2002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答

初中数学青年教师解题竞赛试卷
一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1
1
2-+
-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.
3．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x
+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．
7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .
8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .
10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）
11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）
..A
B
三、（本题满分12分）
12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）
13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）
14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为
︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的
倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，
747.270tan ≈︒）.
六、（本题满分14分）.
15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：4
1
<
+q p . 七、（本题满分14分）
16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：
PB
PC
PA +的值. 八、（本题满分16分）
17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）
18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.
参考答案
一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 4
1
0<
≤p 10.18. 二、作法：11.
1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；
2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；
3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于 点C 和点D ；
4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.
解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有
12,110,33121===n a a ().1133即110,112112d d a a +=-+=
解得 7=d
().1037033111111=+=-+=∴d a a
答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.
四、13.
解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()222
2=---y y x ,
化简，得28
1x y =
.
曲线在x 轴的上方，y >0,
..A B
D
C
O
∴所求的曲线的方程是()08
12
≠=
x x y 五、14.
解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，
B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD A
C B ，BAC
︒='∠︒=∠∴60,70B B
设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC
在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○
1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479
.4015.1≈∴=x x 米
答：水面到碑顶的高度4.41米.
六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p
得2p q -<
4
141212
2≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=+-<+p p
p q p
即4
1
<+q p
七、16.
解：如图，BP 平分直角APC ∠，
︒=∠=∠∴4521
A C
D
P
1
2
B '
E
A B
C D
在△APB 中，由余弦定理，得：
2222AB PB PA PB PA =⋅-+
同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+ 22222AC PC AP BC AB =+=+
().
20
222=+∴=+-∴PB PC
PA PC PA PB PB 当点P 与点A 或点D 重合时.
2=+PB
PC
PA 八、17.
解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，
∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.
解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，
()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>
>
⇒⎩⎨
⎧<-->---=∆.2
5,
2
1
.011,02844212
m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.
解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，P A +PB ＋PC 最
小.
证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边
上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，
+++=++QB QA PC PA PC PB PA , QA PA BC QA QC <+=,
QC QB QA PC PB PA ++<++∴
又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.
A
B
C
P
在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截
取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连 结o B B '.APC ∆Rt ≌=∴'∆AP C P B o Rt
P B P B o o '='. 四边形o o P P B B ''是矩形，
︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B B
AC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.
(2002.12.15)
o
P B '
o
B P '
A B
C
P。