高一数学苏教版课件：余弦定理、正弦定理的应用

CD=100m.设A，B，C，D在同一平面内，试求
A，B两点之间的距离（精确到1m）.
重点探究
解：在△ADC中，∠ADC=85°，∠ACD=47°，则∠DAC=48°.
又DC=100m，由正弦定理，得 =
∙∠
∠
=
°
°
≈ . （m）

30 2
sin ACB
sin 45
3
10 6
3
，在 Rt
PCB
中， PCB 90 。 PBC 30 ，则
（m）所以建筑物的高度为10 6 m.故答案为：10
6
随堂练习
6．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A，B 两点间的距离），现取与 A，B 两
点在同一平面内的两点 C，D，测得 C，D 间的距离为 1500 米，ADB 135 ，BDC DCA 15 ，ACB 120 ，
PB 2
30( 6 2)
6 2
4
，由正弦定理得： sin 30 sin15 ，
树的高度为 PB sin 45 30 (
6 2)
2
(30 30 3)
2
(m).故选：A．
，
随堂练习
2．已知轮船 A 和轮船 B 同时从 C 岛出发， A 船沿北偏东 30 的方向航行， B 船沿正北方向航行
. ( )所以AB≈57(m)
答：A，B两点之间的距离约为57m.
探究新知
核心知识点：二
高度问题
类型一：底部可达
如图，测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
a·
tan C.
探究新知
类型二：底部不可达
第一种情况：点B与C，D共线
如图，测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形
则 A，B 两点的距离为______米．
随堂练习
【答案】1500
5
【详解】如图，在 △ADC 中， ADC ADB BDC 150 ，而 DCA 15 ，则 DAC 15 ，
因此， AD CD 1500 ，在 △DCB 中， DCB DCA ACB 135 ，则 DBC 30 ，
30°，则这个建筑物的高度为______m；
【答案】10
6
【详解】在
ABC
中， CAB 30 ， CBA 105 ，则 ACB 45 ，而 AB 60m ，如图，
由正弦定理得： BC
PC BC tan PBC 30 2
AB sin CAB 60 sin 30

60m
sin 67
0.92
，所以河流的宽度 BC 约等于 60m ，故答案为： 60 .
随堂练习
5．为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部 C 在同一水平面内的两个
测量基点 A 与 B，并测得： CAB 30 ， CBA 105 ， AB 60m ，且在 B 处测得建筑物顶部仰角为
在△BDC中，BDC=60°，BCD=72°，则DBC=48°.
又DC=100m，由正弦定理，得 =
∙∠
∠
=
°
°
≈ . （m）
在△ABC中，由余弦定理，得 = + − ∙ ∠ =
. + . − × . × . × ° − ° ≈
探究三
解：如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝ at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由


＝
，
∠

×°

得sin∠CAB＝
＝
＝＝ ，



∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
在喷水柱正西方向的点 A 处测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 60m 到
达点 B，在点 B 处测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是（B）
A．25m
B．30m
C．35m
D．40m
【答案】B
【详解】解： 如图所示，
设水柱 CD 的高度为 h，在 Rt△ ACD 中，
∵∠DAC=45°，
（如图）
．若 A 船的航行速度为 40
2 nmile / h
，1h 后，B 船测得 A 船位于 B 船的北偏东 45 的方向上，
则此时 A ， B 两船相距（B ） nmile ．
A． 40
2
B．40
C． 20
D． 40
2
3
【答案】B
【详解】解：由图所示：由题意可知：CBA 135 ，BCA 30 ，AC 40
ABC 180 ABD 113
BC
92
92


sin 37 sin113 sin 67
BC
ABC
中，因为
AC
，所以 BAC 180 113 30 37 ，由正弦定理可得： sin BAC sin ABC ，即
，所以 BC
92sin 37 92 0.60
BCD
，
，解得 h 30 ．∴水柱的高度是 30m，故选：B.
中，
随堂练习
4．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67 ，30 ，此时气球
的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于________m．
之间可视不可到达，若要求出AB、BC的
长度，要求在△ABC中，可以测得AC的
长度、∠B、∠A和∠C的大小，可以利用

