动力荷载作用下固体材料本构模型研究进展

动力荷载作用下固体材料本构模型研究进展
摘要：在地震、爆炸、冲击等动力荷载作用下，材料的力学特性与准静态荷载作用下有本质的区别，在建筑结构抗震、抗爆设计规范中常采用增大材料屈服强度（或极限强度）的方法来考虑材料的应变率效应，但是该方法分析结果与实际情况有较大差别，所以在对结构进行抗震、抗爆和抗冲击分析时必须采用考虑应变率效应的本构模型。

本文综述了国内外关于应变率（时间）效应有关的固体材料动态本构模型，对每种模型进行了简要分析，指出了其使用范围和优缺点，并根据现有的钢与混凝土材料的动力试验结果，提出了建立固体材料动态本构模型时应考虑的主要问题，对建筑结构的抗震、抗爆和抗冲击分析研究具有指导意义。

关键词：应变率；地震；爆炸；冲击；本构模型
Development of solid material’s constitutive model on the
dynamic load
Abstract: The solid material’s mechanic characteristic on the load of earthquake, blast and impact is different from the mechanic characteristic on the static load, we can increase the material’s yield strength when we design the structures which resist the load of earthquake or blast according to the design code, but the computational result is not consistent with the reality, so we must use the material’s dynamic constitutive model which take the strain-rate into account. In this paper, the writer summarize all the dynamic constitutive models which are related to the time or strain-rate, analysis every dynamic constitutive model carefully, give out the rule to select constitutive model in the action, point out the fault and merit of every model, and bring forward the advice which is helpful in setting up the dynamic constitutive model, which is a guidance to help the researcher to study the structural character on the load of earthquake, blast and impact.
Key words：strain-rate; earthquake; blast; impact; constitutive model
1 前言
在地震、爆炸、冲击等动力荷载作用下，材料的力学特性与准静态荷载作用下有本质区别，材料动力加载试验表明，随应变速率的提高，材料内部发生了一系列物理化学变化，其力学特性主要表现在应力应变关系更为复杂，一些特征参数，例如强度、延性、弹性模量、阻尼比等均有不同程度的变化[1-6]。

在建筑结构抗震、抗爆设计规范中常采用增大材料屈服强度（或极限强度）的方法来考虑材料的应变率
效应[7-10]，但是该方法分析结果与实际情况有较大差别[11]，所以在对结构进行抗震、抗爆和抗冲击分析时必须采用考虑材料应变率效应的本构模型。

材料在动力荷载作用下的本构模型一般是通过动力荷载试验建立起来的，根据试验结果，利用塑性理论、粘性理论、损伤理论、断裂理论等原理，提出了许多动态本构模型。

本文综述了国内外与应变率（时间）效应有关的固体材料动态本构模型，对每种模型进行了简要分析，指出了其使用范围和优缺点，并根据现有固体材料的动力试验结果，提出了建立固体材料动态本构模型时应考虑的主要问题，对建筑结构的抗震、抗爆和抗冲击分析具有指导意义。

2 粘弹性模型和粘弹粘塑性模型
粘弹性模型可以反映应力松弛、蠕变等与时间有关的复杂材料特性，朱兆祥、王礼立、唐志平等人[12]在研究环氧树脂的一维应力动态力学性能时提出了具有两个松弛时间的非线性粘弹性本构模型，并且把该模型用于水泥砂浆和混凝土的抗冲击研究中，取得了较好的效果。

粘弹性模型只能描述材料同时出现的弹性和粘性现象，不涉及到材料的塑性效应，因此该模型只适用于动荷载的幅值和平均值都很小，引起材料内部应力、应变都很小的情况。

粘弹粘塑性是指弹性阶段和塑性阶段都存在明显粘性特征的现象，粘弹粘塑性材料的屈服准则与弹塑性材料有很大区别，弹塑性体受载后，在同一加载路径上，总是在同一点进入塑性状态，而与加载的时间历程无关，但对于粘弹粘塑性材料，由于粘性效应与加载路径和时间相关，在应力空间中，对于相同的加载路径，会因通过该路径的时间长短不同而在不同的应力状态点达到屈服，即使沿同一加载路径所用时间相同，也会因荷载历史、应变率变化而在不同的应力状态点达到屈服[13-15]。

