线代复习xdfx

线性代数总复习
By Zhu


《线性代数》知识篇四 个知 识点内在联系图 :
矩 一一对应 阵
一 一
对 应
行列式
线性方程组 一 一 对 应 向量组
求解公式引出


三种矩阵关系
相似关系 矩阵的对角化
合同关系 二次型标准型
等价关系
矩阵的标准型(求秩)


几种特殊的矩阵
• 分块(副)对角阵 (逆的求法) • 对称阵 (一定可以正交变换对角化,特征值实数) • 正交矩阵 (行,列 均为正交单位向量组,行列式为1或-1) • 正定矩阵 (特征值均大于0的对称阵) • 负定矩阵 (特征值均小于0的对称阵) • 半正(负)定矩阵 (特征值均大于(小于)等于0的对称阵)


关于 矩阵/向量组的 秩
• • • • • • • 向量组的秩—最大无关组的向量个数 线性(向量)空间的维数就是作为向量组的秩 矩阵的秩就是行也是列向量组的秩 矩阵的秩是其非零子式的最大阶数 伴随阵秩的公式 r(A)+r(B)-n <= r(AB) <= min(r(A),r(B)) 求向量组秩 (行初等变换化为阶梯型, P91例1)


关于行列式
• 定义,性质 (根据定义求特定项系数,代数余子式组合) • 求行列式值得两种基本思路 • 行列式与特征值的关系 • 行列式与矩阵秩的关系 • 范德蒙行列式 • 分块对角阵的行列式
(化为上下三角,找递推关系)


关于线性方程组
• • • • 齐次线性方程组的基础解系 (解空间的基) 非齐次线性方程组解的判定 非齐次线性方程组通解的求法 利用方程组理论判定向量组的相关性:


关于特征值与特征向量
• • • • 定义,性质 特殊矩阵(行/列和相等,成比例) (想到写成AP=kP) 对应不同特征值的特征向量线性无关 实对称阵对应不同特征值的特征向量正交


关于二次型
• 写出二次型的矩阵 • 配方法化二次性为标准型 • 正交变换化二次型为标准型(施密特正交化公式) • 二次型正定/负定/半正/半负定的判定
(定义法,特征值法,顺序主子式法,惯性定理)




四、（10分）
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛213345666213132321 X 求解矩阵方程五、（15分）组
取何实值时，线性方程λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−=−=−λ
λλλλλλλx x x x x x x x 41433221.
情况下求通解无解？在有无穷多解的有唯一解，无穷多解，
六、１.（5分）
.
:,1det 不可逆证明为正交矩阵且设A I A A −−−=２.（5分）
.
)2( ;0)1( :
, 11−−≠a A a a A n 的每行元素之和为常数证明为常数中每行元素之和阶可逆矩阵设七、（6分）.,1221A A n 求设⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=八、（12分）用正交变换化二次型),,(321x x x f .,84455232312123
2221并写出所用的正交变换形为标准x x x x x x x x x −−+++=
九、（10分）
:4
的两个基已知四维向量空间R ;)2,3,0,0( ,)1,2,0,0(,)0,0,0,1( ,)0,0,1,1( )(;)1,0,0,0( ,)1,3,0,0( ,)2,1,2,0( ,)1,2,1,1( )(4
3 2
14321T T T
T T
T T T ===−=ΙΙ====Ιββββαααα.)()2( ;
)()()1( :
,)1,1,3,0()(下的坐标在基向量的过渡矩阵到基由基求下的坐标为在基且向量ΙΙΙΙΙ−−ΙααT
[].6)6,6,(6,1130P )(2 21303
341002200
21],...,[,..., )()(1 .
10 T 4321411
412
3
22
21
−−=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΙΙ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−==ΙΙΙ++=
−y y y y P f y y
y 下的坐标为在基．的过渡矩阵为
到基．由基九、化二次型为αααββ
三、（10分）
.
,,1500370000
0200
24B B A BA A 求矩阵且设+=⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=四、（15分）
.
35 ,22 ,332 ;,,:3213321232113213
αααβαααβαααβααα++=++=++=设的一个基已知三维向量空间R
.
,, ),0,2,1(,,3;,,,,2;
,,13213213213213
321下的坐标在基求下的坐标为在基．若向量的过渡矩阵到基．求由基的一个基也是．证明βββααααααααββββββ−R 五、（15分）线性方程组
取何值时,λ⎪⎩
⎪
⎨⎧=−+−+−=−+−+−−=++−+λ
λλλλλλλλλλλx x x x x x x x x 321321321)12()1()12()2()1()2(1)1()12(.
?,,在有无穷多解时求通解无穷多解无解有唯一解
六、（10分）.
, 2
r A A A n A 的秩为又设阶实对称矩阵且满足是设=.
),2det(.2;
01.1阶单位矩阵是其中求行列式或的特征值为证明n E A E A −七、（１５分）已知二次型
x x x x x x x t x t x t f 3
231212
32221444+−−++=).
(,0 .2 ;
, .1 出所用的正交变换写为标准形试用正交变换化二次型取二次型是负定的取何值时=t t
八、（5分）
.
,),( 2
是单位矩阵其中为正定矩阵试证
即满足是实反对称矩阵已知E A E A A A T
−−=
).1,0,1(,,.3 423736947 ,,,,2 321321321−⎟⎟
⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−=下的坐标为在基的过渡矩阵为到基．由基四、
βββααααβββC .,)5,3,3(011 ,,1)3( ;,10)2( ;,10)1(任意），
，（通解为有无穷多解时当无解时或当有唯一解时且当五、k k x T
T
−−+−=−===±≠≠λλλλλ
.0
)()( )()( ,0, 222是正定矩阵故有对任意为实对称矩阵易证八、A E Ax Ax x x x A A E x x A E x x A E T T T
T T −>+=+=−≠−
祝你考出好成绩!。