北师版初中九年级下册数学精品授课课件 第三章 圆 3 垂径定理 3 垂径定理

C B
M
O
D
还有如下正确
A
结论：
CD为直
CD⊥AB于
径
AC BC
AMM = BADM BD
C B
M
O
D
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线 来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣 弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
B
M
M．
O
（1）这个图形是轴对
称图形吗？如果是，它的对
D
称轴是什么？
（2）你能发现图中有
条件 CD为⊙O的 直 CADM径⊥= A BM
结论
CD⊥A B
AC BC
AD BD
C
A
B
M
O
D
理由是：连接OA，OB，
则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵ OA=OB，AM=BM.
C
A
B
M
∴ △OAM≌△OBM.
4.如图所示，OC 交 AB 于点 D， AD = DB，AB = 6cm，CD = 1cm， 求解⊙：O 设的圆半的径半长径. 为 R，则OB = OC = R，
∵ AD = DB， ∴ OC⊥AB， 根据勾股定理，得32+（R – 1） 2 = R2， 解得 R = 5 cm.
5. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧 相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一 条弦，作直径CD，使 CD⊥AB， 垂足为M．
（1）这个图形是轴 对称图形吗？如果是，它 的对称轴是什么？
（2）你能发现图中 有哪些等量关系？说一说
C
A
B
M
O
D
连接OA，OB，则
O在AR=tO△BO. AM和 ∵RtO△AO=BOMB，中， ∴Rt△OAM≌Rt△ ∴AM=B
C
A
B
M
O∴B点MA. 和点B关于CDM.
O
对 ∵⊙称O. 关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B
重A合C和，BC重合， AD和BD重合.
D
AC=BC，AD=BD.
条件
CD为⊙O的 直径 CD⊥AB
结论
AM = BM
AC BC
AD BD
C
A
B
M
O
D
垂径定理 垂直于弦 的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧.
C
A
B
M
O
D
几何语
A
言
∵CD为⊙O的直径，
C∴DA⊥MA=B，AC BC，AD BD. BM，
C B
M
O
D
判断下列图形，能否使用垂径定 理？
C B
A
O
C
DC
A
O
E
D
O
B D
定理中的两个条件缺一不可——直径（半 径），垂直于弦
如图，AB 是⊙O 的弦
C
（不是直径），作一条平分 A AB 的直径 CD，交 AB 于点
圆心在平行 弦外
圆心在其中一条 弦上
圆心在平行 弦内
若⊙O中弦AB∥CDA.C那么BD
吗？为什
么？
解：AC BD
N
理由是：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM BM CM， DM
（垂直
于弦的直径平分弦所对的弧）.
M
AM CM BM DM，
AC BD.
课堂小 结
C
A
B
M
OHale Waihona Puke D课后作 业习题3.3 1、2、3、
4
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于2 3C .
若 AB = ，OC = 1，2 则半径 OB 的长为
______. 垂径定理 垂直于弦的直径平分
这条弦，并且平分弦所对的弧.
1
BC 1 AB 1 2 3 3.
3
22
勾股定 OB
2
3 12 2.
理
再逛赵州石拱桥
例 如图，一条公路 的转弯处是一段C圆D弧 （C即D图中 ，点 O 是 所在圆的圆心C）D ，其中 CD = 600m，E 为 上 一点，且 OE 丄 CD，垂 足为 F，EF = 90m. 求这 段弯路的半径.
CE FD
O
解：连接 OC . 设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m . ∵CFOE1⊥CDCD1 ，600 300(m).
∴ ∠AMO=∠BMO.
O
∴ CD⊥AB
∴∵ 当⊙圆O关沿于着直直径径CCDD对对称折，时，点A
D
与点BA重C和合BC，重合，AD和BD重合. AC BC，AD BD.
C
A
B
M
垂径定理的逆
平定分（理弦不是直
O
的直径垂径直）于弦，并且平
分弦所对的弧．
D
几何语
A
言
∵CD为⊙O的直径， AM
=∴BM， AC BC，AD BD. CD⊥AB，
3. 赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图A，B = CD =
AD
13A7B.4，1
7.2 37.4 18.7,
22
OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理， 得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约
北师版·九年 级下册
3 垂径定 理
新课导 入
你知道赵州桥吗？它是1300多年 前我国隋代建造的石拱桥，是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2m 37.4
m
探究新 知
22 ∴
在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2. 解这个方程，得 R = 545.
CE FD
O
随堂练 习
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，D下列结论不一定成立 的是（ ）
AC.BCMBD= DM B. C. ∠ACD =∠ADC