第二十章曲线积分

第二十章 曲线积分
§1 第一曲线积分
一 物理背景：空间曲线型构件的质量。

二 定义 设L 是3
R 上可求连续曲线，端点为A 和B ，(,,)f x y z 在L 上有界，令
0,n A P B P ==，在L 上从A 到B 顺序插入分点121,,
,n P P P -，任取1(,,)i i i i i
P P ξηζ-∈，作和式
1
(,,)n
i
i
i
i
i f S ξηζ=∆∑，0
1
(,,)lim (,,)n
i i i i
i L
f x y z ds f S λ
ξηζ→==∆∑⎰，L 称为积分路径。

特别的，平面上
(,)L
f x y ds ⎰。

三 性质：线性；路径可加性；
四 计算方法：(,,)f x y z 在L 上连续，则它在L 上第一类曲线积分存在，且L 方程为
(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤其中(),(),()x t y t z t 具有连续偏导，且'(),'(),'()x t y t z t 不同时0，则L
可求长且
(,,)((),(),(L
f x y z ds f x t y t z t β
α
=⎰
⎰。

特别的，(),y y x a x b =≤≤
，
(,)(,(L
f x y ds f x y x β
α=⎰
⎰
例1
计算L
I =⎰，222:,L x y a y x +==和x 轴在第一
象限所围边界. OA
OB
AB
I =
++⎰⎰⎰
:,0OA y x x =≤≤
,0
1a a OA
e ==-⎰⎰
:cos ,sin ,04
AB x a y a π
θθθ==≤≤
,
404a a
AB
e ad ae π
π
θ==⎰⎰ :0,0OB y x a =≤≤,
1a
x a OB
e dx e ==-⎰⎰, 所以 2(1)4
a a I e ae π
=-+。

例2 非均匀金属线cos ,sin ,,01t t t x e t y e t z e t ===≤≤，每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在（1，0，1）处的线密度为1，求质量M . 解 2222(,,)2t
k k
x y z x y z e
ρ=
=++，由(1,0,1)1ρ=得2k =，所以2(,,)t x y z e ρ-=
11
210
(,,))t
t L
M x y z ds e
dt e dt e ρ---====-⎰⎰。

例3 求一均匀圆周(1)ρ=对位于沅新的单位质点的引力，a 为圆半径，G 为引力恒量。

解 (,)x y ∀处微元ds 对质点引力的垂直分量为
23
sin Gds Gyds
a a θ= 330sin 2L Gyds Ga G
F ad a a a
πθθ===⎰⎰
§2 第二类曲线积分
一 物理背景：变力做功 ||cos ||W F S F S α==
空间曲线弧AB ，(,,),x y z AB ∀∈经位移(,,)dr dx dy dz =，(,,)F P Q R =，功元素
dW Fdr =，AB
AB
W Fdr Pdx Qdy Rdz =
=++⎰⎰，若质点由A B →，则A B
B A
F d r
F d r
=-⎰⎰。

二 定义 设L 为定向可求长连续曲线：A B →，(cos ,cos ,cos )ταβγ=使它与L 的定向相一致，设(,,)(,,)(,,)(,,)f x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，则称
((,,)cos (,,)cos (,,)cos )L
L
f ds P x y z Q x y z R x y z ds ταβγ=++⎰
⎰为f 在L 上的第二类
曲线积分，记cos ,cos ,cos ds dx ds dy ds dz αβγ===，则L
I Pdx Qdy Rdz =++⎰。

特别的，若L 为xy 面上定向光滑曲线段，
[cos cos ][cos sin ]L
L
L
Pdx Qdy p Q ds p Q ds αβαα+=+=+⎰
⎰⎰，α为L 的切向量与x 轴
正向的夹角。

三 性质 1）方向性
L
L
f ds f ds ττ-=-⎰
⎰；2）线性； 3）路径可加性；
四 计算方法 设光滑曲线:(),(),(),L x x t y y t z z t t αβ===≤≤，则L
可求长的，且
ds =
，τ=
f Pi Qj Rk =++。

(cos cos cos )L
L
Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγ++=++⎰
⎰
[((),(),())'()((),(),())'()((),(),())'()]P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt β
α
=++⎰
特别的 若(),(),y y x z z x a x b ==≤≤，则
[(,(),())(,(),())'()(,(),())'()]b
L
a
pdx Qdy Rdz P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x dx
++=++⎰⎰若L 为xy 面上光滑曲线，(),(),x x t y y t t αβ==≤≤，则
(,)(,)[((),())'()((),())'()]L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt β
α
+=+⎰
⎰
若L 为xy 面上光滑曲线，(),y y x a x b =≤≤，则
(,)(,)[(,())(,())'()]b
L
a
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx +=+⎰
⎰
例1 计算
22L
y dx x dy +⎰
，L 为1）222x y a +=上半部分逆时针；2）(,0)(,0)
M R N R →-的直线段。

