2019-2020年高考数学摸底测试试题 理(含解析)

2019-2020年高考数学摸底测试试题 理（含解析）
【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求. 选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合
},12|{},0|{2
Z n n x x N x x x M ∈+===-=，则 （ ）。

A ．{0}
B ．{1}
C ．{0，1}
D ．φ 【知识点】集合的交集.
【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知集合,集合，所以,故选B. 【思路点拨】先求出两个集合在求交集即可.
2．若
)
0)(sin()(:,,2
:≠+=∈+=
ωϕωππ
ϕx x f q Z k k p 是偶函数，则p 是q 的（ ）。

A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数的奇偶性.
【答案解析】A 解析 ：解：若，则，所以有，故函数为偶函数，充分性成立；若是偶函数，则
，即，所以（舍去）或，解得，故选A. 【思路点拨】根据函数奇偶性的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半
径是的圆，则这个几何体的表面积是（ ）。

A ． B ． C ． D ．
【知识点】由三视图求几何体的表面积. 【答案解析】A 解析 ：解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的．球的半径，
这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积．,故选A ．
【思路点拨】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部
分为挖去球体的，据此可得出这个几何体的表面积． 4．，，，则与的大小关系为（ ）。

A ．
B ．
C ．
D ．不确定 【知识点】换底公式；比较大小. 【答案解析】C 解析 ：解：因为，，，所以，然后两边同时取以为底的对数可以得到，，所以由两式可得，即，故选
C.
正视图 俯视图 左视图
【思路点拨】首先根据的范围判断出，然后两边同时取以为底的对数即可比较大小. 5．二项式的展开式中常数项为（ ）。

A ．-15
B ．15
C ．-20
D ．20
【知识点】二项式定理的应用;二项式展开式的通项公式;求展开式中某项的系数.
【答案解析】B 解析 ：解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得r=4，故展开式中常数项为， 故选：B ．
【思路点拨】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得常数项的值． 6．若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）。

A ． B ． C ． D ．.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【答案解析】A 解析 ：解：令，则； 又∵，∴；∴函数在上是增函数． 又∵，∴，即，∴． 故选：A.
【思路点拨】构造，求，利用利用导数判定g （x ）的单调性，可以得出结论． 7．函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）。

A ． B ． C ． D ． 【知识点】函数的图象变换；函数的值域.
【答案解析】A 解析 ：解：函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为
)32sin(])6(2sin[)(j p x j p x x f ++=++
=．
再由所得图象关于原点对称，可得为奇函数，故，
∴．可得函数，又因为，，所以就有
，故当，函数有最小值，最小值为，故选A.
【思路点拨】根据的图象变换规律可得，所得图象对应的函数解析式为．根据为奇函数， 可得,求得的值可得函数解析式，然后在定义域内求最值即可. 8．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方的方格中﹐每个方格中 恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「方格的数字大于 方格的数字﹑且方格的数字大于方格的数字」的机率为（ ）。

A ． B ． C ． D ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的运用。

【答案解析】B 解析 ：解：因为将4个数字可重复的填入4个方格中﹐所以共有种填法,设填入A,B 两方格的数字分别为,且﹒此时数对有以下6种填法﹕﹒同理﹐填入C,D 两方格的数字也有6种填法﹒
因此﹐所求机率为﹒故选B ﹒
【思路点拨】先求出四个数字随机填入的方格中的总数，再求出满足题意的基本事件数，最后求比值即可.
9．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中﹐分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到
正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为（
）。

A．2 B．3 C．4 D．5
【知识点】向量的表示；分类讨论.
【答案解析】D解析：解：
因为若求的最大值﹐所以考虑右图中的6个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕
(1) 若﹐故﹒
(2) 若﹐故﹒
(3) 若﹐故﹒
(4) 若
223 OD OF FE ED y x OC y x y x y x
⎛⎫=++=++=+++=+
⎪
⎝⎭
﹐
故﹒
(5) 若﹐故﹒
(6) 若﹐故﹒
因此﹐的最大值为﹒故选D﹒
【思路点拨】根据题意分类讨论即可.
10．设为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕
11
31
3
关于的极小值﹐试问下列（）选项是正确的﹖
A．B．C．D．不存在
【知识点】方程的根与函数的关系；函数的极值.
【答案解析】C解析：解：方程式的相异实根数等价于函数与直线两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕
(1)当的最高次项系数为正时﹕
(2) 当的最高次项系数为负时﹕
因为极小值点位于两水平线与之间﹐所以其坐标（即极小值）的范围
为﹒故选C﹒
【思路点拨】方程式的相异实根数等价于函数与直线
的交点数，然后画图形即可. 非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下图，则的数学期望为 。

