2019年高考数学一轮复习课时分层训练30数列求和文北师大版_98

课时分层训练(三十)　数列求和
A 组　基础达标(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．数列1，3，5，7，…，(2n －1)＋，…的前n 项和S n 的值等于( )
1214181161
2n A ．n 2＋1－B ．2n 2－n ＋1－1
2n 1
2n C ．n 2＋1－D ．n 2－n ＋1－1
2n －1
1
2n
A [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋，1
2n 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋
12n )
＝n 2＋1－.]
1
2n 2．(2018·池州模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
【导学号：00090179】
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为的等比数列，则
1
2＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B ．]
a 1(
1－
126)
1－
123．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于
( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]
4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．16
C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C ．]5．已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝，n ∈N *，记数列{a n }1
f n ＋1 ＋f n 的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( )A ．－1 B ．－12 016 2 017C ．－1
D ．＋1
2 018 2 018C [由f (4)＝2得4a ＝2，解得a ＝，则f (x )＝x .121
2∴a n ＝＝＝－，
1
f n ＋1 ＋f n 1n ＋1＋n n ＋1n S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(
－)＋(－)＋(－)＋…＋(－
213243 2 018)＝－1.]2 017 2 018二、填空题
6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin ，n ∈N *，则S 2 016＝__________.
n π
20　[a n ＝sin ，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.
n π
2S 2 016＝S 4×504＝0.]
7．已知S n ＝＋＋＋…＋，若S m ＝10，则m ＝________. 【导1
2＋11
3＋21
2＋31
n ＋1＋n 学号：00090180】
120　[由＝－得
1
n ＋1＋n n ＋1n S n ＝(－1)＋(－)＋(2－)＋…＋(－)＝－1
2323n ＋1n n ＋1所以S m ＝－1＝10，解得m ＝120.]
m ＋18．(2017·广州综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，若
a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列的前n 项和为__________．{1
Sn }
　[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得n
2n ＋1k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，＝＝＝，则数
1
Sn 14n 2－11 2n ＋1 2n －1 12(12n －1－
1
2n ＋1)
列的前n 项和为＋＋…＋－＝＝.]{1Sn }
12(11－13)12(13－15)1212n －112n ＋112
(1－
12n ＋1)
n 2n ＋1三、解答题
9．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a ＋2a n ＝4S n ＋3.2
n (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．
1
anan ＋1[解]　(1)由a ＋2a n ＝4S n ＋3，①2
n 可知a ＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②2n ＋
1②－①，得a －a ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，2分
2n ＋
12n 即2(a n ＋1＋a n )＝a －a ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．2n ＋12n 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.
4分
又a ＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.2
1所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.6分
(2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝＝＝1
anan ＋11
2n ＋1 2n ＋3 .
8分
12(12n ＋1－
1
2n ＋3)
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝
＝.
12分
12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]
n
3 2n ＋3 10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
[解]　(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有Error!解得Error!3分
所以{a n }的通项公式为a n ＝.5分
2n ＋35(2)由(1)知，b n ＝.
[2n ＋3
5]
当n ＝1,2,3时，1≤＜2，b n ＝1；2n ＋3
5当n ＝4,5时，2≤＜3，b n ＝2；
8分
2n ＋3
5
当n ＝6,7,8时，3≤＜4，b n ＝3；2n ＋3
5当n ＝9,10时，4≤＜5，b n ＝4.
2n ＋3
5所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
12分
B 组　能力提升(建议用时：15分钟)
1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )
【导学号：00090181】
A ．22 016－1
B ．3·21 008－3
C ．3·21 008－1
D ．3·21 007－2
B [a 1＝1，a 2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.2a 1an ＋2·an ＋1an ＋1·an 2n ＋12n an ＋2
an ∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝＋＝3·21 008－3.故选B ．]
1－21 0081－22 1－21 008
1－22．设f (x )＝，若S ＝f ＋f ＋…＋f ，则S ＝________.
4x 4x ＋2(12 015)(22 015)(2 014
2 015)
1 007　[∵f (x )＝，∴f (1－x )＝＝，4x 4x ＋241－x 41－x ＋22
2＋4x ∴f (x )＋f (1－x )＝＋＝1.
4x 4x ＋22
2＋4x S ＝f ＋f ＋…＋f ，①(12 015)(22 015)(2 014
2 015)S ＝f ＋f ＋…＋f ，②
(2 0142 015)(2 0132 015)(1
2 015)①＋②得，
2S ＝f ＋f ＋f ＋f ＋…＋＝2 014，12 015 2 0142 01522 015 2 0132 015[f (2 0142 015)＋f
(1
2 015)]
∴S ＝＝1 007.]
2 014
23．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列的
{bn
an }
前n 项和T n . 【导学号：00090182】
[解]　(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a q ＝a 1q 2，2
1又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .
(2)由题意知S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)b n ＋1， 2n ＋1 b 1＋b 2n ＋1
2又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝，则c n ＝.
bn an 2n ＋1
2n 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝＋＋＋…＋＋，325227232n －12n －12n ＋12n 又T n ＝＋＋＋…＋＋，123225237242n －12n 2n ＋12n ＋1两式相减得
T n ＝＋－，
1232(12＋122＋…＋
12n －1)
2n ＋1
2n ＋1所以T n ＝5－.
2n ＋52n。