函数奇偶性的应用

问题：在例1 （1）、（2）、（3）中，若是偶函数，结论又如何？
三、利用奇偶性求函数解析式：
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
∴－ －11≤ ≤1m－≤m1≤1 |1－m|>|m|
解得 0≤m<12
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0；
(2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)·(1＋x) ∴f(x)＝x·(1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为：
f(x)＝x0·(1(－x＝x)0)
单调性比较大小．
• 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量 对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个 自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量 的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个 单调区间，然后再根据单调性判断．
练习：已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，f(x)在
（C）减函数，最小值为 6
（D）减函数，最大值为 6
函数奇偶性与最值之间的关系
若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在
[－b，－a]上是 增函数 ，且有 最小值－M ，最小值和最
大值和为 0
。
（3）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（-∞,0] 上是增函数，且 f(2)=0， 则使得 f(x)<0 的取值范围是______________.
B．f(0)>f(－1)
• C．f(－1)<f(1)
D．f(－3)>f(－5)
• 思路分析： 要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－ 5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上 的单调性．
•
温馨提示：本题求解的切入点是：由f(3)<f(1)及已知条
件推出函数f(x)在[－5,5]上是减函数，这样可以应用函数的
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般
步骤是:
（1）考查定义域是否关于_原__点___对称； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=__-_f_（__x_），则f（x）为奇函数； 若f（-x）=_f_（__x_）___，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=_-_f_（__x_）_且f（-x）=_f_（__x_）___,则f(x)既是 奇函数又是偶函数；
变式：1、已知 f (x) x5 x a ， f (x) 是奇函数，求 f (2)
x2 1
2、已知函数 f (x) ax4 bx2 1， f (2) 1，求 f (2)
二、函数奇偶性的图像特征：
例 2．先根据条件画出函数的大致图象，再利用图象解题 （1）已知函数 f (x) 是奇函数， f (x) 在 (0 , ) 上是增函数，那么 f (x) 在 (,0) 上 是增函数还是减函数？
当x=0时，g(-0)=－g(0)=0
对任意的x R,都有g(-x)=-g(x)
故函数g(x)为奇函数.
走进课堂
一、函数奇偶性概念的应用：
例
1、①已知
f
(x)
x3 x2
x 1
a
，
f
(x)
是奇函数，求
f (1)
②已知函数 f (x) ax5 bx3 cx 1， f (2) 1，求 f (2)
(x>0)
x(1＋x) (x<0)
• 此类问题的一般解法是：
• (1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个
区间内．
• (2)要利用已知区间的解析式进行代入．
• (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
【解析】 设 x<0，则－x>0
∴f(x)＝f(－x)＝－x·[1－(－x)]
小结：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_相_同____,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相__反___(填“相同”、“相反”）.
（2）若奇函数 f (x) 在区间[3 , 5] 上是增函数，且最大值是 6，那么 f (x) 在区间
[5 , 3] 上是（
）
（A）增函数，最小值为 6 （B）增函数，最大值为 6
由 f(x－1)＋f(1－2x)<0 得 f(x－1)<－f(1－2x) ＝f(2x－1)
∴－ －11≤ ≤x2x－－1≤ 1≤11
0≤x≤2 ，即0≤x≤1
x－1<2x－1
x>0
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
例5、若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减 ，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
走进复习
一、基础知识：
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x)， 那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有_f(_－__x_)_＝__-f_(_x_)_， 那么称函数y＝f(x)是奇函数．
3．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 y轴 对称． (2)奇函数的图象关于 原点对称．
思考：奇函数的图象一定过原点吗？
提示： 不一定．若0在定义域内，则图象一定过原 点，否则不过原点．
练习：判断下列函数的奇偶性
（1）、 f (x) x2 4 4 x2
（2）、
y
x2
x
k
(k
0)
（3）、 g(x) | x 1| | x 1|
＝－x·(1＋x)
又 f(0)＝0
∴函数 f(x)的解析式为
f(x)＝x0(1－(xx＝) 0)
(x>0)
－x·(1＋x) (x<0)
• 类型三
利用函数的奇偶性比较大小
• 【例3】 已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间 [0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则( )
• A．f(－1)<f(－3)
（4）、 g(x)
x(1 x) x(x 1)
x x
0 0
分段函数奇偶性判断
x(1 x), x 0
判断函数
g
(
x)
x(1
x),
x
0
的奇偶性
解： 函数g(x)的定义域为R,
当x 0时，-x<0,
g(-x)=-x(1-x)=-g(x)
当x 0时，-x>0,
g(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-g(x);
答案：D
类型四 函数单调性和奇偶性与抽象不等式
例4、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围． 【思路点拨】 f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－ 1)―→根据单调性 列不等式组―→解得实数x的取值范围
【解析】 ∵f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是 增函数．

区间[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一
定成立的是( )
A．f(－1)<f(3)
B．f(2)<f(3)
C．f(－3)<f(5)
D．f(0)>f(1)
解析：函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝ f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(－3)<f(－1)，所 以f(3)<f(1)．因为f(x)在区间[0,5]上是单调函数，从而函数 f(x)在[0,5]上是减函数． 观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．