2018-2019学年福建省南平市福清第三中学高三数学文模拟试题含解析

2018-2019学年福建省南平市福清第三中学高三数学文
模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则“”是“直线与直线平行”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
若，则，解得或。

所以是充分不必要条件，选A.
2. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是( )
A.B.C. D.
参考答案：
D
略
3. 关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
A
4. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．
参考答案：
D
5. 设等比数列中，前n项和为,已知，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
6. 在等比数列{a n}中，若，则( )
A. B. C. 2 D. 4
参考答案：
D
【分析】
由等比数列性质得q,即可求解
【详解】，则
故选：D
【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题
7. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为（）
参考答案：
B
【详解】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，得到
的值为54.
故答案为B.
8. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|=（）
A．B．6 C．8 D．16
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，
∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，
∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=（x﹣2），
由，可得A点坐标为（﹣2，4），
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），
∴|PF|=|PA|=6﹣（﹣2）=8，
故选C．
9. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
参考答案：
B
【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．
【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求
【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
10. 展开式中的系数为10，则实数a等于( )
(A)－1 (B) (C)1 (D) 2
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数x，y满足则的取值范围为．
参考答案：
作出可行域:
观察可知：，易得：,故，
故答案为：
12. 若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为___________.
参考答案：
略
13. 在的展开式中，含项的系数为__________．
参考答案：
60
试题分析：由题意得，的展开式中的项为，所以项的系数为．
考点：二项式定理的应用．
14. 命题：若x≥1，则x2+3x﹣2≥0的否命题为．．
参考答案：
“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”
略
15. 若命题“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：
[﹣1，3]
【考点】特称命题．
【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．
【解答】解：∵“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，
∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，
∴△=（1﹣a）2﹣4≤0
∴﹣1≤a≤3
故答案为：[﹣1，3]．
16. 若，则
参考答案：
17. 若函数f（x）=，则f（7）+f（log36）= ．
参考答案：
5
【考点】函数的值．
【分析】由已知条件利用分段函数性质直接求解．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（7）=log39=2，
f（log36）=+1=，
∴f（7）+f（log36）=2+3=5．
故答案为：5．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）已知函数
（1）求函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；
（2）若，求的取值范围.
参考答案：
……………………6分
的最小正周期等于．
当，时，取得最大值2.………………10分（2）由，得，，
的值域为………………14分
19. (14分) 已知数列满足，．函数
．
（I）求数列的通项公式；
（II）试讨论函数的单调性；
（III）若，数列满足，求证：．
参考答案：
（I）∵，∴当时，，
∴，即，
∴，对也成立，∴数列的通项公式为．………3分（II），………4分
当时，，当时，；当时，，
∴函数的单调增区间是，减区间是；…………5分
当时，令，解得，．
当时，，当时，；当时，；
时，，
∴函数的单调增区间是和，减区间是；………6分当时，，，
∴函数的单调增区间是，无减区间．………7分
综上所述，当时，∴函数的单调增区间是，减区间是；
当时，函数的单调增区间是和，减区间是
；
当时，函数的单调增区间是，无减区间．
（III）当时，，．由且，故．………8分
要证，即证，即证．
由（II）得在上单调递增，
所以，
所以，即成立．…………11分要证，由，即证，
即证，即证．
设，，
所以在上单调递增，，
从而，即成立．
综上，．………14分
20. (本小题10分)
如图，已知直线与抛物线相交于两点，与轴相交于点，若.
（Ⅰ）求证：点的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值.
参考答案：
(Ⅰ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 ,
代入y2 = x得 y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根,
∴ x0＝－y1y2＝1，即M点的坐标为（1, 0）. (5)
分
(Ⅱ)法一：由方程①得y1＋y2 = m ,y1y2＝－1 ,且 | OM | = x0 =1,
于是S△AOB = | OM | |y1－y2| ==≥1，
∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1. …………10分
法二：
…………10分
21. （本小题共13分）
如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．
(1)求证：直线⊥平面；
(2)求异面直线与所成的角的正弦值。

参考答案：
(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1. ……6分
(2)解：如图，取AC的中点G，连结，
由题意易得∥，所以就是异面直线
与所成的角，由（1）可知直线⊥平面，所以⊥，又∥，所以⊥
在中，，所以
又在中，，
所以
即异面直线与所成的角的正弦值为……13分
22. (本小题12分) M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以
上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作。

（I）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；
（II）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，
再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
参考答案：
(1)176.5， 181；(2) .。