得：，
经检验是分式方程的解.
故答案为：
设出一元二次方程的系数a，b，c的值，利用根与系数的关系可得，，将其代入中，可得出关于k的分式方程，解之并检验即可得出k的值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
15.【答案】13
【解析】解：设母线长为R，则：，
解得
圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．
16.【答案】
【解析】解：直线，点坐标为过点作x轴的垂线交直线l于点，可知点
的坐标为，
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，，
点的坐标为，
同理：的坐标为，点的坐标为，
以此类推便可求出点的坐标为，
即
又，
，
则的长为
故答案为：
先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，得出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，再根据弧长公式计算即可求解．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，即，
则原式
故答案为：
已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了含角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
由，，，利用所对的直角边等于斜边的一半易得是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．
【解答】
解：
，，，
是直角三角形根据三角函数的定义可推出，
，
故答案为：
19.【答案】
【解析】解：当时，有，
解得：，，
抛物线与x轴的两个交点分别为和
两个交点之间的距离为4，
，
解得：
故答案为：
代入求出x值，由此可得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两个交点之间的距离为4，即可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及解无理方程，根据两个交点间的距离，列出关于t的无理方程是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：当时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
，，
，
，
是等边三角形，
因为，
，
是等边三角形，
故答案为：
首先判断在什么情况下CD最短．利用切线长定理，说明是等边三角形，求的周长并得结论．
本题主要考查了切线长定理及等边三角形的判断和性质．解决此题的关键是熟练利用切线长定理．
21.【答案】解：
，
w与x的函数关系式为：；
，
，，
当时，
w有最大值．w最大值为
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
当时，
解得：，
想买得快，
不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
【解析】本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x
的取值范围．
用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即，然后化为一般式即可；
把中的解析式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解；
求函数值为2400所对应的自变量的值，即解方程，然后利用“想买得快”确定x的值．
22.【答案】解：
【解析】原式分别化简，，，，，然后再进行加减运算即可．
本题主要考查实数的混合运算，关键是四则混合运算的运用．
23.【答案】解：如图，
是等边三角形已知，
，等边三角形的性质
在和中，
，
≌
≌，
，全等三角形的对应边、对应角相等
，
即
是等边三角形有一个角是的等腰三角形是等边三角形
【解析】由是等边三角形，可得，，利用SAS，即可得出≌
由≌，可得，，，由可得
，即可得出是等边三角形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质，解题的关键是
得出≌
24.【答案】解：；
补全频数分布直方图如下：
人，
所以估计该校成绩范围内的学生有50人．
画树状图得：
共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况，
甲、乙被选中的概率为
【解析】【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．在利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法或画树状图法求概率．
将余下的8位同学按、分组可得a、b的值；
根据中所得结果补全即可得；
将样本中成绩范围内的学生所占比例乘以总人数600可得答案；
画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】
解：由题意知，的有60、63、67、68这4个数，的有90、99、99、99这4个，
即、，
故答案为：4，4；
见答案.
25.【答案】解：延长ED交射线BC于点
由题意得
在中，，：
，
，
答：点D的铅垂高度是米．
过点
E作于
由题意得，即为点E观察点A时的仰角，
，，，
四边形FBHE为矩形．
在中，，
答：旗杆AB的高度约为米．
【解析】延长ED交BC延长线于点H，则，中求得
、；
作，可得、，根据
、可得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
26.【答案】解：把代入，得：，
，
；
把代入，得，，
，
把，代入，得：
，
解得，，
直线AB的解析式为；
设直线AB的解析式与x轴的交点为D，如图，
对于，当时，，
解得，，
，
，
过点A作于点E，则有：，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，，
，
，
，
点C的坐标为
【解析】把代入，求出，得到，再把代入求出，
得，把，代入，求出，，从而可得一次函数解析式；
求出直线AB与x轴的交点坐标，得，，，再证明∽，可求出，从而求出，可得点C的坐标
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
27.【答案】解：连接OC，如图1，
，，
，，
，
是的切线；
过点C作于H，连接OC，如图2，
由题可得
在中，，
，
，
；
作OF平分，交于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则
，
、是等边三角形，
，
四边形AOCF是菱形，
根据对称性可得
过点D作于H，
，，
，
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，即最小，
此时，
则，
当的最小值为6时，的直径AB的长为
【解析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把转化为
是解决第小题的关键．
连接OC，如图1，要证CE是的切线，只需证到即可；
过点C作于H，连接OC，如图2，在中运用三角函数即可解决问题；
作OF平分，交于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得过点D作于H，易得，从而有根据垂线
段最短可得：当F、D、H三点共线时，即最小，然后在中运用三角函数即可解决问题．
28.【答案】解：，，
，
代入，得
解得，
抛物线对应二次函数的表达式为：；
如图，设直线
CD切于点连结PE、PA，作于点，
由，得
对称轴为直线，、
，，
，
为等腰直角三角形．
，
，
，
为等腰三角形．
设，
在中，，
整理，得
解得，
点P的坐标为或
存在点M，使得∽
如图，连结CQ、CB、CM，
，，，
为等腰直角三角形，
，
由可知，，，
∽分两种情况．
当时，
，解得
当时，
，解得
综上，点M的坐标为或
【解析】由，，得到点
A、点B的坐标，代入抛物线解析式，得到二次函数的表达式；
设直线
CD切于点连结PE、PA，作于点通过DF与CF的长，说明为等腰直角三角形．设点，用含m的代数式表示出半径EP、PA的长，根据半径间关系，求出m的值从而确定点P的坐标．
利用等腰直角三角形，先求出DC和BC的长，由于，若∽，需分类讨论求出满足条件的点M的坐标．
本题考查了待定系数法确定二次函数解析式、切线的性质、勾股定理及相似三角形的判定等知识点．解决本题的关键是运用数形结合的思想．在求解时，当夹角相等说明两个三角形相似时，容易相当然，忘记分类讨论出现错误．。