2017-2018学年吉林省实验中学高二(上)期末数学试卷(理科) (1)

2017-2018学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）
A．B．C．D．
2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）
3．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）
A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）
A．110 B．100 C．90 D．80
6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（）条件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24
9．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．
10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1
11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦
点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（]D．[]
12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=．（用数字作答）
14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是．
15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是．
16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生天．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其
中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．
18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．
19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，
若=3，求直线l的方程．
20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得•为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．
2017-2018学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，
则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，
所以事件A发生的概率．
故选A．
2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[﹣2，﹣1]
故选B
3．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）
A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是：∀x∈∁R Q，x3∉Q．
故选：D．
4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：
=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，
故a=5.25，
故选：D．
5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）
A．110 B．100 C．90 D．80
【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，
∴从中抽取一个容量为20的样本，
则抽取的C组数为×20=2，
设C组总数为m，
则甲、乙二人均被抽到的概率为==，
即m（m﹣1）=90，
解得m=10．
设总体中员工总数为x，则由==，
可得x=100，
故选：B．
6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（）条件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
【解答】解：方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．
∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．
故选：A．
7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵△A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，
∴B1在平面A1BC1上的射影为△A1BC1的中心O，
设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，
∴OB=BM==，
∴OB1==，
∴sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，
∵DD1∥BB1，
∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为．
故选：A．
8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24
【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
9．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），
∴==．
故当t=0时，有最小值等于，
故选C．
10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1
【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；
设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选：B．
11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（]D．[]
【解答】解：根据题意，设G点的横坐标为x0，注意到x0≥a．
由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0﹣a，
又由|GF1|=7|GF2|，则有a+ex0=7（ex0﹣a），
解可得：x0=≥a，
变形可得：1＜e≤，
即1＜e2≤，
又由e2==1+，
则有1＜1+≤，
解可得0＜≤，
即的取值范围是（0，]；
故选：A．
12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可设A（﹣c，），C（x，y），
由，
可得=2，即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），即2c=2x﹣2c，=2y，
可得：x=2c，y=﹣，
代入椭圆方程可得：，由b2=a2﹣c2，根据离心率公式可知：e=，整理得：16e2+1﹣e2=4，解得e=±，
由0＜e＜1，则e=，
故选A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1．（用数字作答）
【解答】解：（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，
令x=1，得（1﹣2）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，
即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64．
【解答】解：将甲的得分从小到大排好顺序后，第5个数为28，
将乙的得分从小到大排好顺序后，第5个数为36．
所以甲乙的中位数分别为28和36，所以中位数之和为28+36=64．
故答案为：64．
15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是y=1﹣x2（x≠±1）．
【解答】解：设M（x，y），
则k AM﹣k BM=﹣=2，
整理，得y=1﹣x2，（x≠±1）．
∴动点P的轨迹方程是y=1﹣x2，（x≠±1）．
故答案为：y=1﹣x2，（x≠±1）．
16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生510天．
【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．
故答案为：510．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，得：
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）
∵这100名学生语文成绩在[50，70）的频率为（0.005+0.04）×10=0.45，
这100名学生语文成绩在[70，80）的频率为0.03×10=0.3，
∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×≈71.7（分）．
18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．
【解答】解：二项式（x﹣）6（a＞0）展开式的通项公式为
T r+1=•x6﹣r•=（﹣a）r••，
令r=2，得展开式中x3的系数为A=•a2=15a2；
令r=4，得展开式中常数项为B=•a4=15a4，
由B=4A可得a2=4，
又a＞0，所以a=2．
19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，
若=3，求直线l的方程．
【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0）
设直线，由，可得m≠0设A（x1，y1），B（x2，y2），
则=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），
由=3，所以y1=﹣3y2，由，
整理得y2﹣2my﹣1=0，则，且y1=﹣3y2，
得，解得，
∴直线．
20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有C63种选法．
再选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63•C42=120种选法．
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法．
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65=246种．
（3）“只有男队长”的选法为C84种；
“只有女队长”的选法为C84种；
“男、女队长都入选”的选法为C83种；
∴共有2C84+C83=196种．
∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85=196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．
其中不含女运动员的选法有C54种，
∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54=191种．
21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得•为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由已知条件知：直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．
当直线AB与x轴重合时，．
当直线AB不与x轴重合时，
设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m2）y2+2my﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系得，．
所以．
又由，得﹣y1=λy2，
所以，
解之得．
综上，实数λ的取值范围是．（7分）
（2）设M（a，0），
则
=（my1+1﹣a）（my2+1﹣a）+y1y2
=
=
=为定值，
所以2a2﹣4a+1=2（a2﹣2），解得．
故存在定点，使得为定值．
经检验，当AB与x轴重合时也成立，
∴存在定点，使得为定值．（13分）。