2019数学人教a版必修五优化练习：第三章 3.4 基本不等式：ab≤a+b2 word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列不等式正确的是( ) A ．a ＋1
a
≥2
B ．(－a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－1a ≤－2
C ．a 2＋1
a
2≥2
D ．(－a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－1a 2≤－2
解析：因为a 2＋1
a 2中a 2>0，所以
a 2＋1a 22≥
a 2·1a
2， 即12⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a 2≥2.
答案：C
2．已知m ＝a ＋1
a ＋1(a>0)，n ＝3x (x<1)，则m ，n 之间的大小关系是( )
A ．m>n
B ．m<n
C ．m ＝n
D ．m ≤n
解析：因为a>0，所以m ＝a ＋1
a
＋1≥2
a ·1
a
＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x<1，所以n ＝3x <31＝3，所以m>n. 答案：A
3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13
B.12
C.3
4
D.2
3
解析：由x(3－3x)＝1
3×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1
2时
等号成立． 答案：B
4．已知f(x)＝x ＋1
x －2(x<0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析：∵x<0，∴f(x)＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 答案：C
5．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4
a
≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab
C.ab ≥a ＋b 2
D ．x 2＋
3
x 2
≥2 3
解析：a<0，则a ＋4
a
≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，
a ＝4，
b ＝16，则ab<a ＋b 2
，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．
答案：D
6．已知a>b>c ，则(a －b )(b －c )与
a －c 2
的大小关系是________．
解析：因为a －b>0，b －c>0，a －c>0.
所以
(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c
2
.
当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．
所以(a －b )(b －c )≤a －c 2
.
答案：(a －b )(b －c )≤
a －c 2
7．当x>12时，函数y ＝x ＋8
2x －1的最小值为________．
解析：设t ＝2x －1，∵x>1
2，∴2x －1>0，即t>0，
∴y ＝t ＋12＋8t ＝t 2＋8t ＋12
≥2
t 2·8t ＋12＝9
2. 当且仅当t 2＝8
t ，即t ＝4， x ＝5
2时，取等号．
答案：9
2
8．若x ，y 均为正实数，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2
4xy ＝4
xy ，
∴xy ≤
1
16
，当且仅当x ＝4y 时等号成立．
答案：16
9．已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x|1<x<b}． (1)求a ，b 的值；
(2)求函数f(x)＝(2a ＋b)x ＋
25
(b －a )x ＋a
(x ∈A)的最小值．
解析：(1)由题意知，1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，且b>1， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a －3＋2＝0，a
b 2－3b ＋2＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x ＋
25(2－1)x ＋1＝4x ＋25
x ＋1
＝4(x ＋1)＋
25x ＋1
－4≥2
4(x ＋1)·25
x ＋1
－4＝16.
当且仅当4(x ＋1)＝
25
x ＋1，即x ＝3
2
∈A 时等号成立． ∴函数f(x)的最小值为16.
10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解析：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋ (x)
＝200＋2x(x ＋1)·16(万元)．
∴y ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤100x －200－12x (x ＋1)·
16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为
y
x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋25x .
又x ∈N *， ∴x ＋25
x
≥2
x ·25
x
＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时y
x
≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元． [B 组 能力提升]
1．若－4<x<1，则f(x)＝x 2－2x ＋2
2x －2( )
A ．有最小值1
B ．有最大值1
C ．有最小值－1
D ．有最大值－1
解析：f(x)＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤(x －1)＋1x －1，
又∵－4<x<1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.
∴f(x)＝－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1.
当且仅当x －1＝1
x －1，即x ＝0时等号成立．
答案：D
2．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若 p ＝f(ab)，q ＝f(a ＋b 2)，r ＝1
2
(f(a)＋f(b))，则下列
关系式中正确的是( ) A ．q ＝r<p B ．q ＝r>p C ．p ＝r<q
D ．p ＝r>q
解析：p ＝f(ab)＝ln
ab ，q ＝f(a ＋b 2)＝ln a ＋b
2
，
r ＝12(f(a)＋f(b))＝1
2ln ab ＝ln ab ，函数f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因
为a ＋b 2>
ab ，所以f(a ＋b
2
)>f(
ab)，所以q>p ＝r.
答案：C
