中考数学仿真模拟测试题(含答案解析)

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________ 满分：150分测试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则a、b、c三数之和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（x2y）3＝x6y B．3x2+4x2＝7x4
C．（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6D．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x2﹣x
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱
4．（3分）如图，多边形ABCDEFG中，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠C＝∠D＝72°，则∠A+∠B的值为（）
A．108°B．72°C．54°D．36°
5．（3分）若OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，若∠AOB＝50°，∠COB＝80°，则∠MON为多少度的角（）
A．65°B．15°C．65°或15°D．75°或15°
6．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为（）
A．4 B．2 C．√2D．1
7．（3分）数轴上，−√2对应的点在（）
A．点A、B之间B．点B与C之间C．点C与D之间D．点E与F之间
8．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数x（秒）及方差S2如下表所示．若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．（3分）周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，则下列说法中正确的是（）
A．小明在迪诺水镇游玩1h后，经过
5
12
h到达万达广场
B．小明的速度是20km/h，妈妈的速度是60km/h
C．万达广场离小明家26km
D．点C的坐标为（
29
12
，25）
10．（3分）如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．2√3D．4√3
二．填空题（共8小题，满分29分）
11．（3分）已知，x、y为实数，且y=√x2−1−√1−x2+3，则x+y＝．
12．（3分）因式分解：x2﹣6xy+9y2＝．
13．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB＝46°，则α的度数是．
14．（4分）如果反比例函数y=m+1
x在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．
15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）．
①掷一枚硬币，正面朝上；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；
③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．
16．（4分）已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为厘米．（结果保留π）17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有种．18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=
1
2x
2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为．
三．解答题（共8小题，满分91分）
19．（11分）（1）计算：（√2−1）0﹣2sin30°+（
1
3
）﹣1﹣（﹣1）2020；
（2）先化简，再求值：（
x+1
x−2
−1）÷x
2−2x
x2−4x+4
，其中x=√3．
20．（9分）“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A、B、C、D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．
21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：
b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是．
（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为．
22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连接CD，BD．（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若∠ABC＝30°，BD＝2√2，求CD的长．
23．（12分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大？
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，
且OA＝4，OC＝2√2，∠COA＝45°．反比例函数y=k
x（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连
接CD．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=1
2S△COD？如果存在，请直接写出
点P的坐标．如果不存在，请说明理由．25
．（
13
分）如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA＝2，OC＝4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．
（1）若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；
（2）若点D在OA的延长线上，且EA＝EB，求点E的坐标；
（3）若OE＝2√17，求点E的坐标．
26．（13分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P 的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则a、b、c三数之和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】求出a、b、c的值，在计算即可．
【解答】解：∵a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，
∴a＝0、b＝1、c＝﹣1，
∴a+b+c＝0，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的意义，求出a、b、c的值是正确计算的前提．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（x2y）3＝x6y B．3x2+4x2＝7x4
C．（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6D．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x2﹣x
【分析】根据积的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘多项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、（x2y）3＝x6y3，本选项错误；
B、3x2+4x2＝7x2，本选项错误；
C、（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6，本选项正确；
D、﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3+x2﹣x，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘多项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱
【分析】根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析可知几何体的名称．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
4．（3分）如图，多边形ABCDEFG中，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠C＝∠D＝72°，则∠A+∠B的值为（）
A．108°B．72°C．54°D．36°
【分析】连接CD，根据多边形的内角和公式可得五边形CDEFG的内角和，进而得出∠CDE+∠DCG，由∠C ＝∠D可得∠ADC+∠BCD的度数，再根据三角形的内角和公式即可得解．
【解答】解：连接CD，
五边形CDEFG的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠CDE+∠DCG＝540°﹣（∠E+∠F+∠G）＝540°﹣108°×3＝216°，
∴∠ADC+∠BCD＝∠CDE+∠DCG﹣（∠BCG+∠ADE）＝216°﹣72°×2＝72°，
∴∠A+∠B＝∠ADC+∠BCD＝72°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边的外角和为360°．5．（3分）若OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，若∠AOB＝50°，∠COB＝80°，则∠MON为多少度的角（）
A．65°B．15°C．65°或15°D．75°或15°
【分析】由于OA与∠BOC的位置关系不能确定，故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论．
【解答】解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB＝50°，∠COB＝80°，
∴∠AOM=1
2∠AOB=
1
2
×50°＝25°，∠BON=12∠COB=12×80°＝40°，
∴∠MON＝∠BON﹣∠AOM＝40°﹣25°＝15°；
当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，
∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB＝50°，∠COB＝80°，
∴∠BOM=1
2∠AOB=
1
2
×50°＝25°，∠BON=12∠BOC=12×80°＝40°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+40°＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，解答此题时要根据OA与∠BOC的位置关系分两种情况进行讨论，不要漏解．
6．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为（）
A．4 B．2 C．√2D．1
【分析】连接OA，利用垂径定理可求出AM的长，再由勾股定理即可求出OM的长，进而可求出MD的长．【解答】解：连接OA，
∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，
∴AM＝BM＝4，
∵OC＝5，
∴OA＝OD＝5，
∴OM=√OA2−AM2=√52−42=3．
∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是连接OA，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
7．（3分）数轴上，−√2对应的点在（）
A．点A、B之间B．点B与C之间C．点C与D之间D．点E与F之间
【分析】先估算−√2的大小，再根据数轴的定义判断即可．
【解答】解：∵√1＜√2＜√4，
∴1＜√2＜2，
∴−2＜−√2＜−1，
∴−√2对应的点在点B与C之间．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，无理数大小的估算，正确的理解题意是解题的关键．
8．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数x（秒）及方差S2如下表所示．若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（）
甲乙丙丁
x7 7 7.5 7.5
s20.45 0.2 0.2 0.45 A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵乙的平均分最好，方差最小，最稳定，
∴应选乙．
故选：B ．
【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
9．（3分）周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程y （km ）与小明离家时间x （h ）的函数图象，则下列说法中正确的是（ ）
A ．小明在迪诺水镇游玩1h 后，经过
512
h 到达万达广场
B ．小明的速度是20km /h ，妈妈的速度是60km /h
C ．万达广场离小明家26km
D ．点C 的坐标为（
2912
，25）
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 小明在迪诺水镇游玩1h 后，经过
2560
−（2﹣1
5060
）=1
4h 到达万达广场，故选项A 错误；
小明的速度为20÷1＝20（km /h ），妈妈的速度是（20+20×1
4）÷25
60=60（km /h ），故选项B 正确； 万达广场离小明家20+20×1
4=20+5＝25（km ），故选项C 错误； 点C 的坐标为（9
4，25），故选项D 错误；
故选：B ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．2√3
D ．4√3
【分析】点P 、Q 的速度比为3：√3，根据x ＝2，y ＝6√3，确定P 、Q 运动的速度，即可求解． 【解答】解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC =√3a ， 设P 、Q 同时到达的时间为T ， 则点P 的速度为
3a T
，点Q 的速度为
√3a
T
，故点P 、Q 的速度比为3：√3， 故设点P 、Q 的速度分别为：3v 、√3v ，
由图2知，当x ＝2时，y ＝6√3，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ，
BQ ＝2×√3v ＝2√3v ，
y =1
2×AB ×BQ =1
2×6v ×2√3v ＝6√3，解得：v ＝1， 故点P 、Q 的速度分别为：3，√3，AB ＝6v ＝6＝a ， 则AC ＝12，BC ＝6√3，
如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，
此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4， 则BQ =√3x ＝4√3，CQ ＝BC ﹣BQ ＝6√3−4√3=2√3，
故点P 作PH ⊥BC 于点H ，
PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×
1
2
=3，同理CH ＝3√3，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝3√3−2√3=√3， PQ =√PH 2+HQ 2=√3+9=2√3， 故选：C ．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题（共8小题，满分29分）
11．（3分）已知，x、y为实数，且y=√x2−1−√1−x2+3，则x+y＝2或4．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：由题意知，x2﹣1≥0且1﹣x2≥0，
所以x＝±1．
所以y＝3．
所以x+y＝2或4
故答案是：2或4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根，正确得出x，y的值是解题关键．
12．（3分）因式分解：x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2
＝（x﹣3y）2，
故答案为：（x﹣3y）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB＝46°，则α的度数是46°．
【分析】利用旋转的性质得出AC＝AC′，再利用等腰三角形的性质得出∠CAC′的度数，则可求出答案．【解答】解：由题意可得：AC＝AC′，∠C'＝∠ACB，
∴∠ACC'＝∠C'，
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，
