广东省汕头市金山中学2014_2015学年高二数学上学期第二次月考试卷理(含解析)

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试
卷（理科）
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，﹣1] C．[﹣1，2）D．[1，2）
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1
3．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与互相垂直，则k的值是（）
A．﹣5 B．C．D．5
4．（5分）“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ7．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，数列{}的前n项和为，则n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18
8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|
的最大值为（）
A．5 B．+1 C．2+1 D．﹣1
9．（5分）已知斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，若A、B的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0
10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．m≤2D．m＞2
11．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）
A．3 B．2 C．D．
12．（5分）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．
14．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．
15．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．
16．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．
18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．
19．（12分）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，
∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．
（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A﹣CE﹣P余弦值．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，3S n+1是6与2S n的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b
所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．
广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，﹣1] C．[﹣1，2）D．[1，2）
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：先求出不等式x2﹣2x﹣3≥0的解集，即求出集合A，再由交集的运算求出求出A∩B．解答：解：由x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1或x≥3，则A={x|x≤﹣1或x≥3}，
又B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2，﹣1]，
故选：A．
点评：本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1
考点：命题的否定．
分析：根据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．
解答：解：∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1
故选C．
点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．
3．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与互相垂直，则k的值是（）
A．﹣5 B．C．D．5
考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．
专题：空间向量及应用．
分析：利用向量垂直的性质求解．
解答：解：∵向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与互相垂直，
∴（k+）•=（k﹣1，k，2）•（﹣1，0，2）=1﹣k+0+4=0，
解得k=5．
故选：D．
点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
4．（5分）“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：由x2+y2=0得x=y=0，则xy=0成立，
若x=1，y=0，满足xy=0，但x2+y2=0不成立，
故“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，
故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
考点：奇函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．
解答：解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（0）=20+2×0+b=0，
解得b=﹣1，
所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，
又因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，
故选A．
点评：本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．
6．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
考点：平面的基本性质及推论．
专题：计算题．
分析：由m⊂α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l⊂γ，故l⊥m．
解答：解：∵m⊂α，m⊥γ，
∴α⊥γ，
∵β∩γ=l，∴l⊂γ，
∴l⊥m，
故A一定正确．
故选A．
点评：本题考查平面的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，数列{}的前n项和为，则n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：求出数列的通项公式，利用裂项法求法数列的和，求出n即可．
解答：解：等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，d=2，a n=2n﹣1，
数列==．
数列{}的前n项和为，
∴=
=，
解得n=15．
故选：A．
点评：本题考查等差数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．
8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最大值为（）
A．5 B．+1 C．2+1 D．﹣1
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式度对应的平面区域，利用点和圆的位置关系即可得到结论．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（0，2），圆心D（0，2），
∴由图象可知当P位于A，Q在E（0，﹣3）处，|PQ|的距离最大，
最大为2﹣（﹣3）=5．
故选：A
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合，以及点与圆的位置关系，结合距离公式是解决本题的关键．
9．（5分）已知斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，若A、B的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用点差法，可得，即可求出双曲线的渐近线方程．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式相减可得：，
∴斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，A、B的中点为M（1，3），
∴，
∴．
故选：B．
点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查点差法，得出是关键．
10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．m≤2D．m＞2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：由曲线C：f（x）=e x﹣mx，知f′（x）=e x﹣m，由曲线C不存在与直线垂直的
切线，知m≠2+e x＞2，由此能求出结果．
解答：解：∵曲线C：f（x）=e x﹣mx，
∴f′（x）=e x﹣m，
∵曲线C不存在与直线垂直的切线，
∴f′（x）=e x﹣m≠﹣2，
∴m≠2+e x＞2，
观察题设中的四个选项，C最符合，
故选C．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）
A．3 B．2 C．D．
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．解答：解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分
∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍
∵双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．
12．（5分）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：函数的值；数列的求和．
专题：压轴题；新定义．
分析：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，
解出即可．
