全国高等院校数学能力挑战赛试题

全国高等院校数学能力挑战赛试题
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 在实数范围内分解因式：x4 - 1 = ________。

2. 在数列｛an｝中，已知a1 = 2，an + 1 = 2an - 2n，则a1 + a2 + ... + a20 = ______。

3. 如果一个平面图形中有不重合的几条对称轴，那么这个图形一定是________。

4. 已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则αl = ________。

二、填空题（每题6分，共30分）
5. 求曲线y = x3在点(1, 1)处的切线方程。

6. 已知数列｛an｝的通项公式为an = 2n - 3，则其前n项和Sn的最小值为______。

7. 若一正数x满足：4x - 2/x = 6，则x + x3 + ... + x20的值是______。

8. 在极坐标系中，若扇形的极径为ρ= π，圆心角为θ= π/3，则扇形的弧长为______。

三、解答题（每题16分，共24分）
9. 求下列函数的导数：y = xsinx/cosx。

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10. 证明：若数列｛an｝满足a1 = 1，且对任意n≥2的整数，都有an + a(n+1) - a(n-1) = k成立，则数列｛an｝是等差数列。

```
答案：
一、选择题：1. (x + 1)(x2 - 1)；2. a1 + a2 + ... + a20 = 2 + (22 - 2) + ... + (22 - 2n) = (n2 - n) + 2；3. 等轴曲线；4. αr2。

二、填空题：5. y = x2 + 2x - 1；6. -7；7. x3；8. π/3。

三、解答题：9. y' = (xcosx - xsinx) / cos2x；10. 由已知得a(n+1) - a(n-1) = k = a(n+1) - an + a(n-1)，所以{an}是等差数列。

注意：以上答案仅供参考，实际考试中需要根据实际情况和参考答案进行判断。

题目中未提及的细节可能需要考生自行查阅相关资料或询问教师。