【数学】福建省泉州市惠安惠南中学高三上学期第二次月考试题(理)

福建省惠安惠南中学高三上学期第二次月考
数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ={183|2
--x x x <0}，B ={1
2|-x x >1},则 =B A ( )
A. (1,3)
B.(1,6)
C.(2,3)
D.(2,6) 2.已知复数z 满足
i i
zi
2111+=
-+，则其共轭复数z 的虚部为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设向量)2
1,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是( ) A.a//b B.(a+b)丄b C.(a-b)丄b D.|a-b|=|b| 4.函数2
|
|ln ||)(x
x x x f =
的图像大致为( )
5.“2=
a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.8
B. 24
C.16
D.48 7.设2ln 2
1,)1(43,3102
2
1=-=
=⎰-c dx x b a ,则（ ） A. a <b <c B. b <a <c C.c <a <b
D.c <b <a
8.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）
A
1 B
C
1
+
D ．0 9.过双曲线C :122
22=-b
y a x (a >b >0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为坐
标原点，若△OEF 的面积为1，其外接圆面积为
4
5π
，则C 的离心率为（ ） A.
25
B.3
C.2
D.5
10.将函数)2
<|)(|cos()(π
ϕϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），
再把得到的图像向左平移6
π
个单位长度，所得函数图像关于2
π
=
x 对称，则ϕ=( ) A.125π-
B.3π-
C. 3
π D. 125π 11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为( )
A.π68
B.π36
C.π332
D.π664
12.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-=0＞,12
10
,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为( )
A .12lg 2-
B .2lg 2-
C .2lg 1+
D . 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知: y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则y x z -=2
的最小值为 .
14.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1031531=++a a a ,则9S 的值为 .
15.抛物线py x 22
= (p >0)上纵坐标为4的点A 到其焦点F 的距离为5,则点A 到原点的距离为 .
16.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[,3]e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b . （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1
{n S 的前n 项和为n T ，求证：4
3<n T .
18. （本小题满分12分）
已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且a =
sin sin sin B A b c
C a b
--=+.
（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，
60PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .
（1）求证：AD PC ⊥；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>.
（1）若椭圆的离心率为
1
2
，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点(,0)P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为b
a
的直线l 交椭圆C 于A ，B
两点，试判断2
2
PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.
21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x ax =-. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()()x
g x x k e k =-+，k Z ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.当1a =时，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式21()5()0g x f x ->成立，求k 的最大值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在直角坐标系中，直线l 过点)2,1(P ，且倾斜角为α，)2
,
0(π
α∈.以直角坐标系的原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12)sin 3(2
2
=+θρ.
（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交与N M ,两点，当2||||=⋅PN PM ，求α的值.
23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数
()221f x x x =+--，∈x R .
（1）求()1f x ≤的解集；
（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.B
2.D
3.B
4.A
5.A
6.C
7.D
8.C
9.A 10.B 11.B 12.C
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.14. 18 15. 16.
三、解答题：共70分
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由和得，所以，
设等比数列的公比为q，，，
解得．（舍去），
即．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，易知为等差数列，,则，
，
．……12分
18. （本小题满分12分）
解：（1）由及正弦定理得，
所以，……6分
（2），，所以，……7分
，……10分为锐角三角形，的范围为，则，……11分
∴的取值范围是，∴.……12分
19. （本小题满分12分）
（1）证明：连接，
∵，，是公共边，
∴，
∴，
∵，∴，……2分
又平面，平面，，……3分
∴平面，……4分
又平面，
∴.……5分
（2）解：由平面，平面平面，
所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，，
所以，，，……7分
则，，，，，. 设平面的法向量为，
则，即，令，则，……9分
又平面的一个法向量为，……10分
设二面角所成的平面角为，
则，……11分
显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.……12分
20. （本小题满分12分）
解:（1），即，，……1分
不妨令椭圆方程为，……2分
当时，，得出，……3分
所以椭圆的方程为.……4分
（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，……5分
联立方程得，
即
，
∴，，……8分
∴
为定值. ……12分
21.（本小题满分12分） 解:（1）对函数求导得，……1分
令，得，
当时，，此时函数单调递减； 当时，
，此时函数
单调递增，……3分 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是
.……4分
（2）当
时，由（1）可知，……5分 ，
，不等式
成立等价于当
时，
恒成立，
即对恒成立，……6分
因为时，
所以对恒成立，
即对恒成立，……7分
设，
则，……8分
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递增，
而，，
所以，
所以存在唯一的，使得，即，……10分当时，，，所以函数单调递减；
当时，，，所以函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，
因为，
又，且，
所以的最大整数值是.……12分
22.（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)直线的参数方程为. ……2分
曲线的直角坐标方程为，即，……4分
所以曲线是焦点在轴上的椭圆. ……5分
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为
得，……7分
，……8分
得，……9分
，……10分
23. （本小题满分10分）
解:（1），
若，
可得.……5分
（2）结合图象易得.……10分。