∴∠B'CB+∠ACB＝∠C'+∠CAC′，
∠B'CB＝∠CAC'＝46°．
故答案为：46°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC＝AC′是解题关键．
14．（4分）如果反比例函数y=m+1
x在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是m＞﹣1．
【分析】根据增减性确定m+1的符号，从而确定m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=m+1
x的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴m+1＞0，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题运用了反比例函数y=
k
x图象的性质，关键要知道k的决定性作用．
15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是③（填写一个你认为正确的序号）．
①掷一枚硬币，正面朝上；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；
③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈
1
3，计算三个选项的概率，约为
1
3
者即为正确答案．
【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即
1
3
左右，
①中掷一枚硬币，正面朝上的概率为
1
2
，不符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5的概率是
1
6
，不符合题意；
③中从中任取一球是黑球的概率为
1
1+2
=
1
3
，符合题意，
故答案为：③．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
16．（4分）已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为6π厘米．（结果保留π）【分析】分针针尖经过20分钟时转过的圆心角为120°，代入弧长公式计算即可求解．
【解答】解：由题意可得，分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为：
120π×9
180
=6π（厘米）．故答案为：6π．
【点评】本题考查了弧长公式：l=
nπR
180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转6°是解题的关键．
17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75
元．学校准
备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有 4 种．
【分析】设购买x 个A 品牌足球，y 个B 品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解． 【解答】解：设购买x 个A 品牌足球，y 个B 品牌足球， 依题意，得：60x +75y ＝1500，
解得：y ＝20−45x ．
∵x ，y 均为正整数， ∴x 是5的倍数，
∴{x =5
y =16，{x =10y =12，{x =15y =8，{x =20y =4，
∴共有4种购买方案． 故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y =1
2x 2﹣（m ﹣1）x +3m （m 为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s ，t ），当m ≥5时，代数式2t ﹣s 的最大值为 8 ．
【分析】根据一元二次函数的顶点公式得到抛物线y =1
2x 2﹣（m ﹣1）x +3m （m 为常数）的顶点坐标为（m ﹣1，
−m 2+8m−1
2
），从而得到平移后的顶点为（m +1，
−m 2+8m−1
2
），根据题意得出2t ﹣s ＝﹣m 2
+8m ﹣1﹣（m +1）
＝﹣m 2+7m ﹣2＝﹣（m −7
2
）2+
41
4
，根据二次函数的性质求得即可． 【解答】解：抛物线y =12x 2
﹣（m ﹣1）x +3m （m 为常数）的顶点坐标为（m ﹣1，−m 2+8m−12
），
∵将抛物线y =12
x 2﹣（m ﹣1）x +3m （m 为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s ，t ），
∴s ＝m ﹣1+2＝m +1，t =−m 2+8m−1
2
，
∴2t ﹣s ＝﹣m 2
+8m ﹣1﹣（m +1）＝﹣m 2
+7m ﹣2＝﹣（m −72）2+41
4，
∴当m ＞72
时，代数式2t ﹣s 的值随m 的增大而减小，
∴在m ≥5范围内，当m ＝5时，代数式2t ﹣s 的有最大值，最大值为：﹣52+7×5﹣2＝8， 故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得代数式2t ﹣s 关于m 的关系式是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分91分）
19．（11分）（1）计算：（√2−1）0﹣2sin30°+（13
）﹣
1﹣（﹣1）2020；
（2）先化简，再求值：（
x+1x−2
−1）÷
x 2−2x
x 2−4x+4
，其中x =√3．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的x 值代入即可． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2×12
+3﹣1 ＝1﹣1+3﹣1 ＝2；
（2）原式=x+1−(x−2)x−2•(x−2)
2
x(x−2) =3x−2•(x−2)2
x(x−2)
=3
x
，
当x =√3时，原式=√3．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
20．（9分）“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A 、B 、C 、D ）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A 、B 、C 、D 四个标号，然后背面朝上放
置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．
【分析】利用树状图展示16种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小明和小华查找同一位院士资料的有4种结果， ∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为
4
16
=14
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了勾股数．
21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：
b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数中位数方差
初二年级80.8 m96.9
初三年级80.6 86 153.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是初二（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意．（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为225．
【分析】（1）先根据总人数为40求出70≤x＜80的人数，继而补全图形；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）利用中位数的意义求解可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，
所以m=
80+81
2
=80.5；
（3）A同学是初二年级的学生，
理由：由表可知，初二年级的中位数为80.5，初三年级的中位数86，
若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前．
所以A同学是初二年级的学生．
故答案为：初二，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意．（4）估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为600×