【知识点】离散型随机变量的期望.
【答案解析】解析 ：解：由概率分布的性质有，解得，∴ξ的概率分布为:
E
00.110.320.430.21.7，故答案为：.
【思路点拨】对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，所以可以求出a 值，再利用数学期望的定义求解．
12．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数，满足，那么输出的等于 。

【知识点】循环结构的程序框图；排列公式. 【答案解析】解析 ：解：第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：3,123
k p n m n m n m ;
…
第m 次循环：
,12...1k m p
n m n m n n
此时结束循环，输出
12...1m
n
p
n m n m n n A
故答案为：.
【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量P 的值，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析即可．
13．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7,则的最小值为 。

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划． 【答案解析】7解析 ：解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （3，4），C （0，1）
0 1 2 3
0 1 2 3 0.4 0.2
设，将直线：进行平移，并观察直线在x 轴上的截距变化，可得当经过点B 时，目标函数z 达到最大值,即．
因此，)
121225(7143),43(7
143b a a b b a b a b a ++=++=+， ∵，可得，
∴7
)24*25(71
)121225(7143=≥++=+b a a b b a ，当且仅当时，的最小值为7．故答案为：
7
【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，取得最大值为7，即．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当时的最小值为7．
14．设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为 。

【知识点】等差数列的通项公式、性质、前n 项和公式；三角换元,三角函数的最值. 【答案解析】解析 ：解：由，可设，，所以．设的公差为，则， 所以，所以，
199
sin
cos
9(cos sin
)
10cos
8sin
9()
9
2
2
2
r r r r r a a S
10cos 8sin 241sin 241
,
所以的最大值为,故答案为。

【思路点拨】由，可设，，代入求和公式，利用三角函数的有界性即可求得其最大值． 15．已知椭圆C ：的左右焦点分别为，点P 为椭圆C 上的任意一
点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 。

【知识点】椭圆的定义与离心率.
【答案解析】解析 ：解：因为点P 的横坐标满足，且当点P 在短轴顶点时，一定是锐角或直角，所以椭圆C 的离心率的取值范围是，故答案为.
【思路点拨】先确定出点P 的横坐标的范围，在根据是锐角或直角解不等式组即可.
16．把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少 一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： 。

（用数字作答）
【知识点】排列、组合的应用.
【答案解析】解析：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有种情况，再对应到4个人，有种情况，则共有种情况．
故答案为．
【思路点拨】根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，用隔板法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，再由分步计数原理，计算可得答案．17．已知}在上是增函数，方程}有
实数解，设，且定义在R上的奇函数在内没有最小值，则的取值范围是。

【知识点】利用导数研究函数的单调性；奇函数．
【答案解析】解析：解：∵}在上是增函数，可得且，即，解得，故,
∵方程}有实数解，，所以可得
∴,∵是定义在R上的奇函数,
∴可得,∴，又在内没有最小值
∴，
若,函数在上是减函数,函数在右端点处取到最小值,不合题意.
若，令，则在D内没有最小值可转化为在内没有最大值，下面对在内的最大值进行研究：由于，令，可解得，令，可解得，由此知，函数h（x）在是减函数，在上是增函数，
当时，即时，函数在上是减函数，不存在最大值,符合题意
当时，即时，函数在上是增函数，存在最大值，不符合题意
当时，即时，函数在是减函数，在上是增函数，必有成立，才能满足函数在上没有最大值，即有
，解得，符合题意
综上讨论知，m的取值范围是，故答案为.
【思路点拨】先确定出集合的范围，求出集合的范围．再根据在内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为，构造新函，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．
【典型总结】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）在中，三个内角分别为，且．
（1）若,,求．
（2）若，且，求．
【知识点】两角和差的正余弦公式的应用; 正弦定理.
【答案解析】（1）（2）.
解析：解：因为，得，
即，因为，且，
所以，所以。

（1）因为，，，所以
又
632333213623sin cos cos sin )sin(sin +=⋅+⋅=
+=+=C A C A C A B ，
由正弦定理知：，即。