3．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最
小值为________．
解析：因为x ＞a ，所以2x ＋
2x －a
＝2(x －a)＋
2
x －a
＋2a ≥22(x －a )·2
x －a
＋
2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32.即a 的最小值为3
2
.
答案：32
4．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b)＝1，则a ＋b 的最小值是________． 解析：由于ab －(a ＋b)＝1，所以ab ＝a ＋b ＋1， 而ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22
，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b)2. 令a ＋b ＝t(t>0)，所以t ＋1≤1
4t 2，解得t ≥2＋2
2，
即a ＋b ≥2
2＋2.
当且仅当a ＝b ＝1＋2时取等号．
答案：2
2＋2
5．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋
ny ＋1＝0上，其中m ，n>0，则1
m ＋2
n
的最小值为________．
解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1，m ，n>0， ∴1
m ＋2
n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1m ＋2n ·(2m ＋n)
＝4＋n
m ＋4m
n
≥4＋2
n m ·4m
n
＝8，
当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
2m ＋n ＝1，n m ＝4m
n
，即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
4，
n ＝1
2
时等号成立．
答案：8
6．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.
求证：1
a ＋1
b ＋1
c
≥9.
证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c
＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c
＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b ＋b c
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时等号成立．
1.2 一定是直角三角形吗
基础导练
1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为 ，理由是 ．
2．有一个三角形的两条边长是6和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长为 ．
3．已知在ABC ∆中，BC ＝6，BC 边上的高为4，若AC ＝5，则AC 边上的高为 ． [%@~^&]
4．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 三角形． [^@&~#]
5．若一个三角形的三边长为m ＋1 ，m ＋2 ，m ＋3，当m 时，此三角形是直角三角形． [#~^@%]
6．已知ABC ∆的三边长为BC ＝41，AC ＝40，AB ＝9，则ABC ∆为_________三角形，最大角是∠ ．
7．以ABC ∆的三条边向外作正方形，依次得到的面积为25，144，169， 则这个三角形是________三角形． [&~@*#]
8．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组，其中不是直角三角形的是 （ ）
A ．1∶1∶2
B ．1∶3∶4
C ．9∶25∶26
D ．25∶144∶169
9．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝1.5，b ＝2，c ＝3
B ．a ＝7，b ＝24，c ＝25
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5
10．如图，有一块四边形地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m，求该四边形地ABCD的面积？[@~%&*]
[~&@%^]
11．如图，在四边形ABCD中，AC DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．
D C
B
A
[~#&%*]
能力提升
12．如图：为修通铁路需凿通隧道AC，测得∠A＝50°，∠B＝40°，AB＝5km，BC＝4km，若每天开凿隧道0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？
C
A
B
[&~%^*]
13．如图，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角，说明这种做法的根据．
(13)
(4)(3)
(1)
[&~@*%]
14．初春时分，两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本，分手后，他们向不同的方向前进，第一组的速度是30米/分，第二组的速度是40米/分，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500米．
（1）两组同学行走的方向是否成直角？ [%&~@^]
（2）如果接下来两组同学以原速相向而行，多长时间后能相遇？
[~@#*&]
15．已知：如图，△ABC 中，CD AB ，垂足为D ，且平分AB ，CD ＝1
2AB ，△
ABC 是等腰直角三角形吗？为什么？请你与同伴交流，并说明理由．
[^*@%#] 16.四年一度的国际数学家大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形
与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5．
（1）求中间小正方形的面积．
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）
[~@^%&]
[@*#&^]
[~*@&#]
参考答案[#*^~%]
1．直角三角形；9k2＋16k2＝25k22．8或3．4、8 4．直角5．m ＝2 6．直角、90°7．直角8．C 9．A 10．四边形地ABCD的面积为36 cm211．S△ABC＝6 cm212．10天13．32＋42＝52，应用勾股定理逆定理得直角三角形14．（1）是．提示：（30×30）2＋（40×30）2＝（50×30）2；
（30×30）2＋（40×30）2＝15002；（2）150
7分钟
15．是．提示：∵BD＝AD＝DC，CD⊥AB ∴∠A＝∠B＝45°＝∠BCD＝∠ACD ∴BC＝AC ∠BCA＝90°
16.提示：（1）小正方形的面积为1；（2）分割成四个直角三角形和两个小长方形
[@#~&^]
课时分层作业(十三) 如何选择家居装修材料
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．陶瓷和水泥材料是家庭进行装修时经常会用到的材料。

