数学认识实验-四川工程职业技术学院

Y
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
X
2
4
6
-1
课题五、对导数的认识
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二、函数
2
f (x)(1x)x3
在x=0处可导吗？(作图分析)
（直观可见，不可导的点常常为“尖点”，可导的点叫“驻 点”.）
1 0.75
0.5 0.25
-1.5 -1 -0.5 -0.25 -0.5
0.5
1
1.5
2
课题六、 f, f, f图形的关系
若有如下一组实测数据：
x 0 0.2 0.3 0.52 0.64 0.71 1.0 y 0.3 0.45 0.47 0.50 0.38 0.33 0.24
试用某种函数（例如一元二次函数）对之进行拟合。 目的：学会用Mathematica对数据进行拟合处理，并能针对拟合 结果的图形显示分析拟合函数的优劣。
课题一、函数作图
二、指数函数与对数函数 yex,ylnx
Y
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4
2
-3
-2
-1
-2
X
1
2
3
课题一、函数作图
二、多项式函数 yx32x2x1
1.3 1.2 1.1
-2
三、分式函数 y 1
1 x
-6
-1 0.9
0.8
7.5 5
2.5
-4
-2
-2.5
-5
-7.5
1
2
2
4
6
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课题二、函数增长性比较
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❖ 问题：①对指数增长的认识，“一张纸对折50次，其厚度大 约是多少？”
②作 y 2 x ,y x 2 ,y 2 x,y lo 2x图g像，作增长性比较：谁的增长 更快，谁占支配地位？
❖ 目的：对各类函数的变化有直观的认识。
图形比较
Y
8
6
4
2
-3
-2
-1
-2
X
1
2
3
-4
课题三、参数对图形的影响
课题九、对定积分定义的认识
三、步长为0.05的分割图像
2 sin xdx 0
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Y 1 0.8
0.6 0.4
0.2 X
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
课题十、数据拟合
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问题：在做数据处理时人们常想的一件事就是希望用一个函数 反映客观的数据，这叫做数据拟合。做这种拟合一般是企图发 现数据中的某种规律性，找出这种规律性的一种表达式表示。 或者为了从实测数据得到有关数学模型的参数。
Y
8
6 4
2
-2
-1
-2
X
1
2
3
-4
Y 4
2
-2
-1
-2
X
1
2
课题三、参数对图形的影响
二、幂函数簇： y ax
(1)幂函数 yx1,yx,yx2
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Y 10
5
-2
-1
-5
X
1
2
(2)幂函数 yx2,y2x2,yx2
-10
Y
2
1
-2
-1
-1
X
1
2
课题三、参数对图形的影响
Fra Baidu bibliotek
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三、指数函数簇：yp0ax(p0为初值 a为 ，增长因子）
Y 2.7 2.65 2.6 2.55 2.5 2.45
X
200
400
600
800
1000
课题五、对导数的认识
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问题：导数究竟是什么？其发明者牛顿在其巨著《自然哲学 的数学原理》一书中写道：“消失量的最终化，严格地说， 不是最后量之比，而是这些量无限减小时，它们之比所趋近 的极限。”（这里消失量的最终化指的就是导数） 目的：加深对导数的认识。 一、y=sinx在x=0处可导吗？(作函数与导函数图像)
课题十、数据拟合
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预备知识：本实验可能用到Mathematica函数提示如下：
(1)拟合函数 Fit [数据表，基函数表，变量表] (2)画数据点图 ListPlot [数据表] (3)一维作图函数 Plot [表达式，{变量，上限，下限}，可选项] (4)图形输出结果查看函数 Show [%输出序号]
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❖ 问题：从图像上，导数告诉了我们什么？对幂、指、对等基 本初等函数，作出其 f, f, f 图像，分析这些图像，能得出 一些什么结论。
❖ 目的：分析研究一个函数的 f, f, f 之间的关系 一、函数 f(x ) x 3 ,f(x ) 3 x 2 ,f(x ) 6 x图像
Y
6
4
2
-2
-1
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❖ 问题：我们常常选择了一个函数族来代表一种已知理论的基 本情形，再用数据确定出参数的具体值。那些具有共同主要 特性的函数族对于数学建模特别有用。
❖ 目的：重视参数问题，学习由函数族求函数的方法。
一、线性函数簇：y mxb (m,b为参数)
