河北省衡水中学高二数学上学期四调考试试题理

2016-2017学年度上学期高二年级四调考试
理数试卷
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

0121834521C C C C ++++…的值等于（ ）
A ．7351
B ．7355
C ．7513
D ．7315
2。

已知椭圆2241mx y +=的离心率为22,则实数m 等于（ ） A ．2 B ．2或83 C ．2或6 D ．2或8
3.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89,则m n +的值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
4.A 、B 、C 、D 、E 、F 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A ，B 和C ，D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( ）
A ．72
B ．112
C ．160
D ．192
5.以椭圆22
195
x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是1F ，2F
，已知点M 坐标为(2,1),双曲线C 上点P 在第一象限，满足11211121||||
PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-=（ ） A ．2 B ．4 C ．1 D ．1-
6.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ )
A ．150种
B ．180种
C ．240种
D ．540种
7。

若m ，n 均为非负整数,在做m n +的加法时各位均不进位（例如,134********+=），则称(,)m n 为“简单的"有序对,而m n +称为有序数对(,)m n 的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ )
A ．100
B ．150
C ．200
D ．300
8。

如图，在ABC ∆中,30CBA CAB ∠=∠=︒，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过点D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( ）
A 3
B ．1
C ．3
D ．2
9.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题:将1，2，3，4，5，6,7,8，9分别填入33⨯的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）
8
3 4 1
5 9
6
7 2
A ．9
B ．8
C ．6
D ．4
10.某中学早上8点开始上课,若学生小典与小方均在早上7:40至8：00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为( ）
A ．932
B ．12
C ．364
D ．564
11。

自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则||PQ 的最小值为( )
A ．1310
B ．3
C ．4
D ．2110
12。

设双曲线22
221x y a b
-=(0a >,0b >）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+（λ，R μ∈）,316λμ=
,则该双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C ．2
D ．98
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13.已知命题p ：0x R ∃∈，2020mx +≤，命题q ：x R ∀∈，2210x mx -+>，若“p q ∨”为假命题，则实数m 的取值范围为 ．
14。

设集合{}{}12345(,,,,)|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件
“123451||||||||||3x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．
15。

我校有4名青年教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况共 种．
16.在直角坐标系xOy 中,抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上任一点，准线PF 交抛物线于A ，B 两点，若4FP FA =，则AOB ∆的面积S = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.(Ⅰ）解不等式2886x x A A -<;
（Ⅱ)求值1171010r r C C +-+．
18.已知动圆C 与定圆221x y +=内切,与直线3x =相切.
（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；
（Ⅱ)若Q 是上述轨迹上一点，求Q 到点(,0)P m 距离的最小值．
19。

在直角坐标系xOy 中，曲线C ：2
4
x y =与直线y kx a =+（0a >)交于M ，N 两点． (Ⅰ）当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ）y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．
20.已知抛物线24y x =，F 是焦点，直线l 是经过点F 的任意直线．
(Ⅰ）若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且OM AB ⊥（O 是坐标原点，M 是垂足），求动点M 的轨迹方程;
（Ⅱ）若C 、D 两点在抛物线24y x =上，且满足4OC OD ⋅=-，求证：直线CD 必过定点，并求出定点的坐标．
21.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．
（Ⅰ)判断点F 是否在直线BD 上，并给出证明；
(Ⅱ）设89
FA FB ⋅=,求BDK ∆的内切圆M 的方程．
22.已知椭圆C :22
221x y a b
+=（0a b >>）的两个焦点为1F ，2F ,A ，B 在椭圆
上，1F 在线段AB 上,且2ABF ∆的周长等于
(Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;
（Ⅱ）过圆O :224x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值．
2016-2017学年度上学期高二年级四调考试理数试卷答案
一、选择题
1-5：DDCDA 6—10:ADABA 11、12:DA
二、填空题
13。

[1,)+∞ 14。

130 15。

144 16.
2
三、解答题
17.解：（Ⅰ)原不等式可化为8!8!6(8)!(10)!x x =⋅--， ∴(10)(9)6x x --<,即219840x x -+<,
∴712x <<，
又∵8x ≤且20x -≥，∴28x ≤≤，∴78x <≤,
又*x N ∈,∴8x =．
（Ⅱ）由组合数的定义知0110,01710,r r ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
∴79r ≤≤．
又*r N ∈，∴7r =，8，9,
当7r =时,原式81010
1046C C =+=； 当8r =时，原式9910
1020C C =+=； 当9r =时，原式10810
1046C C =+=． 18。