正弦定理：
∠
=


求出AB、BC的长度。
=


探究新知
类型三：两个不可到达的点之间的距离
如图，此类型中，点A与点B之间可视不可到
达，若要求出AB的长度，要求在△ABC或
问题.
随堂练习
1．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A 、 B 两点，从 A 、 B 两点分别测得树尖的仰
角为 30 、 45 ，且 A 、 B 两点之间的距离为 60m ，则树的高度为（A）
A． 30 30 3 m B． 30 15 3 m C． 15 30 3 m D． 15 15 3 m

AC
AB

sin ABC sin BCA
，所以
40 2
AB

sin135 sin 30
，所以 AB
40 2
2
2
1
2 40

2 1 40 2
，由正弦定理可知：
，即此时 A ， B 两船相距 40 nmile ；故选：B
随堂练习
3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人
所以 A，B 两点的距离为 AB 1500 5 （米）.
故答案为：1500
5
，
，
随堂练习
7．揭阳楼位于市区东入口，是我市的标志性建筑．如图，在揭阳楼旁地面上共线的三点 A，
B，C 处测得楼檐上某点 P 的仰角分别为 30 ，60 ，45 ，且 AB BC 45 米，点 P 在地面的投影为O ，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
重点探究
【总结】
1.求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可
直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
2.高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观
测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高
度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形
（用四舍五入法将结果精确到个位．参
考数据： sin 67 0.92 ， cos67 0.39 ， sin37 0.60 ， cos37 0.80 ，
3 1.73
）
【答案】60
【详解】如图所示，过点 A 作 AD CB 且交 CB 的延长线于 D .
AD 46m
， ACB 30 ， ABD 67 ，在 Rt△ACD 中，因为 ACD 30 ，所以 AC 2AD 92m ，在
△ADB中，通过测算得到AC、BC或AD、BD
的长度，∠ACB或∠ADB的大小，可以利用
余弦定理求出。
角度都可以测量；不过AC、BC或AD、BD的
长度，要先用正弦定理进行求解。
重点探究
探究一
如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，
在河岸这边取点C，D，测得∠ADC=85°，
∠BDC=60°，∠ACD=47°，∠BCD=72°，
【答案】A
【详解】在


PAB
， PAB 30 ， APB 45 30 15 ， AB 60 ，又 sin15 sin(45 30) sin 45cos30 cos 45 sin 30
2
3
2 1
6 2



2
2
2 2
4
PB
AB
1
60
AB＝
＝
＝1

°
000 (m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
探究新知
核心知识点：三
角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标
的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图
形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪
苏教版（2019）
必修第二册
第11章 解三角形
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
学习目标
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角
度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
情境导入
余弦定理、正弦定理体现了三角形中边角之间的关系
，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广
得AB的值.
探究新知
类型三：底部不可达
第二种情况：点B与C，D不共线
如图，测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，
∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三
角形得AB的值.
重点探究
探究二
某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角
为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进
1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰
∴AC=h，
∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，
又∵B，A，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以 C 为直角顶点的直角三角形，在 Rt
∠CBD=30°，∴BC=
∴
3h

2
h2 602 2 60 h
1
2
3h
，在
，即 h
2
ABC
中，由余弦定理可得 BC
30h 1800 0
些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或
几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际
问题的解.
重点探究
探究三
甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以
每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是
每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能
最快与乙船相遇？
重点探究
泛的应用.
思考：怎样利用余弦定理、正弦定理解决与测量
和几何计算有关的实际问题？
探究新知
应用余弦定理、正弦定理解决实际问题时，首先，要
根据题意建立数学模型——三角形；
其次，利用余弦定理、正弦定理来解三角形.
最后，根据问题的实际意义，对解三角形所得的结论
加以检验、取舍. 在运算过程中，应根据实际需要进行
由正弦定理得： BD
在
ADB
CD sin DCB 1500sin135

1500 2
sin DBC
sin 30
中，由余弦定理得 AB
2
2
2
2
AD 2 BD 2 2 AD BD cos ADB 1500 (1500 2) 2 1500 1500 2 cos135 (1500 5)
近似计算.
探究新知
核心知识点：一
距离问题
类型一：两点间不可到达的距离
此类型中，要求在△ABC中，边BC、AC
和∠ACB已知，可以利用余弦定理：
= + − ∙ ∙ ∠
求出A、B之间的距离。
探究新知
类型二：两点间可视不可到达的距离
如图，此类型中，点A与点B，点B与点C
角为65°，则山的高度为
到1 m)
m.(精确
重点探究
解：如图，过点D作DE//AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
∠ ×°