6+9
40
=225（人），
故答案为：225．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握根据频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的概念和意义、利用样本估计总体的能力．
22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连接CD，BD．（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若∠ABC＝30°，BD＝2√2，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得AD
̂=BD̂，再根据等弧所对圆周角相等即可证明CD平分∠ACB；
（2）连接AD，作AH⊥CD于点H，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，再根据∠ABC＝30°，BD
＝2√
2，进而可求出CD的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，
∵直线EF切⊙O于点D，
∴OD⊥EF，
∴AD
̂=BD̂，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（2）∵OD⊥EF，EF∥AB，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴OB＝OD=√2
2BD＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝30°，
∴AC=1
2AB＝2，
连接AD，作AH⊥CD于点H，∵∠ACH＝45°，
∴CH＝AH＝AC•sin45°＝2×√2
2
=√2，
∵∠ADC＝∠ABC＝30°，∴AD＝2AH＝2√2，
∴DH=√3AH=√6，
∴CD＝CH+DH=√2+√6．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握切线的性质．23．（12分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大？
【分析】（1）设涨价为x元，则能卖出（600﹣10x）个，根据每个台灯的利润×销售量＝总利润，列出方程求解即可；
（2）设涨价x元时，最大月利润为y元，根据题意列出y关于x的二次函数，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）设涨价为x元，由题意得：
（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
∵40≤40+x≤60，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，
∴台灯的售价定为40+10＝50元，这时应进台灯600﹣10×10＝500个．
答：台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
（2）设涨价x元时，最大月利润为y元，
则y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）
＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵0≤x≤20，
∴x＝20，即售价为60元时，y max＝12000．
答：当售价为60元时，获得的最大月利润为12000元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2√2，∠COA＝45°．反比例函数y=
k
x（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=1
2S△COD？如果存在，请直接写出
点P的坐标．如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出OE＝CE＝2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC＝OA＝4，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，联立方程组可求解；
（3）分两种情况利用面积关系得出点P到OC的距离等于CD的一半即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO＝90°，
∵∠COA＝45°，
∴∠OCE＝45°，
∵OC＝2√2，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y=4 x；
（2）∵点C（2，2），点O（0，0），∴OC解析式为：y＝x，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝4，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（6，2），
∴设AB解析式为：y＝x+b，
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴AB解析式为：y＝x﹣4，
联立方程组可得：{
y=4x
y=x−4
，
∴{
x=2√2+2
y=2√2−2
或{
x=2−2√2
y=−2−2√2
（舍去），
∴点D（2√2+2，2√2−2）；
（3）存在，
∵S△POC=
1
2S△COD，
∴点P到OC的距离等于点D到OC的距离的一半，
Ⅰ、如图2，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，∵S△POC=
1
2S△COD，
∴设CD的中点为M，
∴M（√2+2，√2），
过点M作MP∥OC交双曲线于P，
∴直线PM的解析式为y＝x﹣2③，
∵反比例函数解析式为y=
4
x
④，
联立③④解得，
{x=√5+1 y=√5−1或{
x=1−√5
y=−1−√5
（舍去），
∴P（√5+1，√5−1）；
Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），
∴m+√2+2
2
=2，
n+√2
2
=2，
∴m＝2−√2，n＝4−√2，
∴M'（2−√2，4−√2），
∵P'M'∥OC，
∴直线P'M'的解析式为y＝x+2⑤，
联立④⑤解得，{x=√5−1
y=√5+1
或{
x=−1−√5
y=1−√5
（舍去），
∴P'（√5−1，√5+1）．
即：点P的坐标为（√5−1，√5+1）或P（√5+1，√5−1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，点到直线的距离，角平分线的判定，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
25．（13分）如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA＝2，OC＝4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．
（1）若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；
（2）若点D在OA的延长线上，且EA＝EB，求点E的坐标；
（3）若OE＝2√17，求点E的坐标．
【分析】（1）根据正方形的边长相等和矩形的对边相等，可得OE的长，从而得E的坐标；
（2）作辅助线，先根据EA＝EB可知EG是AB的垂直平分线，证明△BAD≌△DHE（ASA），可得结论；
（3）分两种情况：点D在点A的左侧和右侧，过E作EH⊥x轴于H，构建全等三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：（1）当点D与点A重合时，如图1，∴BD＝OC＝4，
∵四边形BDFE是正方形，
∴BD＝DE＝4，∠BDE＝90°，
∵OA＝2，
∴OE＝OA+AE＝2+4＝6，
∴E（6，0）；
（2）如图2，过E作EG⊥AB于G，作EH⊥x轴于H，
∵EB＝EA，
∴AG＝BG＝2，
∵∠AGC＝∠GAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∴EH＝AG＝2，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD＝DE，∠BDE＝90°，
∴∠ADB+∠EDH＝∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠EDH＝∠ABD，
∵∠BAD＝∠DHE＝90°，
∴△BAD≌△DHE（ASA），
∴DH＝AB＝4，AD＝EH＝2，。