高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数

•
典例 1
)
(1)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，A 则z1·z2＝(
• A．4＋2i
B．2＋i
• C．2＋2i D．3
2
• (2)设复数z(2－3i)＝6＋4i(其中i是虚数单位)，则z的模为 ___．
• [思路分析] (1)利用乘法法则运算；
• (2)先求复数z，然后利用模长公式求解．
[解析] (1)z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i． (2)由 z(2－3i)＝6＋4i，得 z＝26－＋34ii＝62＋－43ii22＋＋33ii＝2i， ∴|z|＝2．
∴z＝1＋i，故选 A．
• 3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，B 则z＝( ) • A．2＋i B．2－i • C．1＋2i D．1－2i
[解析] 解法 1：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b)i，
由已知及复数相等的条件得，
a－2b＝4， 2a＋b＝3，
命题方向2 ⇨虚数单位的幂的周期性
•
典例 2 计算i＋i2＋i3＋…＋i2016＋i2018．
• [思路分析] 先计算i，i2，i3，i4的和，找出规律，再按照
规律求解．
• [解析] ∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，……
• ∴i＋i2＋i3＋i4＝0，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2018＝i2017＋i2018 ＝i－1．
解之得ab＝ ＝2－，1，
故选 B．
解法 2：z＝41＋ ＋32ii＝41＋ ＋32ii11－ －22ii＝10－5 5i＝2－i，选 B．
4．把复数
z
的共轭复数记作
z
，已知(1＋2i)
z
＝4＋3i，求
z
及
z z
．
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi，代入 z·－z i＋2＝2z 中得，(a＋
bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
2a＝2， a2＋b2＝2b，
∴ab＝＝11，.
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第三章
数系的扩充与复数的引入
3．2 复数代数形式的四则运算
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二 项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘 法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同 类项”，即得到乘法的结果．
• 〔跟踪练习2〕 • 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2017i2016
1．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数 m 等于( B )
A．1
B．－1
C． 2
D．－ 2
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i 是实数，m∈R， ∴由 a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b＝0， 得 m3＋1＝0，即 m＝－1．
2．已知－z 是 z 的共轭复数，若 z·－z i＋2＝2z，则 z＝( A )
『规律总结』 1．虚数单位 i 的周期性． (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n 也可以推广到整数集． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 2．常用结论： (1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(2)11＋－ii＝－i，11＋ －ii＝i； (3)1i ＝－i．
结合律 分配律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝_z_1_z2_＋__z_1z_3
3．共轭复数 已知 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)z1，z2 互为共轭复数的充要条件是___a_＝__c_且__b_＝__－__d____． (2)z1，z2 互为共轭虚数的充要条件是__a_＝__c_且__b_＝__－__d_≠_0___． 4．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0)．
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
a＋2b＝4， 2a－b＝3.
得 a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i．
∴
z z
＝22＋ －ii＝2－2i＋2i＋2 i＝3＋5 4i＝35＋45i．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数代数形式的乘除法运算
• 1．复数代数形式的乘法法则
• 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋ b(ia)c(－c＋bd)d＋i)(＝ad＋_b_c_)i_____________________．
• 2．复数乘法的运算律
• 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝_z_2·__z1_
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3．
[解析] (1)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i， 所以zz12＝－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限． (2)原式＝[(1＋i)2]3·11＋ －ii＋[(1－i)2]3·11－ ＋ii－83－3－4i41i＋i i3＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i) －8·2ii1＋i＝8＋8－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6－16i＝－16i．
• 『规律总结』 1．复数的乘法运算法则的记忆
• 复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行 ，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
• 2．复数的除法运算法则的记忆
• 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子 分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同 乘以i．
〔跟踪练习 1〕 如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，O→B，则复数zz12对应的 点位于( B )