云南省玉溪一中2019届高三下学期第五次调研考试数学(文)试题

某某一中第五次调研考试数学〔文〕试卷
考试时间：120分钟；
须知事项：
答题前填写好自己的某某、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷〔选择题〕
一、选择题〔每题5分，共60分〕
1.假如集合[1,2]A =，2{|320}B x x x =-+=，如此A
B =〔〕
A ．{1,2}
B ．[1,2]
C ．(1,2)
D ．φ
2.i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，如此z 的虚部是〔〕 A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3.函数4()log f x x =的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5
4.假如向量,a b 的夹角为
3
π
，且||2a =，||1b =，如此向量2a b +与向量a 的夹角为〔〕 A ．
6π B ．3π C. 23π D ．56
π 5.0a >，0b >，假如不等式
313m
a b a b
+≥+恒成立，如此m 的最大值为〔〕 A ．9B ．12C ．18D ．24
6.1tan()4
2
πα+=，且02
πα-<<，如此2sin 22sin αα+等于〔〕
A ．25-
B ．25-
C ．25
D ．
25
7.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，假如该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，如此该球的外表积为〔〕 A ．48π B ．32π C ．12π D ．8π
P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中
心，22
12||||||3PF PF OP b +=，如此此椭圆的离心率为〔〕
A ．
12 B ．32 C. 22 D ．2
4
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，如此该多面体的体积为〔〕 A ．
43B ．83C ．2
3
D ．4
()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．假如()12f =，如此 ()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=〔〕
A ．－50
B ． 0
C ．2
D ．50
11.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假如45
cos ,cos ,13513
A C a ===，如此b =〔〕 A ．12
B ．42
C ．21
D ．63
12.设双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F 。

假如点P 在双曲线右支上，且12F PF ∆为锐角三角形，如此12||||PF PF +的取值X 围〔〕
A ．(3,8)
B ．(3,8]
C ．(27,8]
D ．(27,8)
第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题共4道小题，每一小题5分，共20分〕
13.假如实数,x y 满足10,
0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
如此2z x y =+的最大值是．
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均一样的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，假如红球有21个，如此黑球有___． 15.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ：224x y +=相切的直线方程．
16.函数2()|log |1||f x x =-，()2f x =的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234k x x x x =+++，如此(1)f k +=．
三、解答题〔此题共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分〕
{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，22n n n S a a =+()n N *∈．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假如0()n a n N *>∈，令1(+2)
n n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18.如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点．
〔Ⅰ〕求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
〔Ⅱ〕假如PB=2，求三棱锥P ACE -的体积．
19.某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A ，B 两项指标数据进展收集和分析、得到的数据如下表：
〔1〕假如通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B
项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； 〔2〕现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B 项指标数据高于3的概率
参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑ˆˆ=.a
y bx - 20.O 为坐标原点，点P 在抛物线2
:4C y x =上〔P 在第一象限〕，且P 到y 轴的距离是P 到抛物
线焦点距离的
1
2。

〔1〕求点P 到x 轴的距离；
〔2〕过点(0,1)的直线与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交
y 轴于点N ，且, QM QO QN QO λμ==。

求证：
1
1
λ
μ
+
为定值。

21.〔本小题总分为12分〕
设函数()2x f x e ax =--.
〔1〕求()f x 的单调区间;
〔2〕假如1a =，k 为整数，且当0x >时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3,
4x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有一样的长度单位，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，且M 点的坐标为(3,4)，求||||MA MB ⋅的值．
23.选修4-5：不等式选讲 函数()|1||2|f x x x =-+-.
〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；
〔2〕假如存在实数x 满足2
()7f x a a ≤-++，某某数a 的最大值.
某某一中第五次调研考试数学〔文〕试卷答案
第I 卷〔选择题〕
一、选择题〔每题5分，共60分〕
1.假如集合[1,2]A =，2{|320}B x x x =-+=，如此A
B =〔 A 〕
A ．{1,2}
B ．[1,2]
C ．(1,2)
D ．φ 2.i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，如此z 的虚部是〔 A 〕 A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3.函数4()log f x x =的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( B ) A ．2B ．3C ．4D ．5
4.假如向量,a b 的夹角为
3
π
，且||2a =，||1b =，如此向量2a b +与向量a 的夹角为〔 A 〕 A ．
6π B ．3π C. 23π D ．56
π 5.0a >，0b >，假如不等式
313m
a b a b
+≥+恒成立，如此m 的最大值为〔 B 〕 A ．9B ．12C ．18D ．24
6.1tan()4
2
πα+=，且02
πα-<<，如此2sin 22sin αα+等于〔 B 〕
A ．5-
B ．25-
C ．25
D ．
5
7.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，假如该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，如此该球的外表积为〔 C 〕 A ．48πB ．32πC ．12πD ．8π
P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中
心，22
12||||||3PF PF OP b +=，如此此椭圆的离心率为〔 C 〕
A ．
12 B D 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，如此该多面体的体积为〔 C 〕
A ．
43 B ．83 C ．2
3
D ．4
10. ()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．假如()12f =，如此 ()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 C 〕
A. －50
B. 0
C. 2
D. 50
11.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假如45
cos ,cos ,13513
A C a ===，如此b =〔 C 〕 A ．12
B ．42
C ．21
D ．63
12.设双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F 。