弹塑性材料进入塑性状态后，中性变载时，应力增量方向总是沿屈服面切线方向，但是对于粘弹粘塑性材料，由于粘性存在，导致中性变载时，应力增量与屈服面切线之间存在夹角。

在实际应用中根据实际情况可以采用两种简化方法，一种为只在弹性阶段考虑粘性现象的粘弹塑性模型，另一种为只在塑性阶段考虑粘性现象的弹粘塑性模型。

3 弹粘塑性模型
3.1 过应力模型
所谓过应力，即材料在动力荷载作用下所引起的瞬时应力与对应于同一应变时的静态应力之差，过应力模型认为塑性应变率只是过应力的函数，与应变大小无关，该函数形式可以由单轴动态试验确定， Malver （1951）给出了一个一维形式的幂函数表达式[3]。

参照一维过应力模型，Perzyna （1963）提出了一个三维应力状态下的弹粘塑性模型[3]：
σγεij p ij f ∂∂ΓΦ=)( （1）
式中，ε p ij
为塑性应变率；γ为材料粘性常数； )(ΓΦ为Γ的单调非负增函数，其形式由动态试验确定，常用的函数形式有多项式、幂函数、指数函数等[3、16、17]。

由于弹性阶段无粘性特征，所以初始屈服函数与静载作用下相同，故Γ取为材料的静态加载屈服函数：
1),()(1
),,(-=Γεσεσp ij ij p p ij ij f W k k （2）
式中，)(W k p 是强化参数的单调增加的标量函数，εσp ij ij p d W ⎰=。

对于金属类材料，Perzyna 讨论了Mises 屈服条件下的弹粘塑性模型，对于混凝土材料Tang [16]和陈书宇[17]分别推出了William －Warnke 五参数模型和Ottosen 四参数模型下的弹粘塑性动态本构方程。

3.2 拟线性本构模型理论
在过应力模型中，塑性应变率只是动态过应力的函数，所以对于不同应变率所得出的σ～ε曲线在非弹性部分是一组平行的曲线，但是试验报告表明这些曲线并不平行，主要是由于上述本构模型中没有考虑应变率历史效应和屈服滞后现象，特别是没有反应材料普遍存在的瞬时塑性性质，为了改进上述缺点，Cristescu （1963）
提出了拟线性本构模型[3]。

),(),(εσψσεσφε+∂∂=∂∂t t p （3） 且有σ
ψεψφεφψ∂∂+∂∂=∂∂ （4） 式中，依赖于时间的函数),(εσψ是材料非瞬态塑性应变的量度，它不依赖于应力增量，而依赖于应力本身；函数),(εσφ是材料对应于增量的瞬态塑性反应的量度。

3.3 位错模型
Bonder 和Partom （1975）基于位错动力学理论提出了一个弹粘塑性强化材料的本构模型[3]，这个模型的优越性在于不需要屈服判据和加载、卸载准则，他们假定物体的变形分为弹性和非弹性两部分，假定塑性体积应变为零，则有：
εεε p ij e ij ij +=，S e ij p ij p ij λε== （5）
可以推出：J I
222/ =λ （6） 式中，S ij 为应力偏量；e e I p ij p ij 212=，S S J ij ij 2
12=。

Bonder 和Partom 放弃了有关屈服条件的传统观点，假定I
2与J 2之间存在一定的函数关系，并根据位错动力学理论建立了两者之间的关系，使得该弹粘塑性模型具有位错动力学的物理基础。