解答：解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，
得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63
所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，
由，得或，解得或，
所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．
故选B．
点评：本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力．
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：先将方程化成标准形式，即，求出 p=，即可得到焦点坐标．
解答：解：抛物线y=2x2的方程即 x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口．
14．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知原几何体是一个如图所示平行六面体，据此即可计算出体积．
解答：解：由三视图可知：原几何体是一个平行六面体，如图所示，
底面是一个边长为3的正方形，平行六面体的高，
∴V平行六面体==．
故答案为
点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
15．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．
考点：双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据
PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．
解答：解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），
∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．
故答案为9．
点评：本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．
16．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是γ＞α＞β．
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：新定义．
分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．
解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，
由题意得：
α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，
①∵ln（β+1）=，
∴（β+1）β+1=e，
当β≥1时，β+1≥2，
∴β+1≤＜2，
∴β＜1，这与β≥1矛盾，
∴0＜β＜1；
②∵cosγ=﹣sinγ，
∴γ＞1．
∴γ＞α＞β．
故答案为：γ＞α＞β．
点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．
考点：解三角形；两角和与差的余弦函数．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由A，B，C分别为三角形的内角，及cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而求出C的度数，得出sinC的值，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的长，由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且cosA=，cosB=，
∴sinA==，sinB==，…（4分）
∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=；…（7分）
（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°，
∴C=135°，即sinC=，…（8分）
又a=，
∴由正弦定理=得：b===，…（11分）
∴S△ABC=absinC=×××=．…（13分）
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图；等可能事件的概率．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G，用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的抽法有10种，由此求得所求事件的概率．
解答：解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，
x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，
分数在[90，100）有2人，分别记为F，G．
从竞赛成绩是8（0分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；
其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），
（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个，
所以抽取的2名同学来自不同组的概率．（12分）
点评：本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）
＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可．
解答：解：（1））当t=1时，f（x）=4x3+3x2﹣6x，f（0）=0，f'（x）=12x2+6x﹣6（2分）f'（0）=﹣6．所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，解得x=﹣t或．（5分）
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
（i）若t＜0，则t＜0，则，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣t，+∞）
f'（x）+ ﹣+
f（x）↑↓↑
所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（8分）
（ii）若，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，t）
f'（x）+ ﹣+
f（x）↑↓↑
所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（12分）
点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，
∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．
（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A﹣CE﹣P余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；二面角的平面角及求法．
专题：计算题；综合题；规律型；转化思想；综合法．
分析：（I）以线面平行为条件，根据线面平行的性质得到线线平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比值．
（II）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，
∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=AC=（AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．
设，为平面EAC的一个法向量，
则⊥，⊥，
∴，解得x=，y=﹣，
∴=（，﹣，1）．
设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，
则⊥，⊥，
又=（a，0，0），=（0，﹣a，a），
∴，解得x′=0，y′=1，
∴=（0，1，1）．∴cos，＞
∴二面角A﹣CE﹣P的余弦值为．
点评：本题考查空间向量求二面角以及直线与平面的位置关系的证明，本题的第一小题主要应用线面平行为条件，这种逆向思维的题目出现的比较多，本题第二小题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．降低了难度．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，3S n+1是6与2S n的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知条件推导出，从而得到对n≥2都成立，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（2），n∈N*恒成立，令
，则等价于2kt2+t﹣3＜0恒成立，由此能求出存在符合要求的正
整数k，且其最大值为11．
解答：解：（1）因为3S n+1是6与2S n的等差中项，
所以6+2S n+6S n﹣1（n∈N*），即，（n∈N*）
当n≥2时有．
得，即对n≥2都成立，
又，即，所以，
所以．（n∈N*）．
（2）存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，
等价于，n∈N*恒成立，
当n为奇数时，对任意正整数k，不等式恒成立；
当n为偶数时，等价于恒成立，
令，则等价于2kt2+t﹣3＜0恒成立，
因为k为正整数，故只须，解得0＜k＜12，k∈N*，
所以存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
22．（12分）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b
所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求
的最大值及取得最大值时m的值．
解答：解：（I）…①
矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是．
（II），
由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．
①当时，有，
，
其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．
③当﹣1≤m≤1时，，，
由此知，当m=0时，取得最大值．
综上可知，当或m=0时，取得最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，韦达定理以及判别式的应用，设而不求的解题方法，考查分析问题解决问题，计算能力．。