下列关于陶瓷和水泥的说法中正确的是( )
①陶瓷制品中的瓷砖坚硬、耐磨、耐水，不会腐蚀霉变，便于清洗②制备陶瓷的三种主要原料的主要成分均为硅酸盐类物质③水泥、沙子和水的混合物叫水泥沙浆，是建筑用黏合剂④在水泥沙浆中添加适量的水玻璃可以提高水泥沙浆的黏结性和胶凝性
A．①②B．②③
C．②④D．①③④
D [厨房、卫生间的地面和墙面宜采用瓷砖装修，是因为瓷砖坚硬、耐磨、耐水，不会腐蚀霉变，便于清洗，①正确。

制备陶瓷的三种主要原料为黏土、长石、石英，黏土是一种含水铝硅酸盐矿物，长石的主要成分是铝硅酸盐，石英的主要成分为二氧化硅，②错误。

水泥、沙子和水的混合物叫水泥沙浆，是建筑用黏合剂，③正确。

在水泥沙浆中添加适量的水玻璃可以提高水泥沙浆的黏结性和胶凝性，④正确。

]
2．制备陶瓷和水泥共同的原料是( )
【导学号：72572155】
A．石灰石B．黏土
C．石英D．石膏
B [陶瓷制品的原料是黏土、长石、石英，水泥则是以石灰石、黏土、石膏
为主要原料。

]
3．有关涂料的描述中，错误的是( )
A．涂料有天然涂料和合成涂料两大类
B．早期喷漆中可挥发有机溶剂含量高达95%，易污染环境
C．聚醋酸乙烯酯乳胶漆是通过缩聚反应制备的
D．涂料中的溶剂是有机溶剂(如二甲苯、甲苯、醋酸丁酯等)或水，其作用是使基料溶解或分散成为黏稠的液体，以便施工
C [聚醋酸乙烯酯的结构简式为，它是由醋酸乙烯(醇)酯
通过加聚反应生成的，C项描述错误。

A、B、D三项描述均正确。

] 4．下列关于材料的说法中，正确的是( )
【导学号：72572156】
A．二氧化硅的提纯与应用，促进了半导体元件与集成芯片的发展
B．水泥、玻璃、塑料都是高分子材料
C．钢化玻璃与普通玻璃的主要成分不同
D．通常情况下，铝合金在空气中不易被腐蚀，可用作建筑材料
D [硅的提纯与应用，促进了半导体元件与集成芯片的发展，A错误。

水泥、玻璃不是高分子材料，塑料是高分子材料，B错误。

钢化玻璃与普通玻璃的主要成分相同，C错误。

通常情况下，铝合金在空气中不易被腐蚀，可用作建筑材料，D正确。

]
5．有关起居室装修材料的选择，下列说法正确的是( )
A．起居室地面装修以铺瓷砖或天然大理石板或石膏板为宜
B．塑钢是以聚氯乙烯为基材，以碳酸钙为填充料，用玻璃纤维增强制成的C．起居室的吊顶用材可选用玻璃板等
D．起居室装修只用大量的涂料和玻璃
B [起居室地面装修以铺瓷砖或天然大理石板为宜，不能铺石膏板，A错；起居室的吊顶用材可选用石膏板，C错；起居室装修除了用到大量的涂料和玻璃，还用到瓷砖或天然大理石板、塑钢等，D错。