一些计算结果表明，用该模型所得计算结果与试验结
果比较吻合，所以该模型有很大发展前景，进一步需要研究的工作是怎样简化I
2与J 2之间的关系曲线函数[18]。

3.4 一致率型弹粘塑性模型
一致率型弹粘塑性模型是最近发展起来的一种新的理论模型，该模型是对经典弹塑性理论的推广，认为在粘塑性流动过程中，实际的应力状态满足屈服条件和一致性条件，因此可以从经典的塑性理论直接推出粘塑性本构模型，计算方便。

考虑应变率效应的粘塑性屈服面方程可以写为：
0),,(=k k f ij σ，当 0>λ （7）
式中，σij 为应力张量；k 为内变量，通常取粘塑性功或等效粘塑性应变；k
为内变量对时间的变化率；λ为塑性乘子。

根据一致性条件0=df ，有：
0=∂∂+∂∂+∂∂=k d k f dk k f d f df ij ij σσ （8） 根据屈服面方程（式7）和一致性条件（式8）可以推出弹粘塑性本构模型，Wang [19]讨论了Mises 屈服条件下的一致率型弹粘塑性模型，Winnicki [20]对Hoffman 破坏条件下的混凝土材料进行了研究，消诗云[21、22]对Druck －Prager 和Willam －Warnke 三参数破坏条件进行了讨论，Carosio [23]对一致率型弹粘塑性模型的实用性及求解方法进行了详细分析。

4 损伤理论模型
损伤理论可分为能量损伤理论和几何损伤理论，能量损伤理论在金属和非金属材料的损伤、断裂研究中得到了广泛应用，几何损伤理论已被有效用于岩石和混凝土结构，材料的损伤可以从微观和宏观两方面选择基准变量，从热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程[24-27]。

胡时胜[28]和陈江瑛[29]分别引入塑性因子，建立了混凝土材料的损伤率型朱－王－唐模型，陈书宇[17]则建立了Ottosen 四参数损伤型率本构模型。

在损伤力学的应用中，关键问题在于选择恰当的损伤变量来定义和描述材料的损伤程度和状态以及损伤演变规律的确定，问题的复杂性在于损伤演变规律与应变率之间的耦合现象，材料的率相关本构模型要包括损伤的影响，同时损伤的演变规律也与材料的应力、应变和应变率有关，即损伤演变规律也是率相关的，王礼立等人从热激活机制出发，建立了一个材料率相关的演变规律和计及损伤演化的率相关本构模型[30]。

5 基于不可逆热力学为基础的率本构方程
随着损伤与破坏力学的发展，固体材料的损伤等耗散因素必须要考虑，材料行
为的耗散性及不可逆性都表现出来，这种耗散性及不可逆性必须符合不可逆热力学的基本定律，因此用热力学方法研究此类问题就更为合理。

K.C.Valanis于1971年在经典不可逆热力学和理性热力学的基础上提出粘弹塑性材料热力学的统一理论，建立了热力学与非弹性本构理论体系。

统一模型理论采用内变量的概念来描述材料的力学行为，这些内变量可以是标量，例如硬化参量和某种损伤累积程度等，也可以是张量，如非弹性应变等，内变量都是宏观上不可能明显观测到的量，但它们的变化反映材料内部状态的变化，对材料的形变和热力过程产生重要的影响[24]。

王哲[31]、Sidorroff[32]、Chabouche[33]和Rubin[34]等利用应变和应变率为基本变量，采用不同形式的内变量和内变量演化方程，以不可逆热力学原理为基础，对应变率相关本构方程进行了研究探讨；Sercombe[35]则以弹性应变、塑性应变和粘性应变为基本变量，采用不可逆热力学原理建立了弹、粘、塑性耦合的应变率相关本构方程，并且对Willam－Warnke三参数混凝土破坏准则进行了分析。