解 1）cos ,sin ,:0x R t y R t t π==→，
2222304
[sin (sin )cos (cos )]3
I R t R t R t R t dt R π=-+=-⎰。

2）()0,:,00R
R
y y x x R R I dx -==→-=
=⎰。

注：曲线积分与连接起始点的路经有关. 例2 计算222222()()()L
I y z dx z x dy x y dz =
-+-+-⎰
，L 为球面2221x y z ++=在第一
象限边界，从球面外面看为顺时针。

解 :0,cos ,sin ,:
02
AB x y t z t t π
===→
22
3320
2
4
[sin (sin )cos (cos )](sin cos )3
AB
t t t t dt t t dt π
π=--=+=
⎰
⎰⎰由对称性，可知4
3AB BC CA ===⎰⎰⎰，则4I =.
例3 求222C
I y dx z dy x dz =
++⎰
,C 是上半球面2222,0x y z a z ++=≥与锥面
22x y ax +=交线,从z 轴正向看逆时针方向.
解 锥面2
22
24a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，设cos ,
sin ,:02222
a a a
x y θθθπ-==
→，代入球面
sin
2
z a θ
==，则有
32322
sin 4sin cos (1cos )cos 8
22a I d π
θθθθθθ⎛⎫=
-+++ ⎪⎝
⎭⎰
，而cos θ关于θπ=为偶函
数，cos
2
θ
关于θπ=为奇函数，则
220
(1cos )cos 02
d π
θ
θθ+=⎰
，又
23
3
sin sin 0d d π
π
πθθθθ-==⎰
⎰，因此3
3
22
sin
cos 2
2
4
a a I d π
θ
πθθ=
=-
⎰。

例4 一质点在力(,)F x y yi xi =+的作用下,沿直线从原点(0,0)O 移动到抛物线21y x =-上一点(,)(0)P u v v ≥,分别求使得力F 所作的功W 为最大和最小时点P 的位置. 解 直线段OP 的参数方程: ,,[0,1]x ut y vt t ==∈, 所以
1
2OP
OP
W F ds ydx xdy uvtdt uv ==+==⎰⎰⎰. 又(,)P u v 是抛物线21y x =-上的点,则
23(1),[1,1]W u u u u u =-=-∈-.,
再由2'133
W u u =-⇒=±
,
而11||0,|
|u u u u W W W W =-===故W
在点23⎫⎪⎪⎝⎭取得最大值,
在点23⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
取得最小值
五 两类积分之间的互换
设AB 是光滑曲线(),[,]A B r r t t t t =∈，且A B t t <，'()
(cos ,cos ,cos )'()
r t r t ταβγ
==，其中'()r t 是切向量。

弧长'()ds r t dt ==，故'()d r r td t d s τ
==，
从而
(cos cos cos )AB
AB
AB
fdr f ds f P Q R ds ταβγ==++⎰
⎰
⎰
，若A B t t >，则
(cos cos cos )AB
BA
BA
fdr fdr f P Q R ds αβγ=-=-++⎰
⎰⎰
§3 第一类曲面积分
一 物理背景：空间中具有质量的曲面的总质量
二 定义：设曲面∑有界光滑（或分片光滑），函数(,,)u f x y z =在∑上有界，将曲面∑用
光滑曲面网分成n 片小曲面,1,2,i i n ∆∑=，面积为,1,2,i S i n ∆=，(,,)i i i i ξηζ∀∈∆∑，
1
(,,)lim (,,)n
i
i
i
i
i f x y z dS f S λ
ξηζ→=∑
=∆∑⎰⎰称为(,,)f x y z 在曲面∑上的第一类曲面积分
三 计算：:(,),(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v u v D ∑===∈映射一一对应，设(,,)f x y z 在曲面∑
上连续，则
(,,)((,),(,),(,D
f x y z dS f x u v y u v z u v ∑
=⎰⎰
⎰⎰
特别地，:(,),(,)z z x y x y D ∑=∈
，
(,,)(,,(,D
f x y z dS f x y z x y ∑
=⎰⎰
⎰⎰
例1
计算I ∑
=
，其中∑为椭球面2224441,,,0x y z a b c a b c ++=> 解 设 sin cos 02sin sin 0cos x a y b z c ϕθ
θπ
ϕθ
ϕπϕ=≤≤⎧⎪
=≤≤⎨⎪=⎩
，22(,)
sin cos (,)
(,)
sin sin (,)(,)
sin cos (,)
y z bc z x ac x y ab ϕθϕθϕθϕθϕϕϕθ∂=∂∂=∂∂=∂
2
2
2
2(,)(,)(,)(,)(,)(,)y z z x x y EG F ϕθϕθϕθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∂∂∂-=++ ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222222
2
222
cos sin sin sin cos ()sin abc a b c θϕθϕϕϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
则22241113I abc a b c π∑⎛⎫
=
=++ ⎪⎝⎭
例2 设2
2
2
z x y =+上具有均匀单位面密度，被,(0)z a z b a b ==<<所截部分为∑，求∑对位于原点处具有单位质量的质点的引力。