假如点P 在双曲线右支上，且12F PF 为锐角
三角形，如此12||||PF PF +的取值X 围〔 D 〕
A ．(3,8)
B ．(3,8]
C ．(27,8]
D ．(27,8)
第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题共4道小题，每一小题5分，共20分〕
13.假如实数,x y 满足10,
0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
如此2z x y =+的最大值是 2 ．
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均一样的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的
概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，假如红球有21个，如此黑球有 15 ． 15.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ：224x y +=相切的直线方程
或2x =．
16.函数2()|log |1||f x x =-，()2f x =的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234k x x x x =+++，如此(1)f k += 2 ．
三、解答题〔此题共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分〕
{}n a 的前n 项和为n S ，首项1
0a
>且22n n n S a a =+()n N *∈．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假如0()n a n N *>∈，令1
(+2)
n
n n b
a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n
T ．
解：〔1〕1(1)n n a -=-或n a n =；〔2〕323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++． 解析：〔1〕当1n =时，21112S a a =+，如此11a =
当2n ≥时，2211122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-
， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+
1(1)n n a -∴=-或n a n =
〔2〕由0n a >，n a n ∴=，1111()
(2)22
n b n n n n =
=-++
1111111111323
[(1)()()][1]
2324222+1242(+1)(2)
n
n
T
n n n n n n
+
∴=-+-++-=+--=-
+++
18.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E 是PB的中点．
〔Ⅰ〕求证：平面EAC⊥平面PBC；
〔Ⅱ〕假如PB=2，求三棱锥P ACE
-的体积．
解：〔1〕
222
PC,ABCD
AC PC
AB=2AD=CD=1
AC=2,
,
,
,
,
ABCD AC
BC
AC BC AB
AC BC
BC PC C
AC PBC
AC EAC
⊥⊂
∴⊥
∴=
∴+=
∴⊥
⋂=
∴⊥
⊂
∴⊥
平面平面，
，
，，
又
平面
平面
平面EAC平面PBC
〔2〕
11112
222=
22326
P ACE P ACB
V V
--
==⨯⨯
19.某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A ，B 两项指标数据进展收集和分析、得到的数据如下表：
〔1〕假如通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B
项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； 〔2〕现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B 项指标数据高于3的概率
参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑ˆˆ=.a
y bx - 解：〔1〕根据题意，计算1
(57698)75
x -
=⨯++++=
1
(22344)35
y -
=⨯++++=，
1
1
2
2
2
1
1
()()51ˆ102
()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
x ====---==
=
=--∑∑∑∑ 1ˆˆˆ=2a y bx -=-，所以线性回归方程为11ˆ22y x =-。

〔2〕从这5只小白鼠中随机抽取三只，根本事件数为223,224,225,234,235,245，……，345
共10种不同的取法，其中至少有一只B 项指标数据高于3的根本事件共9种取法， 所以所求概率为910
p =
20.O 为坐标原点，点P 在抛物线2:4C y x =上〔P 在第一象限〕，且P 到y 轴的距离是P 到抛物
线焦点距离的
1
2。

〔1〕求点P 到x 轴的距离；
〔2〕过点(0,1)的直线与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交
y 轴于点N ，且, QM QO QN QO λμ==。

求证：
1
1
λ
μ
+
为定值。

解：〔Ⅰ〕因为抛物线y 2
=2px 经过点P 〔1，2〕， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2
=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1〔k ≠0〕． 由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点〔1，-2〕．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值X 围是〔-∞，-3〕∪〔-3，0〕∪〔0，1〕． 〔Ⅱ〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕．
由〔I 〕知122
24k x x k -+=-
，1221
x x k
=． 直线PA 的方程为y –2=112
2(1)1
y y x x --=
--． 令x =0，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=
+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．
2212121212122
224112()111111=2111(1)(1)11
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+
---++=+=+=⋅=⋅
------．所以
1
1
λ
μ
+
为定值．
21.〔本小题总分为12分〕
设函数()2x
f x e ax =--. 〔1〕求()f x 的单调区间;
〔2〕假如1a =，k 为整数，且当0x >时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值. 解：
〔Ⅰ〕
()f x 的定义域为(,)-∞+∞，'()x f x e a =-。

假如0a ≤，如此'()0f x >，所以()f x 在(,)
-∞+∞
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3,4x y ⎧=+⎪⎨
=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有一样的长度单位，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，且M 点的坐标为(3,4)，求||||MA MB ⋅的值．
〔1〕解：l ：10x y -+=，C ：2
4sin ρ
ρθ=，即224x y y +=
所以C 的普通方程是22(2)4x y +-=
〔2〕解：将直线方程化为参数方程l ：3()4x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩
为参数 带入C 的普通方程得：2
90t
++=，
设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，如此129t t =，
所以9MA MB ⋅=
23.函数()|1||2|f x x x =-+-. 〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；
〔2〕假如存在实数x 满足2()7f x a a ≤-++，某某数a 的最大值.
解：〔1〕()()()()
2311+21
12232x x f x x x x x x -+≤⎧⎪
=--=<<⎨⎪-≥⎩
当1x ≤时，由233x -+≥，得0x ≤ 当12x <<时，由13≥，得x ∈∅ 当2x ≥时，由233x -≥，得3x ≥
所以不等式()3f x ≥的解集为{}03x x x ≤≥或 〔2〕
()()1+2121x x x x --≥---=
∴依题意有271a a -++≥，即260a a --≤
解得23a -≤≤ 故a 的最大值为3。