]
6．室内环境污染可分为化学污染、物理污染、生物污染和放射性污染，关于室内环境污染的说法不正确的是( )
【导学号：72572157】
A．化学污染主要来自装修材料挥发的有毒有机物
B．为防止生物污染应定期为居室杀菌、消毒
C．放射性污染物氡无色无味很难被人察觉，应选专业机构测量
D．为了防止室内污染应紧闭门窗
【答案】 D
7．在入住装修过的新房之前，下列做法中正确的是( )
A．紧闭门窗，防止装修面干裂、变质
B．适度开窗通气，充分地进行内外空气对流
C．用高浓度的甲醛溶液对室内环境消毒
D．在各个房间内喷洒空气清新剂，以免有异味
B [紧闭门窗不利于排出有害物质，A项错误；甲醛有毒不适用于室内环境消毒，C项错误；喷洒空气清新剂并未消除污染，D项错误。

]
8．下列关于选择家居装修材料的说法错误的是( )
【导学号：72572158】
A ．厨房和卫生间的地面应选用防滑瓷砖
B ．家庭墙面装饰应选用水溶性乳胶漆
C ．卧室应选用复合木地板
D ．黏合剂应选用天然黏合剂
C [复合木地板能够释放甲醛，不宜在卧室使用。

]
[能力提升练]
9．某科研小组用高岭土(主要成分是Al 2O 3·2SiO 2·2H 2O 并含有少量CaO 和Fe 2O 3)研制新型净水剂(铝的化合物)。

其实验步骤如下：将土样和纯碱混匀，加热熔融，冷却后用水溶解熔块、过滤、弃去残渣，滤液用盐酸酸化、过滤，分别得到沉淀和溶液，溶液即为净水剂。

(1)写出熔融时，土样的主要成分与纯碱反应的方程式(只写出一个即可)： ______________________________________________________________。

(2)最后的沉淀物是________；并写出有关离子方程式：
______________________________________________________________。

(3)实验中常用的坩埚有瓷坩埚和铁坩埚，本实验在熔融土样时选用
________坩埚。

【解析】 由制普通玻璃的反应原理可写出Na 2CO 3与SiO 2的反应方程式。

熔块溶解过滤的滤液中主要含有Na 2SiO 3、Na[Al(OH)4]，加盐酸后Na 2SiO 3跟盐酸生成H 2SiO 3沉淀，Na[Al(OH)4]跟过量盐酸反应生成AlCl 3做净水剂。

瓷坩埚中含有SiO 2，在高温下能跟Na 2CO 3发生反应，因此应用铁坩埚。

【答案】 (1)Na 2CO 3＋SiO 2=====高温Na 2SiO 3＋CO 2↑
(2)H2SiO32H＋＋SiO2－3===H2SiO3↓(3)铁
10．某化学兴趣小组查阅资料得知：甲醛是一种无色有刺激性气味的气体，沸点为－19.5 ℃，易溶于水，易被高锰酸钾氧化生成其他气体。

甲醛对人的皮肤和呼吸器官有强烈的刺激作用。

大多数装修材料中含有甲醛。

请回答下列问题：【导学号：72572159】
(1)CO使人中毒是因为很容易和人体血液中的________结合。

(2)该兴趣小组收集V1 L含有甲醛和CO的某居室空气，用如图装置测定其中甲醛和CO的含量。

则装置A中盛放的试剂是________，实验中还需要测定的数据是________。

为了获得较准确的实验结论，他们需要采取的方法是
________(填序号)。

a．仔细做好每步操作，只做一次实验
b．在A、B间加一个干燥装置
c．重复做2～3次上述实验
【解析】(1)CO容易和人体血液中的血红蛋白结合而使血红蛋白失去运输O2的能力，使人中毒。

(2)根据实验装置图及甲醛易溶于水而CO难溶于水可知先将甲醛和CO的混合气体通入水中，甲醛被吸收，而CO可以把装置B中的水压入到量筒中，量筒中水的体积即为CO的体积。

从而确定混合气体中甲醛和CO的含量。

该实验没必要增加干燥装置，为使结果可靠，应重复实验2～3次。

【答案】(1)血红蛋白(2)水C中水的体积 c。