解 (,,)x y z F F F F =，由对称性0x y F F ==
，22222212cos z ds ds dF G G x y z x y z
γ⋅==++++
z D F G ∑==⎰⎰⎰⎰22ln 2()D
dxdy b
G G x y a π==+⎰⎰ 例3
计算曲面积分I ∑
=
，∑是原点为中心，R 为半径的球面。

解
关于0z =
也对称，故2
I ∑=上
∑上
：z ds ===
222
20
22R
x y R I R
dxdy R d πθ+≤==⎰⎰
⎰⎰
23R π=
（二）∑用球坐标表示，即sin cos ,sin sin ,cos x R y R z R ϕθϕθϕ===，
0,02ϕπθπ≤≤≤≤，(sin cos ,sin sin ,cos )r R ϕθϕθϕ=，
2||sin dS r r d d R d d ϕθϕθϕϕθ=⨯=
sin R ϕ=，则232230
sin I d R d R ππ
ϕϕθπ==⎰⎰
§4 第二类曲面积分
一 曲面的侧 设∑是光滑曲面，P ∀∈∑，P Γ是过P 点且不越过曲面边界的任意一条闭曲线 ，若P Γ连续转动，所过之处的一个单位法向量连续的相合，再回到P 点，法向量指向与原选的方向相同，则为双向曲面（单侧：Mobius 带）
二 物理背景 设不可压缩流体(1)ρ=在(,,)x y z 处流速v Pi Qj Rk =++，与时间无关，计算单位时间内过定向曲面∑的流量。

简解 ()i i S ∑→∆∑∆，(,,)i i i i i M ξηζ∀∈∆∑在这点流速为(,,)|i i i i v Pi Qj Rk ξηζ=++，记
曲面∑在i M 点单位法向量为cos cos cos i i i i n i j k αβγ=++，单位时间内流过i ∆∑的流量为i i i v n S ⋅∆(cos cos cos )i i i i P Q R S αβγ=++∆，
()0
lim lim(cos cos cos )cos cos cos i i i i i i i v n S P Q R S P Q R dS
λλαβγαβγ→→∑
Φ=⋅∆=++∆=++⎰⎰三 定义 设∑定向光滑曲面，上面每一点指定了单位法向量(cos ,cos ,cos )n αβγ=，若
(,,)(,,)f x y z P Q R =是∑上向量值函数，定义第二类曲面积分
()cos cos cos f ndS P Q R dS αβγ∑
∑
⋅=++⎰⎰⎰⎰
性质：
f ndS f ndS -∑
∑
⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰（两个n 方向相反）
；线性，曲面可加性 注 在∑上(,,)x y z ∀处作,dS ndS =记dS 在xoy 面上投影面积为d σ，
dS 在平面上的有向
投影面积为cos 0
cos 00cos 0d d dxdy d d d σγσ
γγ∑>⎧⎪
=-∑<⎨⎪∑=⎩
上上上，即cos cos cos dxdy dS dydz dS dzdx dS γαβ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以第二类曲面积分可写为
f dS Pdydz Qdxdz Rdxdy ∑
∑
⋅=++⎰⎰⎰⎰
四 计算：设:(,),(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v u v D ∑===∈,,P Q R 为∑上连续函数，
(,)(,)(,)(cos ,cos ,cos ),,(,)(,)(,)y z z x x y u v u v u v αβγ⎫
∂∂∂=⎪
∂∂∂⎭
，dS = 则
Pdydz Qdxdz Rdxdy ∑
++⎰⎰()cos cos cos P Q R dS αβγ∑
=++⎰⎰
(,)(,)(,)((,),(,),(,))(,)(,)(,)D y z z x x y P x u v y u v z u v Q R u v u v u v ⎡⎤
∂∂∂=±++⎢⎥∂∂∂⎣
⎦⎰⎰ 特别地，定向光滑曲面:(,),(,)xy z z x y x y D ∑=∈，(,,)R x y z 为连续函数，则
(,,)(,,(,))xy
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑
=±⎰⎰⎰⎰，同理得到其他结论
例1 计算(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
+++++⎰⎰，∑为1,0,x y z x ++==0,y =
解 1:0,01,01z y x x ∑=≤≤-≤≤，
11
(1)2xy D z dxdy dxdy ∑+=-=-⎰⎰⎰⎰，同理，2312∑∑==-⎰⎰⎰⎰ 4:1,01,01z x y y x x ∑=--≤≤-≤≤
4
2
(1)(2)3
xy
D z dxdy x y dxdy ∑+=--=
⎰⎰⎰⎰， 同理
4
4
2
(1)(1)3
x dydz y dxdz ∑∑+=+=
⎰⎰⎰⎰12I ⇒=
例2 计算 3
3
3
x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰，∑为上半椭圆面222
2221(0)x y z z a b c ++=≥上侧
解 sin cos ,sin sin ,cos ,0,02
x a y b z c π
ϕθϕθϕθπϕ===≤≤≤≤
，
2(,)sin cos (,)y z bc ϕθϕθ∂=∂，2(,)sin sin (,)z x ac ϕθϕθ∂=∂，(,)
sin cos (,)
x y ab ϕθϕθ∂=∂
则 2222
()5
I abc a b c π=
++ 例3
计算
2
()z x dydz ∑
+⎰⎰，∑为抛物线221()2z x y =+在平面0,2z z ==之间部分，取下侧。