（2）因为，所以， ，所以，
所以
()()103
34)sin(cos )cos(sin sin sin -=
---=--=B A A B A A B A A B .
【思路点拨】先结合已知条件利用三角公式进行化简可求出角A ，（1）先求，再利用正弦定理可求结果，（2）先求，再求即可. 19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式；
（2）设，＝，记数列的前项和.若对， 恒成立，求实数的取值范围．
【知识点】等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等价转化；基本不等式的性质. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）当时，，当时， 即：，数列为以2为公比的等比数列
（2）由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，则cn ＝＝＝－， Tn ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. ∵≤k(n ＋4)，∴k≥＝.
∵n ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n ＝，即n ＝2时等号成立， ∴≤，因此k≥，故实数k 的取值范围为 【思路点拨】（1）当时，解得．当时，，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得，利用“裂项求和”即可得出：数列的前项和．由于对，恒成立，可得≤k(n ＋4)，化为k≥
，利用基本不等式的性质即可得出． 20．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中， ,,,点是的中点
（1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求平面与所成二面角的正弦值。

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．
【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则，,,, ∴,
∴
10
10318
2018,cos 111111=
=
•>=
<D
C B A
D C B A D C B A
∴异面直线与所成角的余弦值为
（2）是平面的的一个法向量
设平面的法向量为，∵,
由∴取，得，
∴平面的法向量为,设平面与所成二面角为
∴
3
2
3
2
4
,
cos
cos=
⨯
-
=
=
>
<
=m
AC
θ
，得
∴平面与所成二面角的正弦值为.
【思路点拨】（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，
，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
（2）分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面与所成二面角的正弦值．
21．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求
L的斜率k的取值范围。

【知识点】轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想.
【答案解析】（1）,.
(2).
解析：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为。

点到AB、AC、BC的距离依次为
123
11
|434|,|434|,||
55
d x y d x y d y
=-+=+-=。

依
设，，即
222222
16(34)250,16(34)250
x y y x y y
--+=---=
或
，化简得点P的轨迹方
程为圆S：
222 22320171280 x y y y y
++-=-+-=
2
与双曲线T:8x
（2）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：①
与双曲线T：②
因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。

直线L经过D，且与点P 的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

......10分
（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。

这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。

代入方程②得，解得。

表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T 有且只有一个公共点。

即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是④
或⑤
解方程④得，解方程⑤得.
综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集.
【思路点拨】(1)先求直线AB、AC、BC的方程，在求出点到AB、AC、BC的距离依次为d1，d2，d3．由此能求出点的轨迹方程．
(2)点P的轨迹包含圆：与双曲线：．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得．设的方程为．再分情况讨论能够求出直线的斜率的取值范围．
22．（本小题满分14分）设函数
()ln(1),()ln(1)
1
x
f x a x
g x x bx
x
=-+=+-
+.
（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；
（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，
求出的取值范围；若不存在，说明理由；
②证明：不等式.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【答案解析】（1）（2）①;②见解析.
解析：解：（1）由已知得：，且函数在处有极值
∴，即∴
∴,当时，，单调递增；
当时，，单调递减；∴函数的最大值为
（2）①由已知得：
(i)若，则时，
∴在上为减函数，
∴在上恒成立；
(ii)若，则时，
∴在上为增函数，
∴，不能使在上恒成立；
(iii)若，则时，，
当时，，∴在上为增函数，
此时，∴不能使在上恒成立；
综上所述，的取值范围是.
②由以上得：,取得：
令，
则，
() 1222
111
ln10
1111
n n
n n
x x
n n n n n n -
⎛⎫
-=-+<-=-<
⎪
+-++
⎝⎭
.
因此.又
()1
21
1
ln ln ln1ln1ln1
n n
k k
n k k
k
-
==
⎛⎫=--+=+
⎡⎤ ⎪
⎣⎦
⎝⎭∑∑
，]
故
11
222 111
11
ln1ln1
111 n n n
n
k k k
k k n x
k k k k n
--
===
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=-+=-++
⎪ ⎪
⎢⎥
+++
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦∑∑∑
可编辑修改
精选文档 ()()11122111111111111n n n k k k k k k k k n k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑.
【思路点拨】（1）由已知求得f′(x)，且函数f （x ）在x=0处有极值，得，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；
（2）①由已知求得g′(x)再对b 分类讨论即可得出b 的取值范围；②由前两问综合得出．
.。