高一数学下册第5章三角比5.6正弦定理余弦定理和解斜三角形5.6.1正弦定理课件沪教

c b2 a2 2
例题讲解
【例2】在
ABC中，a 3, b 1, B 60 , 求A.
0
b a a sin B 3 sin 600 3 , sin A 1 解：∵ sin B sin A b 1 2
∴这样的三角形是不存在的. 通过对例1、例2、例3的解答，我们可以发现，已知两边和其 中一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解和无解的情况。 如何从几何的角度对这一数学现象作出解释呢？
例题讲解
【例3】 ABC中，b
6, A 45 , a 2, 求B, C和c
0
a b b sin A 6 sin 450 3 ,sin B 解： sin A sin B a 2 2
B 60 或120
0
0
0 b sin C 6 sin 75 当B 600时，C 750 , c 3 1 0 sin B sin 60
0 b sin C 6 sin15 当B 1200时，C 150 , c 3 1 0 sin B sin 60
B 600 , C 750 ,c 3 1或 B 1200 , C 150 , c 3 1
三角形解的个数问题
（1）若A为锐角时:
(2)当A为直角或钝角
a sin B ∴由正弦定理得 b 三角形面积公式 sin A 2( 3 1)(
A
2 h ) 2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
B6 2 C 1 1 14 1 S ABC aha ab sin C ac sin B bc sin A 12 12 3 2 2 S ABC ab sin C 2( 3 1) 4 ( ) 6 2 3 2 2 2
5.6.1正弦定理
证明方法一：
A h C
1 1 1 S ABC a ha ac si nB ab sinC 2 2 2 B 1 1 同理可证：S ABC bc sin A ba sinC 2 2
S ABC
1 1 1 bc sin A ac sinB ba sinC 2 2 2
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
例题讲解 【例1】在
ABC中，b 3, B 60 , a 1, 求A, C和c
0
b a a sin B 1 sin 600 1 , sin A 解：∵ sin B sin A b 2 3
b a, B 600 , A B, A为锐角， A 300 , C 900
三角形形状问题
例题：根据所给的条件，判断ABC的形状。
a cos A b cos B
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关 系进行判断，将已值条件利用正弦定理统一为角的关 系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合 两者运用。
【例 5】根据已知条件，判断下列三角形的形状
（1）在 ABC 中， a cos A b cos B
（2）在 ABC 中， a tan B b tan A
2 2
2 （3）在 ABC 中， lg a lg c lg sin B lg ， 2
且 B 为锐角
2 2 2 2 （4）在 ABC 中， a b sin A B a b sin A B ,



b c 2R ， 2R . 同理可证： sinB si nC
a b c 2 R. sin A sinB sinC
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
a b c sin A sin B sin C
B
A
注意： （1）正弦定理适合于任何三角形.
C
a b c （ 2） 2 R (R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C （3）结构特点：每个等式可视为一个方程(知三求一)
（4）公式变形:
a : b : c sin A : sin B : sin C
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
a b c sin A sin B sin C
相等，即
解三角形:
已知三角形的几个元素求其他元素的过程.
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
C
ab 一解
C a A B
ab 无解
a
A
B
【练习】在△ABC 中， b 2, B 45 , 若△ABC 有两个解， 求 a 的取值范围.
三角形的面积公式 例题讲解
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 【例4】 在ABC 中，
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 75
> （2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B ) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
（4）在 ABC 中，若
a A cos 2

b B cos 2

c C cos 2
，则 ABC 是( D )
（三角形面积公式）
A h B C
a b c sin A sin B sin C
（正弦定理）
证明方法二： 作出△ABC的外接圆⊙O， 连接BO交⊙O于A’，连CA’， 则△A’CB为直角三角形，A A' ， A
C
A
.O
B
BC a sin A sin A' ， BA' 2 R a 2 R. （R为△ABC外接圆半径） sin A

且A B
a b c （5）在 ABC 中， cos A cos B cos C
课堂练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（
）
A. a sin A b sin B C. a sin B b sin A
B. a cos A b cos B D. a cos B b cos A