2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题解析

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2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．设集合{
}
2
230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个
答案：C
解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 解：
由{}{}
{}2
230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元
素，
因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 点评：
本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．
2．已知i 是虚数单位，则化简2020
11i i +⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
的结果为（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
答案：D 计算出11i
i i
+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 解：
()()()2
1121112i i i i i i i ++===--+Q ，又41i =，()2020
505
20204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭
. 故选：D. 点评：
本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()n
i n N *
∈的周期性的应用，
考查计算能力，属于基础题.
3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为
（ ）
A ．4500元
B ．5000元
C ．5500元
D ．6000元
答案：B
根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果. 解：
刚退休时就医费用为400015%600⨯=元，现在的就医费用为600100500-=元，占退休金的10%，
因此，目前该教师的月退休金为500
50000.1
=元. 故选：B ． 点评：
本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．
4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27
B ．
37
C ．
17
D ．
314
答案：B
分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：
①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；
②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2
510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2
510C =种方法．
所以满足条件的概率为254833
7
C C =，
故选：B ． 点评：
本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．
5．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点F
和抛物线上一点(M 的直线l 交抛
物线于另一点N ，则:NF NM
等于（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D
．答案：C
求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM
的值.
解：
抛物线的焦点为()1,0F
，所以31
FM k =
=-
由)
241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213
x =，2121113214323
p
x FN MN x x p ++
∴===++++，
故选：C ． 点评：
本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）
A
．
10
B
．
20
C
．
20
D
．
10
答案：C
设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计
算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.
解：
设正三棱柱111
ABC A B C
-的所有边长均为2，取
11
A C的中点F，连接EF，
以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则点()
1,0,0
A-、()3,0
B、()
1,0,1
D、()
0,0,0
E、()
1
3,2
B，()
1,0,1
ED=
u u u r
，()
1
3,2
EB=
u u u r
，()3,0
AB=
u u u r
，
设平面1B DE的法向量为()
,,
n x y z
=
r
，
由
1
n ED
n EB
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u v
v
u u u v
v，得
320
x z
z
+=
⎧⎪
+=
，取3
z=3
x=2
y=，
3,2,3
n
∴=-
r
，
设直线AB与平面1B DE所成角为θ，
则
33330
sin cos,
210
AB n
AB n
AB n
θ
⋅
=<>===
⨯
⋅
u u u r r
u u u r r
u u u r r，则
2
130
cos1sin
θθ
=-=
故选：C.
点评：
本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．
7．已知点()4,3A ，点B
为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，
则AB 的最小值为（ ）
A ．5
B ．
45
C ．5
D ．
25
答案：C
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 解：
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩
，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=故选：C ． 点评：
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
8．给出下列说法：
①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；
②“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，001
2x x +
≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x
+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
答案：D
根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判
断③的正误.综合可得出结论. 解：
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线4
2
a x +=
， 该函数为偶函数，则
4
02
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4
x k k Z π
π=+∈，
所以，tan 14
x x π
=⇒=，tan 14
x x π
=
⇐=/，
则“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 点评：
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
9．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.5
2c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
答案：A
由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 解：
log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，
0.54331
log 2log log 2122
=
=<<<Q ， 又指数函数x
y m =为R 上的增函数，故0.5
34log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 点评：
本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．
10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．
266
127
两 C ．
266
63
两 D ．
250
127
两 答案：B
先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 解：
共有银161610266⨯+=两，
设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有
()71226612
a -=-，所以266
127
a =
， 故选：B ． 点评：
本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．
11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3
c a B b A -=
，
则
cos cos cos a B
a A
b B
+的最大值为（ ）
A
B
．
2
C
．
2
D
．
3
答案：B
利用边角互化思想结合等式cos cos 3
c
a B
b A -=
可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1
cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A
=
++
，利用基本不等式可求得所求代数式的最
大值. 解：
cos cos 3
c
a B
b A -=Q ，
()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即
tan 2tan A B =，
A ∴、
B 均为锐角且
cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A B
a A
b B A A B B
=
+
+1cos sin 2cos sin A B
B A
=
===
+
， 故选：B ． 点评：
本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．
12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()
3log 31x
f x
g x +=+，不等式
()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）
A ．1
B ．332log 2-
C ．2
D ．
33
log 212
- 答案：B
根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30g
x f x t --≥得出()
3
3
23
1log
3x
x
t +≤，换元30x
p =>，利用导。