解 由cos ,cos dydz dS dxdy dS αβ==
，cos cos αγ=
=
知
22
cos ()()cos z x dydz z x dxdy α
β
∑
∑
+=+⎰⎰
⎰⎰(2()()z x x dxdy ∑=+-+
⎰⎰2221()()4D x y x x ⎛⎫
=-++- ⎪⎝
⎭⎰⎰
22
522001(cos cos 4d r r rdr π
θθθ=--⎰
⎰(4π= §5 Green 公式
一 定义：单连通，正向曲线，简单曲线
二 Green 公式：设C 是闭曲线（光滑或分段光滑）按正向，所围区域D ，(,),(,)
P x y Q x y 在D 上连续可微时有
C D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫
∂∂+=- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰ 注：N-L 公式：
'()()()b
a
f x dx f b f a =-⎰
设()f x 在[,]a b 上可导，[,][0,1]D a b =⨯，在Green 公式中取
0,()'()()D
C
p Q f x f x dxdy f x dy ==⇒=
⎰⎰⎰，由累次积分，左为'()b
a
f x dx ⎰，
右为=
()()()()AB
BC
CD DA
BC
DA
f x dy f x dy +++=+=
⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
100
1
()()()()f b dy f a dy f b f a +=-⎰⎰
证：设{}{}1212(,)|()(),(,)|()(),D x y y x y y x a x b x y x y x x y c y d =≤≤≤≤=≤≤≤≤
21()21()[(,())(,())]b y x b a y x a D
P
P dxdy dx dy P x y x P x y x dx y y ∂∂==-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰(,)D P x y dx ∂=-⎰ 同理
(,)D D
Q
dxdy Q x y dy x ∂∂=∂⎰⎰⎰，两式相加即可。

结果可推广到一般区域和复连通区域。

注：可用Green 公式求区域面积: 令,P y Q x =-=，1
2
D D
S dxdy xdy ydx ∂=
=
-⎰⎰⎰ 例1 求22
221(,0)x y a b a b +=>所围面积：cos ,sin ,0x a y b θθθπ==≤≤
解 222
11(cos sin )22D S xdy ydx ab ab d ab πθθθπ∂=-=+=⎰⎰
例2
计算[ln(I y xy x dy =
+++⎰
，其中L 为sin ,0y x x π
=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围区域正向边界。

解 sin 22
0049x D D Q P I y dxdy dx y dy x y π⎛⎫∂∂=-=== ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3 计算(sin )(cos )x x L
I e y my dx e y m dy =
-+-⎰
，其中L 为圆
222()(0)x a y a a -+=>上半圆周，方向从(2,0)(0,0)A a O →。

