沪科版初三数学上册《22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割》课件
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BC BC AB
， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD
的宽与长的比是黄金比吗？为什么?
BE BC
BC AB
BC AE
BE AE
=
AE AB
AE AB
BE AE
点E是AB的黄金分割点
AE AB
A
E
B
（即
BC AB
）是黄金比
C
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 D
F
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
例4：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割 点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚
脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿
多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x 1 .6 0 0 .6 0
，解得x = 0.96.
第22章
相似形
22.1 比例线段
第3课时 比例的性质与黄金分割
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握比例的性质、合比性质与等比性质；（重点）
2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题； (难点) 3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值. （难点）
导入新课
AC AB BC AC
，得AC2 = AB· BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×（1 - x）. 即 x2 + x – 1 = 0.
-1 2 5 , x2= -1 2 5 (不 合 题 意 ， 舍 去 ).
解方程得x1= 黄金比
AC AB
观察与思考 问题1 上节课学的比例线段的概念是怎样定义的？
问题2 比例线段要注意的方面有哪些？
讲授新课
一 比例的基本性质
合作探究 问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即
a b c d
那么ad = bc吗？
反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗？
如果四个数a,b,c,d成比例，即 那么ad=bc吗？
a b a 3b 2b a b
∴a=4b，∴ 解法2：由 ∴
a b 3b b
= 4.
7 2
，得 ,
a b
a 3b b
7
.
3 7
4.
二 等比性质
问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 那么
a c e b d f
a b
a b
c d
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
y 0 .9 6 1 .6 0 y 0 .6 1 8 .
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
黄金分割的魅力
雕塑－－维纳斯
人的俊美,体现在头部及 躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的 各个部位都暗藏比例0.618， 虽然雕像残缺，却能仍让
e f
（b+d+f≠0）,
a b
c d
成立吗？为什么？
e f k
解：设
,则
a = kb, c = kd , e= kf . 所以
a c e b d f kb kd kf b d f k a b .
如果
a1 b1
a2 b2
....
an bn
三 黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离,
AC AB
与 BC 相等吗？
AC
A
C
B
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 如果
AC AB BΒιβλιοθήκη AC, 那么称线段AB被点C黄金
分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与 AB的比称为黄金比.
做一做
1.计算黄金比. 解：由
a b
c d
.
典例精析
例1：根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4a=5b ；
（2）
a b
a 7 b 8 .
解 （1）∵ 4a=5b，∴
（2）∵
a 7 b 8
5 4
;
a b 7 8
，∴8a=7b，∴
.
例2：已知
a 3b 2b
7 2
，求
a b
的值.
解：解法1：由比例的基本性质， 得 2（a+3b）=7×2b.
AB DE BC EF CA FD 3 4 , 3 4
AB BC CA DE EF FD
AB DE
.
∴4（AB + BC + CA）=3 (DE + EF + FD).
即 AB+BC+CA =
3 4
(DE+EF+FD) ，
又 △ABC的周长为18cm， 即 AB+BC+CA=18cm. ∴ △DEF的周长为24cm.
5 1
5 1
2
5 2 4
5 1 2
,
AC AB
BC AC
, 点 C 是线段 AB 的黄金分割点
.
想一想
A
E
B
D
巴台农神庙 （Parthenom Temple）
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，
以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以 惊奇地发现 B E
( b1 b 2 ... b n 0 )， 那 么
a 1 a 2 ... a n b1 b 2 ... b n
a1 bn
.
例3：在△ABC与△DEF中，已知
AB DE
BC EF
CA FD
3 4
，且
△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵ ∴
a b
c d
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
a b c d
如果
，那么 ad=bc.
如果ad=bc,那么等式
a b
c d
还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0. 由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么
5 1 2
0 .618 .
做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD=
1 AB 2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. A 思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
E C
D
B
BD
1 2
; AD
1 1 2
2
2
5 2
, AC AE 3 2 5 5
5 2
1 2
5 1 2
, BC 1 AC 1
5 1 2
;
5 1 AC AB 2 1 5 1 BC , 2 AC
3 2
5 1 2
3 2
5
2 5 1
3
5
5 1
3 5 5 1
， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD
的宽与长的比是黄金比吗？为什么?