基于热力学理论框架的固体材料，需要确定材料的Helmholtz自由能函数，Rubin等[36、37]利用不可逆热力学理论及统计物理的流体爱因斯坦（Einstain）形式的自由能，给出了空隙介质的本构关系，戚承志等[38]利用固体材料的德拜（Debye）形式的自由能，研究了多孔介质的弹粘塑性本构模型。

统一模型理论不以屈服面的概念作为其理论发展的基本前提，也不把确定屈服面作为其计算的根据，统一本构模型的核心问题是内变量的选取和内变量演化方程的确定，现在一致的观点是选取运动硬化内变量和等向硬化内变量作为统一模型的内变量，按照细观研究的启发来确定内变量演化规律[39、40]。

6 经验型动态本构模型
前面介绍的所有动态本构模型都是以弹性理论、粘性理论、塑性理论、热力学理论、连续介质损伤力学理论等为基础，经过严格的数学推导而得到的，所以称为理论型模型，该类模型虽然有严格的数学、力学理论基础，但是由于内变量、内变量演化方程、自由能、过应力与粘塑性应变率之间函数关系等的确定都非常困难，所以在实际应用中都受到限制。

由固体材料动态试验结果可知，材料的屈服强度和极限强度都随应变率的提高而增加，所以许多学者以经典弹塑性理论为基础，根据试验结果，对屈服面或破坏面进行修正，提出了许多经验型的动态本构模型，由于
该类模型参数易于确定，算法简单方便，所以在数值分析中得到广泛应用。

Johnson[41]等（1983）给出了金属材料的单轴率相关本构模型，分别考虑了材料的加工硬化效应、应变率效应和温度软化效应，Holmquist[42]等（1995）给出了混凝土材料在高应变、高应变率、高压下的经验型动态本构模型。

Johnson模型和Holmquist模型由于形式简单、概念清楚、并且与试验数据吻合较好等原因，在实际中得到广泛的应用，胡昌明[43]等用Johnson模型研究了45号钢的动力特性，张凤国等[44]对Holmquist模型进行修正，研究了混凝土靶体的侵彻过程。

7 结论及建议
数值模拟是抗震、抗爆、抗冲击研究的一个重要方法，其关键在于材料本构模型和材料参数的确定，任何类型的本构模型都只是一种数学方法和手段，其目的是为了反映材料的本质特征。

建立一个本构模型必须同时考虑其反映客观的真实性、理论的严密性、参数的易确定性和算法实现的可能性，一个好的本构模型无非是在这几者之间达到最优平衡，这是研究本构模型的努力方向。

前面介绍的动态本构模型中，拟线性本构模型、位错模型、一致率型粘塑性本构模型、热力学本构模型等，虽然理论比较严密，但是由于函数形式、材料参数不易确定，所以都还处在研究阶段，实际工程中应用较少。

对于爆炸和冲击荷载作用下，应用较多的是过应力弹粘塑性模型、损伤理论模型和经验模型。

过应力弹粘塑性模型以静态弹塑性理论为基础，可以较好模拟钢材在爆炸冲击荷载作用下的特性，但是对于混凝土类材料，由于经典弹塑性理论应用时存在一定困难，所以同样造成过应力理论的应用也有许多难题需要解决，包括初始屈服面、强化法则、过应力与塑性应变率之间的函数关系等都是研究难点。

连续介质损伤模型从材料的微观研究出发，在宏观上建立材料的本构模型，可以很好模拟材料的实际状态，不论对于钢和混凝土材料都有很大的发展前景，但是对于动态加载情况，损伤变量演化规律和应变率之间存在耦合现象，所以准确确定损伤变量及其演化规律是研究和应用的难点。

经验模型虽然存在较大的主观性，但是由于可以综合考虑应变率效应、塑性强化效应、损伤影响和温度影响等多种因素，并且由于概念清楚、参数易于确定，如果材料参数取值合理，可以得到比较满意的分析结果，所以在实际工程中得到广泛应用。

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