2024年-人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角1教案

24．1.3弧、弦、圆心角
1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．
2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．
3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．
一、情境导入
人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
二、合作探究
探究点一：圆心角
【类型一】圆心角的识别
如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC
B．∠AOB
C ．∠OAB
D．∠OCB
解析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．故选B.
方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
探究点二：圆心角的性质
【类型一】利用圆心角的性质求角
如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是BE
︵
的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 的大小是( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
解析：∵C、D是BE
︵
的三等分点，∴BC︵＝CD
︵
＝DE︵，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝
1
3
×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系
【类型一】结合三角形内角和求角
如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B
＝70°，则∠A ＝________．
解析：由AB ︵＝AC ︵
，得这两条弧所对的弦
AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所
以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得
∠A 的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
【类型二】弧相等的简单证明
如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，
M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵
.
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之
间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .
∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵
.
证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝1
2OB ，OA
＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴
CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵
.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12
DF ︵
.
∴AC ︵＝BD ︵
.
图①
图②
证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知
CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵
＝BD ︵
.
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的
某一组量相等．
三、板书设计
教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.。