贵池区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

贵池区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数y=x 3与y=
（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）
2． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如
由2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 3． 已知双曲线和离心率为4
sin
π
的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 2
1
cos 21=
∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．27
4． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
5． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 7． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x
B x x R =≤∈，则集合U A
C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
9． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
10．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．14101
二、填空题
11．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
12．设,x y 满足条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．
13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数
（为自然对数的底数），若
，则实数 的取值范围为______．
14．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1，4），D （5，0），则直线l 的方程为 ．
15．已知,a b 为常数，若()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________. 16．函数
的定义域为 ．
三、解答题
17．已知A （﹣3，0），B （3，0），C （x 0，y 0）是圆M 上的三个不同的点． （1）若x 0=﹣4，y 0=1，求圆M 的方程；
（2）若点C 是以AB 为直径的圆M 上的任意一点，直线x=3交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ．判断直线CD 与圆M 的位置关系，并证明你的结论．
18．（本小题满分12分）1111]
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=+≠∈R ，．
（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．
19．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（
,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
20．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
21．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的
分数差至少是4的概率.
贵池区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：令f （x ）=x 3
﹣
，
∵f ′（x ）=3x 2
﹣ln =3x 2+ln2＞0，
∴f （x ）=x 3
﹣
在R 上单调递增；
又f （1）=1﹣=＞0， f （0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f （x ）=x 3
﹣
的零点在（0，1），
∵函数y=x 3与y=（）x
的图象的交点为（x 0，y 0），
∴x 0所在的区间是（0，1）． 故答案为：A ．
2． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 3． 【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设
n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又2
1
c os 21=
∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2
221234a a c +=∴，432
221=+
∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则432
2122=+e
）（，解得2
6
=e .故答案选C ．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，
接着用余弦定理表示2
1
cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2
c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 4． 【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a ＝18，选D.
法二：a ＝6 102，b ＝2 016，r ＝54， a ＝2 016，b ＝54，r ＝18， a ＝54，b ＝18，r ＝0. ∴输出a ＝18，故选D. 5． 【答案】A
【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2
=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A ．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
6． 【答案】C 【解析】
考
点：等差数列的通项公式． 7． 【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：
所以m 可以取：0，1，2． 故答案为：C 8． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
9． 【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），
其底面面积S=2×2+=4+
，
底面周长C=2×3+
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，
故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
10．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +
），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，
∴
，可得a n+1=a n ﹣1，
因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题
11．【答案】﹣2
≤a ≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2
﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a 2
﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
12．【答案】[1,)+∞
【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点A 处
取得最大值，综上所述，1a ≥．
13．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性
去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与
的取值应在外层函数的定义域内
14．【答案】
．
【解析】解：∵直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点（3，2），
故斜率为
=，
∴由斜截式可得直线l 的方程为，
故答案为
．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
15．【答案】 【解析】
试题分析：由()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得2
2
()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
O
x
y
A
1
l 2
l 3
l 4l
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键. 16．【答案】 [﹣2，1）∪（1，2] ．
【解析】
解：要使函数有意义，需满足，解得：﹣2≤x ≤2且x ≠1，
所以函数的定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]． 故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）设圆的方程为x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x 2+y 2
﹣8y ﹣9=0…
（2）直线CD 与圆M 相切O 、D 分别是AB 、BR 的中点 则OD ∥AR ，∴∠CAB=∠DOB ，∠ACO=∠COD ， 又∠CAO=∠ACO ，∴∠DOB=∠COD 又OC=OB ，所以△BOD ≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC ⊥CD ，则直线CD 与圆M 相切． … （其他方法亦可）
18．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；
（2）()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭，，．
【解析】
试题分析：（1）由1a =⇒()2
2111
'x f x x x x -=-
+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当1
0x a
=<，
即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
①
若1
e a
≤
，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，
成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减， 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=+=+>，
显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立． ②若10e <<，即1
a >时，则有
所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，
，
综上，由①②可知，()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭，，符合题意．……………………………………12分
考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 19．【答案】（1）
（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为
在区间
上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函
数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a 的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x 轴上的截距，最后根据a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又
，所以
在区间
上恒成立，
记，只需， 即，解得．
（2）由，得
，
①当时，有
；
，
所以函数在单调递增，
单调递减，
所以函数在取得极大值
，没有极小值．
②当时，有
；
，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数在
取得极小值，没有极大值． 综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值； 当
时，函数
在
取得极小值
，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，
当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
20．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．
设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
22．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242
=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1. 【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）
（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙x 524
])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
∵85
24
<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．。