补充：:()OA O A →， ()2cos (cos )2x
x
L OA D D
m a e y e y m dxdy m dxdy π+=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
:0,:02OA y x a =→，20
000OA
dx π
=+=⎰⎰
，则2
2
L m a I π==
⎰ §4 Gauss 公式
定理1 设Ω上3
R 中光滑（分片光滑）封闭曲面围成的二维单连通，,,P Q R 在Ω上连续偏导，
D
P Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∂⎛⎫
∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，D ∂外侧—诱导定向 证：{}
12(,,)|(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y Ω=≤≤∈Ω
{}12(,,)|(,)(,),(,)xz x y z y x z y y x z x z =≤≤∈Ω
{}12(,,)|(,)(,),(,)yz x y z x y z x x y z y z =≤≤∈Ω
11:(,),(,)xy z z x y x y ∑=∈Ω，22:(,),(,)xy z z x y x y ∑=∈Ω，1∑下侧，2∑上侧。

21(,)(,)xy
z x y z x y R
R dxdydz dxdy dz z z ΩΩ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
1
[(,,(,))(,,(,))]xy
R x y z x y R x y z x y dxdy Ω-⎰⎰
2
1
(,,)(,,)(,,)D
R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑∂=
+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 同理可证其他。

注：1
3D
D
D
D
V dxdydz xdydz zdydx ydxdz xdydz ydxdz zdydx Ω
∂∂∂∂=
====
++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例4 计算椭球面222
2221x y z a b c
++=所围立体。

解 sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===，0,02ϕπθπ≤≤≤≤，
2,,4
cos sin cos 3V zdxdy c d d abc d d abc θϕϕθ
ϕϕθϕϕϕθπ∂Ω====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
例5 设某种流体的速度v xi yj zk =++，求单位时间内流体流过曲面
222:(0)y x z y h ∑=+≤≤流量，其中∑取右侧。

解 流量的计算公式：v nds xdydz ydxdz zdxdy ∑
∑
Φ=
⋅=++⎰⎰⎰⎰
∑不封闭，添加2222:,y h x z h σ=+≤，σ∑+封闭，σ取右侧。

2
2
2
222
4
333
2
h x z
x z h dxdydz dzdx dy h σπ+∑
Ω+≤+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222
24x z h ydzdx h dzdx h σ
σ
π+≤==
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
，则444322
h h h πππΦ=
-= §5 Stokes 公式
定理2 ∑光滑曲面，∂∑分段光滑曲线，,,P Q R 在∑及边界上有连续偏导，则
R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dxdz dxdy y z z x x x ∂∑∑⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫
++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎰⎰⎰ dydz dzdx dxdy
x y z P Q R
∑
∂∂∂
=
∂∂∂⎰⎰
证：{}
{}(,,)|(,),(,)(,,)|(,),(,)xy zx x y z z z x y x y x y z y y z x z x ∑==∈∑==∈∑
{}
(,,)|(,),(,)yz x y z
x x y z y z ==∈∑，设∑定向为上侧，则 (,,(,))(,,(,))xy
xy
Pdx P x y z x y dx P x y z x y dxdy y ∂∑
∂∑∑∂
==-∂⎰
⎰
⎰⎰
（Green 公式）
(,,(,))(,,(,))xy P P z x y z x y x y z x y dxdy y z y ∑⎡⎤∂∂∂=+⋅⎢⎥∂∂∂⎣
⎦⎰⎰ 因为曲面取上侧，则(
),,1cos ,cos ,cos z z αβγ⎛⎫∂∂-- ⎪=，cos cos z y βα
∂=-∂ 上式为
cos P P z P P z dxdy dS y z y y z y γ∑∑⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂+=+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣
⎦⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos P P dS dS y z βγγγ∑∑∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰ P P dxdy dxdz y z ∑∑
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰ 例1 计算dz y x dy x z dx z y I L )()()(222222-+-+-=⎰，L 为1=++z y x 被三个坐标
面所截边界，从x 轴正向看逆时针。

解 2
3,31
cos cos cos ====∑S γβα ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=2
22222cos cos cos y x x z z y z y x I γβαdS ⎰⎰⎰⎰∑∑
-=++-=+++++-=2)(34]cos )(cos )(cos )[(2dS z y x dS x y z x z y γβα 例2 计算dz y x dy x z dx z y I L )()()(222222+++++=⎰，L 为上半球面
)0(2222≥=++z Rx z y x 与圆柱面)0(222>>=+r R rx y x 的交线，
从z 轴正向看逆时针。

解 取球面R z R y R R x ==-=
∑γβαcos ,cos ,cos : dS y x x z z y I ⎰⎰⎰∑∂∑
-+-+-==]cos )(cos )(cos )[(2γβα=)(2⎰⎰⎰⎰∑∑-ydS zdS R r dxdy z R z zdS r y r x 2)(222
22π==
=⎰⎰⎰⎰∑≤+-。