BE BC
BC AB
BC AE
BE AE
=
AE AB
AE AB
BE AE
点E是AB的黄金分割点
AE AB
A
E
B
（即
BC AB
）是黄金比
C
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 D
F
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
例4：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割 点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚
脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿
多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x 1 .6 0 0 .6 0
，解得x = 0.96.
第22章
相似形
22.1 比例线段
第3课时 比例的性质与黄金分割
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握比例的性质、合比性质与等比性质；（重点）
2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题； (难点) 3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值. （难点）
导入新课
AC AB BC AC
，得AC2 = AB· BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×（1 - x）. 即 x2 + x – 1 = 0.
-1 2 5 , x2= -1 2 5 (不 合 题 意 ， 舍 去 ).
解方程得x1= 黄金比
AC AB
观察与思考 问题1 上节课学的比例线段的概念是怎样定义的？
问题2 比例线段要注意的方面有哪些？
讲授新课
一 比例的基本性质
合作探究 问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即
a b c d
那么ad = bc吗？
反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗？
如果四个数a,b,c,d成比例，即 那么ad=bc吗？
a b a 3b 2b a b
∴a=4b，∴ 解法2：由 ∴
a b 3b b
= 4.
7 2
，得 ,
a b
a 3b b
7
.
3 7
4.
二 等比性质
问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 那么
a c e b d f
a b
a b
c d
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
y 0 .9 6 1 .6 0 y 0 .6 1 8 .
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
黄金分割的魅力
雕塑－－维纳斯
人的俊美,体现在头部及 躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的 各个部位都暗藏比例0.618， 虽然雕像残缺，却能仍让
e f
（b+d+f≠0）,
a b
c d
成立吗？为什么？
e f k
解：设
,则
a = kb, c = kd , e= kf . 所以
a c e b d f kb kd kf b d f k a b .
如果
a1 b1
a2 b2
....
an bn
三 黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离,
AC AB
与 BC 相等吗？
AC
A
C
B
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 如果
AC AB BΒιβλιοθήκη AC, 那么称线段AB被点C黄金
分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与 AB的比称为黄金比.
做一做
1.计算黄金比. 解：由
a b
c d
.
典例精析
例1：根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4a=5b ；
（2）
a b
a 7 b 8 .
解 （1）∵ 4a=5b，∴
（2）∵
a 7 b 8
5 4
;
a b 7 8
，∴8a=7b，∴
.
例2：已知
a 3b 2b
7 2
，求
a b
的值.
解：解法1：由比例的基本性质， 得 2（a+3b）=7×2b.
AB DE BC EF CA FD 3 4 , 3 4
AB BC CA DE EF FD
AB DE
.
∴4（AB + BC + CA）=3 (DE + EF + FD).
即 AB+BC+CA =
3 4
(DE+EF+FD) ，
又 △ABC的周长为18cm， 即 AB+BC+CA=18cm. ∴ △DEF的周长为24cm.
5 1
5 1
2
5 2 4
5 1 2
,
AC AB
BC AC
, 点 C 是线段 AB 的黄金分割点
.
想一想
A
E
B
D
巴台农神庙 （Parthenom Temple）
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，
以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以 惊奇地发现 B E
( b1 b 2 ... b n 0 )， 那 么
a 1 a 2 ... a n b1 b 2 ... b n
a1 bn
.
例3：在△ABC与△DEF中，已知
AB DE
BC EF
CA FD
3 4
，且
△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵ ∴
a b
c d
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
a b c d
如果
，那么 ad=bc.
如果ad=bc,那么等式
a b
c d
还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0. 由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么
5 1 2
0 .618 .
做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD=
1 AB 2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. A 思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
E C
D
B
BD
1 2
; AD
1 1 2
2
2
5 2
, AC AE 3 2 5 5
5 2
1 2
5 1 2
, BC 1 AC 1
5 1 2
;
5 1 AC AB 2 1 5 1 BC , 2 AC
3 2
5 1 2
3 2
5
2 5 1
3
5
5 1
3 5 5 1