直线 y 2 x 1 ,y 2 x 1 ,y 2 x 3 y x 1 ,y 2 x 1 ,y x 1
-1
X
1
1.5
Y 4
2
-1 -2
X
1
2
3
-4
课题八、函数的极值
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❖ 问题：以函数 f(x)(x53x22)exx为例，画出函数的草图，观 察其极值的大概位置，寻找求一元函数极值的方法。
❖ 目的：对极限问题以直观体会，并熟悉用导数求函数极值 。 一、作图像 f(x) （ x53 x22 )exx
观分析
一、函数 f(x)x4,f(x)4x3
Y
0.4 0.3 0.2 0.1
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.1
-0.2
X
1
1.5
课题七、函数及其导函数的奇偶性
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二、函数 f(x)x3,f(x)3x2 三、函数 f(x)ex,f(x) ex
Y 1.5
1 0.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-2
X
1
2
课题六、 f, f, f图形的关系
二、函数 f(x)lnx,f(x)1的图像
Y
x
20
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-1.5
-1
-0.5
-20
X
0.5
1
1.5
2
三、函数 f(x)2x,f(x)2xln 2
-40
Y 4
3
2
1
-2
-1
X
1
2
课题七、函数及其导函数的奇偶性
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❖ 问题：作图直观分析奇偶函数的导函数的奇偶性 。 ❖ 目的：函数及其导函数的奇偶性可以一般证明，这里是作直
目的：直观上加深对定积分的认识 。
一、步长为0.2的分割图像
Y 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
X 1 1.2 1.4
课题九、对定积分定义的认识
二、步长为0.1的分割图像
2 sin xdx 0
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Y 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.25 0.5 0.75
X 1 1.25 1.5
(1)指数函数 y2x,y3x,y4x
Y
8
6
4
(2)指数函数 yex,y3ex,y ex
Y
10
2
-2
-1
X
1
2
5
-2
-1
-5
X
1
2
课题三、参数对图形的影响
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四、三角函数簇：yAsik n x(b)
(1)正弦曲线 y si x ,y n 2 si x ,y n 3 si xn
Y 3
2
1
-6
-4
-2
-1
X
2
4
6
-2
-3
(2)正弦曲线 ysixn ,ysi2n x
Y 1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
X
2
4
6
-1
课题三、参数对图形的影响
(3)正弦曲线 ys（ in x） ,ys（ in x）
2
6
Y 1
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0.5
-6
-4
-2
-0.5
2
4
X 6
-1
课题四、重要极限数值计算
问题：数值计算： ❖
lim sin x1, lim (11)xe
x 0 x
x x
❖ 目的：通过数值计算来观察图像变化趋势。
一、重要结论：
lim sin x 1
Y
x0 x
-1
-0.5
0.5
0.975
0.95
0.925
0.9
0.875
0.85
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X 1
课题四、重要极限数值计算
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二、重要结论：
lim(11)x e x x
实验内容及要求：
要求对给定的数据用Fit函数对其进行拟合，并利用 Mathematica的图形处理功能观察拟合的效果。
课题十、数据拟合
画数据点：
数据连线：
0.5 0.45
0.4 0.35
0.25
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0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5 0.45
0.4 0.35
0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
谢谢聆听
5 4 3 2 1
-2
-1
-1
1
2
课题八、函数的极值
二、作图像：f (x) 250x02601
x
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40000 20000
-1.5
-1
-0.5
-20000
-40000
0.5
1
1.5
课题九、对定积分定义的认识
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问题：以
2 sin xdx 0
为例，从图形上来观察随着分割点
的增多，积分和是否越来越接近定积分的值。