专题11.8 二项分布及其应用(讲)(解析版)

专题11.8 二项分布及其应用1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.知识点一 条件概率知识点二 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立.(2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).知识点三 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.知识点四 正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )＝12πσe (x －μ)22σ2(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【知识必备】1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.考点一 条件概率【典例1】（河北辛集中学2019届模拟）(1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A.0.05B.0.007 5C.13D.16【答案】(1)B (2)C【解析】(1)事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.(2)设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.050.15＝13.【方法技巧】(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【变式1】(河北“五个一”名校联盟2019届二模)(1)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.【答案】(1)C (2)0.72【解析】(1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25. (2)设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗).依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 考点二 相互独立事件同时发生的概率【典例2】（湖南长郡中学2019届模拟）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.【解析】记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立. (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (EF －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【方法技巧】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【变式2】（山西忻州一中2019届模拟）如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14【答案】C【解析】灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开， ∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316，∵灯亮和灯不亮是两个对立事件， ∴灯亮的概率是1－316＝1316.考点三 独立重复试验与二项分布【典例3】（河北衡水中学2019届调研）九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.【解析】(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1186(只)， 所以这批九节虾的数量约为1186只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625. 所以X 的分布列为【方法技巧】独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率.(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.【变式3】（辽宁阜新实验中学2019届质检）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 【解析】(1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫123＝18， P (X ＝－200)＝⎝⎛⎭⎫1－123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512.考点四 正态分布【典例4】（ 黑龙江齐齐哈尔市实验中学2019届模拟）(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<4)＝( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2(2)设X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587【答案】(1)A (2)D【解析】(1)因为随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，μ＝2，得对称轴为x ＝2，P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝0.6.(2)∵X ～N (1，1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，∴P (0<X <2)＝68.26%，则P (1<X <2)＝34.13%， ∴阴影部分的面积为1－0.34 13＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.【方法技巧】(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；②P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ).【变式4】（江苏启东中学2019届模拟）设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A.0.977 2B.0.682 6C.0.997 4D.0.954 4 【答案】A【解析】∵X ～N (800，502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4，∴P (X >900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.。