解:（Ⅰ）设动圆C 的圆心(,)C x y ，
∵动圆C 与定圆221x y +=内切，与直线3x =相切，
∴31x -=，
化简得244y x =-．
(Ⅱ)设(,)Q x y ,则244y x =-，
∴2222||()()44PQ x m y x m x =-+=-+-[]2
(2)4x m m =-+-．
当1m >-时，1x =时上式取得最小值2(1)m -，即||PQ 取得最小值|1|m -；
当1m ≤-时，2x m =+时上式取得最小值4m -，即||PQ
取得最小值．
∴min |1|,1,|| 1.m m PQ m ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩ 19。

解：（Ⅰ）由题意可设)M a
，()N a -
设过点M
的切线方程是'(y a k x -=-，
代入曲线C
，得24'840x k x k a -+=．
由0∆=
，即2('0k =
，得'k =．
即曲线C
在点)M a
处的切线方程为y a x -=-
0y a --=．
同理,曲线C
在点()N a -
处的切线方程为y a x -=+
0y a ++=，
0y a --=
0y a ++=．
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设(0,)P b ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，
将y kx a =+代入曲线C ，得2440x kx a --=，
∴124x x k +=，124x x a =-， ∴121212y b y b k k x x --+=+1212122()()()kx x a b x x k a b x x a
+-++==． 当b a =-时,有120k k +=，
则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故OPM OPN ∠=∠，
∴(0,)P a -符合题意．
20.解：（Ⅰ)设动点M 的坐标为(,)x y .
∵抛物线24y x =的焦点是(1,0)F ，
直线恒过点F ，且与抛物线交于两点A 、B ，
又OM AB ⊥，
∴OM FM ⊥，即0OM FM ⋅=，
∴(,)(1,)0x y x y ⋅-=,即220x y x +-=，
又当M 与原点重合时，直线l 与x 轴重合，故0x ≠．
∴动点M 的轨迹方程是220x y x +-=（0x ≠)．
(Ⅱ）设点C ,D 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
∵点C 、D 在抛物线24y x =上,
∴2114y x =，2224y x =, 即2212124y y x x ++=，22121216
y y x x =， 又4OC OD ⋅=-，
∴12124x x y y +=-，即221212416
y y y y +=-，
解得128y y =-．
设直线CD 的方程为x my t =+，
由24,,
y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=．
则0∆>，即20m t +>，124y y t =-,
又128y y =-,∴2t =．
∴直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2,0)．
21.解：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,11(,)D x y -，l 的方程为1x my =-（0m ≠）．
（Ⅰ）将1x my =-代入24y x =并整理，
得2440y my -+=，由216160m ∆=->，
得21m >,且124y y m +=，124y y =，
直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，即222214()4
y y y x y y -=⋅--。

令0y =，得1214
y y x ==， ∴点(1,0)F 在直线BD 上．
（Ⅱ）由（Ⅰ)，知21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-，
1212(1)(1)1x x my my =--=,
因为11(1,)FA x y =-,22(1,)FB x y =- ，
所以1212(1)(1)FA FB x x y y ⋅=--+21212()1484x x x x m =-+++=-， 故28849m -=，解得43
m =±． 所以直线l 的方程为3430x y ++=，3430x y -+=,
又由(Ⅰ)知
,21y y -== 故直线BD
的斜率为214y y =-，
因而直线BD
的方程为330x +-=
,330x -=．
因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)M t （11t -<<），(,0)M t 到直线l 及BD 的距离分别为
3|1|5t +，3|1|4
t -， 由3|1|3|1|54t t +-=,得19
t =，或9t =(舍去）， 故圆M 的半径3|1|253
t r +==， 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=． 22。

解：（Ⅰ)由2ABF ∆
的周长为
得4a =
a =
由离心率3
c e a ==
，得c = 又2221b a c =-=, 所以椭圆的标准方程为2
213
x y +=． （Ⅱ)设(,)P P P x y ，则224P P x y +=．
（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，
则P x =1P y =±,另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥
，此时
11||||222
PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯=． (ii)
若切线的斜率均存在，则P x ≠，
设过点P 的椭圆的切线方程诶()P P y y k x x -=-，
代入椭圆方程，消y 并整理得222(31)6()3()30P P P P k x k y kx x y kx ++-+--=,
依题意0∆=，即222(3)210P P P P x k x y k y -++-=．
设切线PM ,PN 的斜率分别为1k ，2k ， 从而22122213133P P P P
y x k k x x --===---，即PM PN ⊥，
即线段MN 为圆O 的直径，||4MN =, ∴222111||||(||||)||4244
PMN S PM PN PM PN MN ∆=⋅≤+==，
当且仅当||||PM PN ==,取等号．
所以PMN ∆面积的最大值为4．
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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