2022年上海中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022年上海中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 由直线，，曲线及轴所围成图形的面积为
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
2. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（▲ ）。

A．4 B．
C． D．
参考答案：
B
知识点：双曲线的几何性质.
解析：解：设的边长为，则由双曲线的定义，
可得,∴∵,∴
在中，，，，,
∴由余弦定理可得∴,∴,故答案为：．
思路点拨：设的边长为，则由双曲线的定义，为等边三角形，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论．
3. 已知实数满足的约束条件则的最大值为（）
A． 20 B． 24 C． 16 D． 12
参考答案：
B
4. 已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先求出集合A，B由A?C?B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求
【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，
∵A?C?B，
∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，
故选D．
5. 已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M 的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．
【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，
以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵该正三角形ABC的边长为2，
∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），
E（0，﹣1），F（0，3），
当点M在边AB上时，设点M（x0，0），
则﹣≤x0≤，
∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），
∴?=﹣x02+3，
∵﹣≤x0≤，
∴?的最大值为3，
当点M在边BC上时，
∵直线BC的斜率为﹣，
∴直线BC的方程为： x+y﹣3=0，
设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，
∵=（﹣x0， x0﹣4），=（x0， x0），
∴?=2x02﹣4x0，
∵0≤x0≤，
∴?的最大值为0，
当点M在边AC上时，
∵直线AC的斜率为，
∴直线AC的方程为： x﹣y+3=0，
设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，
∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0， x0），
∴?=﹣4x02﹣4x0，
∵﹣≤x0≤0，∴?的最大值为3，
综上，最大值为3，
故选：A．
6. 若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
A
7. 命题:“若,则”的逆否命题是
A. 若
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
参考答案：
D
略
8. 已知定义域为的奇函数，则的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不能确定
参考答案：
A
【分析】
奇函数定义域必关于原点对称，求出a的值。

定义域有原点的奇函数必过原点
【详解】奇函数定义域必关于原点对称，即
，
即，
故选A
【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题。

9. 锐角△ABC中，tan A·tan B的值()
A．不小于1 B．小于1
C．等于1 D．大于1
参考答案：
D
10. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知θ为锐角，，则sinθ=
．参考答案：12.
函数的图像关于（
）对称
A.x轴
B.y轴
C.原点
D.y=x
参考答案：
C
略
13. 若，（表示虚数单位），且为纯虚数，则实数 .
参考答案：
略
14. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为______。

参考答案：
15. 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为．
参考答案：
y=x
【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程．
【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程．
【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1≠x2，两式相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），
∴
∴直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即y=x
故答案为：y=x
16. （2016秋?天津期中）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且?=0，若
=，则（+）?= ．
参考答案：
8
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由题，已知∠BAC=120°，AB=AC=4，可将问题转化为以向量与为基底的向量线性运
算．或者由?
=0分析得AD⊥BC，且
D 为线段BC 的中点，又根据=可得
E 为BD的中点，
故问题转化为以向量与为基底的向量线性运算．
【解答】解：∵?=0
∴AD⊥BC
又∵AB=AC=4，∠BAC=120°
∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2
∴（+）?=2?
=
=2×4×cos60°+22
=8
故填空：8．
【点评】考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，属于基础题．
17. 在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4，则△ADC的面积的最大值为．
参考答案：
【考点】正弦定理．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．
【解答】解：
在△ACD中，cos∠ADC===﹣，
整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，
∴AD?DC≤16，AD=CD时取等号，
∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】对第（1）问，先将方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆C的直角坐标方程；
对第（2）问，先验证点M在直线l上，由已知点M写出l的参数方程，再将此参数方程代入圆的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何含义可探求
|MA|+|MB|的值．
【解答】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，
将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，
整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．
（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，
因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，
代入圆C的方程中，得．
设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，
即|MA|+|MB|=．
【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，
ρsinθ=y，（x≠0）等．
2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．3．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．
19. [选修45：不等式选讲] (10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
解：（1）①当时，，
解得，-------------------------------------------------------------------------------------------1分
②当时，，
解得，--------------------------------------------------------------------------------------2分
③当时，
解得，---------------------------------------------------------------------------------------------3分
上知，不等式的解集为；-----------------------------------5分
（2）解法1：当时，，--------6分
设，则，恒成立，
只需，-------------------------------------------------------------------------------------8分
即，解得--------------------------------------------------------------------10分
【解法2：当时，，-------------------------------------6分，即，即---------------------------------7分
①当时，上式恒成立，；------------------------------------------8分
②当时，得恒成立，
只需，
综上知，．----------------------------------------------------------------10分】
20. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B 两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴直线l的普通方程为y=tanα?（x﹣1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，
代入x2=4y，得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为，
又P（1，0），则|PQ|=||=3．
21. 已知椭圆C：(1)求椭圆方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k 的取值范围．
参考答案：
略
22. 已知向量，，
(1)若，求的值；
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数
的取值范围. 参考答案：。